梅森素數(shù)為什么這么重要？

許家輝

“它反映了一個國家的科技水平，是人類智力發(fā)展在數(shù)學上的一種標志，更是整個科技發(fā)展的里程碑之一。梅森素數(shù)究竟是個怎樣的數(shù)，為何如此重要呢？”

眾所周知，素數(shù)也叫質(zhì)數(shù)，是只能被自己和1整除的數(shù)。2300多年前，古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》一書中證明了素數(shù)有無窮多個，如2、3、5、7、11等等。在素數(shù)的探究中，人們發(fā)現(xiàn)少量的素數(shù)可表示為2^P-1（即2的P次方減1，其中指數(shù)P為素數(shù)）的形式，如2^2一1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127等。由于這種特殊形式的素數(shù)具有獨特的性質(zhì)和無窮的魅力，它吸引了包括數(shù)學大師歐幾里得、笛卡爾、費馬、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯和圖靈等在內(nèi)的眾多數(shù)學家和無數(shù)的業(yè)余數(shù)學愛好者。

17世紀的法國數(shù)學家馬林·梅森在歐幾里得、笛卡爾、費馬等數(shù)學大師的有關(guān)研究基礎(chǔ)上對2^P-1型素數(shù)作了大量的計算、驗證。由于梅森學識淵博、才華橫溢，是法蘭西科學院的奠基人和當時歐洲科學界的中心人物。為了紀念他，數(shù)學界就把2^P-1型素數(shù)稱為“梅森素數(shù)”。2300多年來，人類僅發(fā)現(xiàn)50個梅森素數(shù)。這種素數(shù)稀奇而迷人，故被人們稱為“數(shù)學領(lǐng)域的璀璨瑰寶”。

梅森素數(shù)貌似簡單，但當指數(shù)P值較大時，它的探究不僅需要高深的理論和純熟的技巧，還需要進行艱苦的計算。例如，1772年，素有“數(shù)學英雄”之稱的瑞士數(shù)學大師歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2^31-1是第8個梅森素數(shù)；這個具有10位的素數(shù)（即2147483647），堪稱當時世界上已知的最大素數(shù)。他的的頑強毅力和解題技巧都令人贊嘆不已；難怪法國大數(shù)學家拉普拉斯經(jīng)常對他的學生說：“讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。”在“手算筆錄年代”，人們歷盡艱辛，一共只找到12個梅森素數(shù)。

即使是在“計算機時代”，每一個梅森素數(shù)的產(chǎn)生都艱辛無比，并且存在著十分激烈的競爭。例如，在1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家戴維·史洛溫斯基和哈利·納爾遜宣布他們找到第26個梅森素數(shù)2^23209-1時，有人告訴他們：在兩星期前美國加州的高中生蘭登·諾爾就已經(jīng)給出了同樣結(jié)果。為此他們發(fā)憤忘食，又花了一個半月的時間，找到了第27個梅森素數(shù)2^44497-1。

梅森數(shù)的素性檢驗難度是非常大的。法國數(shù)學家愛德華·盧卡斯和美國數(shù)學家德里克·萊默在這方面做出了重要貢獻；以他們的姓氏命名的“盧卡斯-s萊默檢驗法”是迄今為止判斷梅森數(shù)素性最快最有效的工具。另外，探究梅森素數(shù)的重要性質(zhì)——分布規(guī)律似乎比尋找新的梅森素數(shù)更為困難。中國數(shù)學家和語言學家周海中在這方面取得了重大突破；以他的姓氏命名的“周氏猜測”敘述了梅森素數(shù)的分布狀況，并給出了精確表達式。

網(wǎng)格計算的出現(xiàn)使梅森素數(shù)的尋找工作如虎添翼。1996年美國數(shù)學家和計算機專家喬治·沃特曼編寫了一個尋找梅森素數(shù)的計算程序，并把它放在網(wǎng)上供數(shù)學家和業(yè)余數(shù)學愛好者免費使用；這一計算程序就是舉世聞名的“互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索”（GIMPS）項目，也是全世界第一個網(wǎng)格計算項目?，F(xiàn)在人們只要從該項目下載開放源代碼的Prime95或MPrime軟件，就可以馬上搜尋新的梅森素數(shù)了。

美國洛杉磯加州大學的計算機專家埃德森·史密斯通過參與GIMPS項目，于2008年8月找到一個超過1000萬位的梅森素數(shù)——2^43112609-1。這一重大成就被著名的《時代》雜志評為“2008年度50項最佳發(fā)明”之一。史密斯獲得了電子前沿基金會（EFF）頒布的10萬美元大獎，并受到了學校的表彰。2017年12月26日，美國田納西州杰曼鎮(zhèn)的業(yè)余數(shù)學愛好者喬納森·佩克通過參與GIMPS項目發(fā)現(xiàn)了第50個梅森素數(shù)2^77232917-1。這一巨大素數(shù)共有23249425位。假設(shè)我們每一秒鐘寫一個數(shù)字的話，要連續(xù)寫近200個晝夜才能寫完！

梅森素數(shù)在當代具有十分豐富的理論意義和實用價值。它是發(fā)現(xiàn)已知最大素數(shù)的最有效途徑，它的探究可以推動數(shù)論的研究，還可以促進密碼技術(shù)、網(wǎng)格計算技術(shù)、程序設(shè)計技術(shù)的發(fā)展以及快速傅立葉變換和快速橢圓加密系統(tǒng)的應(yīng)用。另外，在梅森素數(shù)的探究過程中，人們可以發(fā)現(xiàn)計算機芯片存在的問題。

有專家認為，梅森素數(shù)的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國數(shù)學協(xié)會主席、《素數(shù)的音樂》一書作者馬科斯·索托伊甚至認為，梅森素數(shù)的研究進展不但是人類智力發(fā)展在數(shù)學上的一種標志，也是整個科技發(fā)展的里程碑之一。（編輯/任偉）