楊怡澤，楊洪勇，劉 凡

(1.魯東大學信息與電氣工程學院，山東 煙臺 264025；2.新南威爾士大學電氣工程與信息學院，澳大利亞 悉尼)

0 引言

多智能體系統(tǒng)作為分布式系統(tǒng)的一個主要分支,在無人機編隊、機器人控制、分布式傳感器網(wǎng)絡等多個領域的應用引起了眾多研究者的廣泛關注，多智能體系統(tǒng)群集運動已經(jīng)成為分布式系統(tǒng)中非常重要的研究課題。研究人員主要關注多智能體系統(tǒng)的一致性、群集運動、動態(tài)編隊等協(xié)調控制問題，分析多智能體系統(tǒng)在各種環(huán)境下實現(xiàn)協(xié)同一致的收斂條件。

針對多智能體系統(tǒng)一致性問題的研究很多[1-6]，文獻[1]研究了具有動態(tài)領航者的時延多自主體系統(tǒng)的一致性。文獻[2]研究了具有輸入時延的多自主體系統(tǒng)的一致性問題。文獻[3]和文獻[4]分別就基于均勻采樣控制的二階多智能體系統(tǒng)和基于事件的廣義線性多智能體系統(tǒng)，討論了跟隨一致性控制問題。文獻[5]研究了在脈沖控制策略下具有動態(tài)網(wǎng)絡拓撲的多智能體系統(tǒng)的二階一致性問題。文獻[6]討論了有向網(wǎng)絡下帶有不同時變時延的多智能體系統(tǒng)平均一致性。

前面文獻的研究結果主要關注的是多智能體系統(tǒng)的無限時間漸近收斂，而在實際工程應用中，需要系統(tǒng)在有限時間內(nèi)達到預期目標，也就是要求系統(tǒng)在有限時間內(nèi)達到穩(wěn)定。對于多智能體系統(tǒng)的有限時間收斂問題，文獻[7]研究了一組相互作用的智能個體的有限時間一致性問題。文獻[8]基于圖論、矩陣理論、同質化的擴張和LaSalle不變性原則，設計了多自主體的控制協(xié)議，并詳細分析了leader-following系統(tǒng)的有限時間一致性。文獻[9]提出了一種連續(xù)時間非線性分布式協(xié)同控制協(xié)議，研究了異構多自主體系統(tǒng)的有限時間一致性。文獻[10]給出有限時間一致性控制協(xié)議,并對所提出的網(wǎng)絡協(xié)議進行了理論分析，證明了當通信拓撲為聯(lián)合連通情況時,系統(tǒng)在有限時間可以達到一致。文獻[11]研究了具有領航者的多自主體系統(tǒng)的快速有限時間一致性跟蹤控制問題。文獻[12]總結了有限時間控制系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀，給出了有限時間控制系統(tǒng)的多種判定條件。

實際工程應用中，系統(tǒng)性能會受到外部干擾的影響?？紤]外部干擾等不確定因素的存在，要求多智能體系統(tǒng)的運動軌跡最終會穩(wěn)定在預設的目標范圍內(nèi)。針對具有干擾的離散時間系統(tǒng)的一致性問題的研究，文獻[13]利用網(wǎng)絡通信協(xié)議和性能拉普拉斯矩陣，把連續(xù)時間線性多自主體系統(tǒng)的運動控制問題等價地轉化為離散線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。文獻[14]研究了具有采樣時延的離散時間系統(tǒng)，系統(tǒng)中每個智能體的控制輸入只采用其鄰域內(nèi)的其他智能體的狀態(tài)信息，得到了系統(tǒng)能夠實現(xiàn)一致跟蹤的充要條件。文獻[15]研究了存在建模不確定和擾動項的離散時間系統(tǒng)的有限時間控制問題，給出了系統(tǒng)有限時間有界的充分條件。文獻[16]研究了在脈沖控制策略下帶有隨機擾動的時滯多智能體系統(tǒng)的一致性。文獻[17]研究了在網(wǎng)絡拓撲結構下，對有外界干擾的二階離散多智能體系統(tǒng)的均方有界一致性問題。

多智能體系統(tǒng)的包容控制問題，實際上就是一類網(wǎng)絡化系統(tǒng)的群集運動。近年來，對離散時間多智能體系統(tǒng)群集運動的研究較少，尤其是對具有外部干擾的多領航者帶領網(wǎng)絡化系統(tǒng)的有限時間包容控制問題研究更少。本文利用現(xiàn)代控制理論和線性矩陣不等式，研究離散時間情況下具有干擾的多智能體系統(tǒng)的群集運動問題。設計了系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器，分析了系統(tǒng)在雙向通信網(wǎng)絡結構下能夠實現(xiàn)群體跟蹤的有限時間收斂條件。最后對系統(tǒng)進行數(shù)值仿真，證明整個系統(tǒng)在有限時間內(nèi)達到穩(wěn)定。

1 代數(shù)圖論及相關引理

本文研究動態(tài)多自主體系統(tǒng)的群集運動，智能個體之間通過傳感器進行相互通信。假設智能個體為一個點，個體之間相互感應作為連線，這樣動態(tài)多自主體系統(tǒng)組成了一個具有雙向通信的網(wǎng)絡拓撲圖。

定義1：設集合X={x1,x2,…,xn}為實向量空間的子集，X的凸包定義為

注釋1：具有多領航者的多自主體系統(tǒng)的群體跟蹤，在多個領航者的引導下，動態(tài)自主跟隨者在外部控制作用下可以收斂到由領航者所圍成的幾何區(qū)域內(nèi)，該幾何區(qū)域就是由多個領航者組成的一個凸包。

1)S<0；

引理2：給定適當維數(shù)的矩陣Y,D和E,其中Y是對稱的，則

Y+DFE+EΤFΤDΤ<0

對所有滿足FΤF≤I的矩陣F成立，當且僅當存在一個常數(shù)ε>0使得

Y+εDDΤ+εΤEΤE<0。

2 離散時間多智能體系統(tǒng)包容控制算法分析

考慮如下形式的離散時間多智能體動態(tài)方程：

(1)

其中，xi(t)∈Rn是智能體i的位置狀態(tài)，ui(t)∈Rn是系統(tǒng)的控制輸入(即一致性算法/協(xié)議)，ω(k)∈Rn為系統(tǒng)的外部干擾且滿足ωΤ(k)ω(k)0為給定的標量，G為干擾增益矩陣。假設多智能體系統(tǒng)的控制協(xié)議為

(2)

其中，β>0為控制增益。

定義2：多智能體系統(tǒng)(1)被稱為實現(xiàn)有限時間一致性包容控制，如果存在一個時間T0∈[0,+∞)，使得各個智能體的最終狀態(tài)滿足

定義3：給定正數(shù)δ，ε，d，N,且δ<ε，R為正定矩陣，離散時間系統(tǒng)

x(k+1)=x(k)+u(k)+ω(k)

關于(δ，ε，R，d)是有限時間有界的，如果xΤ(0)Rx(0)≤δ2，都有xΤ(k)Rx(k)≤ε2成立。其中外部干擾ω(k)滿足條件ωΤ(k)ω(k)

定理1：應用通信協(xié)議(2)的離散時間多智能系統(tǒng)(1)是有限時間有界的，如果存在兩個正定矩陣P1，P2，標量γ>1，使得下列兩個矩陣不等式成立

(3)

(4)

證明：多智能體系統(tǒng)(1)的方程可變化為

(5)

其中控制器為

u(k)=-β(LFXF(k)+LFKXK(k))

(6)

(7)

多智能體動態(tài)方程可以改寫為

(8)

令A=In+(-βLF)，得

(9)

假設

(10)

其中γ>1，有式(11)。

(11)

(12)

其中

則有

由于

如果

(13)

由Suchur補引理1可得，式(13)等價于式(3)，即

(14)

假設(10)成立。根據(jù)定義3，可得多智能體系統(tǒng)(1)有限時間有界。

注釋2：由于式(14)不是線性矩陣不等式，所以將式(14)左右各乘式(15),

(15)

令Q=P-1，得到式(16),即

(16)

矩陣不等式(16)為一個線性矩陣不等式，可以利用Matlab中的LMI工具箱求解計算。

當γ=1時，由定理1可得如下推論：

推論1：系統(tǒng)關于(δ，ε，R，d，N)是有限時間有界的，如果存在兩個正定矩陣P1，P2，使得下列兩個矩陣不等式成立

(17)

(18)

注釋3：假設系統(tǒng)中不存在干擾，也就是G=0。則多智能體系統(tǒng)是有限時間收斂的，如果存在一個正定矩陣P1，使得下列兩個矩陣不等式成立

(19)

(20)

3 仿真驗證

圖1 多自主體系統(tǒng)拓撲圖Fig.1 The topology of multi-agent system

在連通條件下，考慮2個領航者和3個跟隨者組成的連通網(wǎng)絡(見圖1)，圖中智能個體4、5為領航者，其余為跟隨者。假設拓撲圖所有邊的權重都是1，系統(tǒng)對應的Laplacian矩陣為

應用Matlab的LMI工具箱計算可得：

圖2 離散時間多智能體系統(tǒng)在干擾條件下的運動軌跡Fig.2 The motion trajectory of a discrete multiagent system under disturbance

可見各跟隨者在有干擾的情況下，系統(tǒng)的運動軌跡最終漸近收斂到了兩個領航者所圍成的平面區(qū)間[2,3]內(nèi)，在采樣時間k=[4,7]時，跟隨者進入兩個領導者的平面區(qū)間；在采樣時間k=[7,12]時，跟隨者的運動軌跡逐漸收斂；最終，多領航者運動系統(tǒng)實現(xiàn)了有限時間包容控制。

4 結論

本文考慮了離散時間多智能動態(tài)系統(tǒng)有外部干擾存在下的多領導者帶領跟隨者在有限時間內(nèi)達到一致性的問題。本文設置了多領導者的網(wǎng)絡系統(tǒng)來重新設計控制協(xié)議，結合線性矩陣不等式有限時間收斂理論，給出了離散時間多智能體系統(tǒng)達到領導者有限時間內(nèi)收斂的充分條件。實驗結果顯示，本文提出的算法可以快速達到系統(tǒng)穩(wěn)定，更符合實際工程要求。最后通過數(shù)值仿真，驗證了本文所提出算法的有效性。