魏立力 李晶晶

摘 要：概率空間是概率論的平臺(tái)，文章從概率空間的三個(gè)要素分別討論了教學(xué)中應(yīng)該注意的一些問題，樣本空間由基本事件構(gòu)成；事件域的構(gòu)造原則是夠用就好；概率是面積的泛化，強(qiáng)調(diào)測度屬性。

關(guān)鍵詞：概率空間；事件域；概率測度

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2018）08-0119-03

Abstract： Probability space is the platform of probability theory. For the three elements of probability space， some problems that should be paid attention to in teaching are discussed respectively in this paper. The sample space consists of elementary events； the principle for constructing event field is good enough； probability is the generalization of area， emphasizing the measure property.

Keywords： probability space； event field； probability measure

所謂概率空間指的是三元體（Ω，F(xiàn)，P）。其中Ω表示樣本空間，F(xiàn)表示事件域，P表示概率。（Ω，F(xiàn)，P）在概率論中， 是一個(gè)基礎(chǔ)性概念，隨機(jī)變量及其概率分布的都是建立在此基礎(chǔ)之上。 概率空間是概率論的舞臺(tái)，隨機(jī)變量及其概率分布是在該舞臺(tái)上的精彩演出。如何搞好概率空間相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)顯得非常重要，我們結(jié)合多年概率論的教學(xué)實(shí)踐，從其三個(gè)要素出發(fā)分別討論教學(xué)中應(yīng)該注意的一些問題，旨在不失學(xué)術(shù)水準(zhǔn)的條件下，探討概率空間的教學(xué)形態(tài)。

一、樣本空間——表示試驗(yàn)的所有可能結(jié)果

概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀測稱為試驗(yàn)，試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為（隨機(jī)）事件。

定義1[1] 我們把不能或不必再分的事件稱為基本事件，基本事件的全體稱為樣本空間，通常用希臘字母Ω表示。

如果用一個(gè)單點(diǎn)集{Ω}表示一個(gè)基本事件，則樣本空間就是對(duì)應(yīng)元素組成的集合，其中的元素也稱為樣本點(diǎn)。這樣一來，隨機(jī)事件就是樣本空間的子集，這就是樣本空間的集合論定義。

樣本空間是概率論的最基本概念之一，在教學(xué)過程中，學(xué)生常常能夠較好地理解樣本空間的概念。但在一些具體問題，尤其是古典概率的計(jì)算問題中，如何構(gòu)造相應(yīng)的樣本空間，會(huì)遇到困難，甚至犯一些錯(cuò)誤。

一些文獻(xiàn)[2-7]從古典概率的求解角度，討論了構(gòu)建樣本空間的基本技巧，提出了一些教學(xué)建議。對(duì)同一問題，可以構(gòu)建不同的樣本空間，導(dǎo)致具體問題求解的難度有所不同。這種差異本質(zhì)上只是基本事件的粒度不同，在計(jì)算古典概率時(shí)所運(yùn)用的計(jì)數(shù)模式也不一樣。不難理解，適宜于具體問題的粒度越粗，計(jì)算越簡單，但能夠表示的問題也就越少。

比如拋擲一枚骰子考察出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，樣本空間可以是 Ω={1，2，3，4，5，6}，也可以是Ω={奇數(shù)，偶數(shù)}，后者對(duì)于考察出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)這個(gè)事件比較簡單，但不能表示諸如出現(xiàn)小于4點(diǎn)這樣的事件。

我們認(rèn)為關(guān)于樣本空間的教學(xué)應(yīng)該主要強(qiáng)調(diào)它是隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果的表示，其中的基本事件盡可能要求具有均勻性，粒度宜細(xì)不宜粗. 在教學(xué)過程中，舉一例說明即可。

例1（抽簽?zāi)Ｐ停?0個(gè)球中有3個(gè)黑色，7個(gè)白色。10人依次各摸一球， 試寫出該試驗(yàn)的樣本空間。

解一：考慮10個(gè)球被摸到的先后順序，則10個(gè)球的任意一個(gè)全排列對(duì)應(yīng)一個(gè)基本事件，共有10！種不同排列，樣本空間共有10！個(gè)樣本點(diǎn)。

解二：考慮小球時(shí)除了顏色外，不可分辨，則只有兩種元素：一種有7個(gè)（白色球），另一種有3個(gè)（黑色球），它們共有C種可能的順序（只要分清哪些人摸到白球，哪些人摸到黑球即可），所以基本事件總數(shù)為C。

上述兩個(gè)樣本空間都可以作為抽簽?zāi)Ｐ?，區(qū)別在于粒度不同，第一個(gè)樣本空間是第二個(gè)的細(xì)化，第二個(gè)是第一個(gè)的粗化，后者的一個(gè)樣本點(diǎn)相當(dāng)于前者的7！3！個(gè)樣本點(diǎn)。

至于具體問題最優(yōu)樣本空間的選擇實(shí)屬技巧性問題，學(xué)生很容易忘記，教育價(jià)值非常有限，在教學(xué)和考查過程中應(yīng)該淡化。

二、事件域——夠用就好

事件域是概率空間的第二個(gè)要素，粗略地講就是樣本空間中某些子集組成的集族，它是定義事件概率的基礎(chǔ)。 然而，在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生往往認(rèn)識(shí)不到事件域的作用，甚至認(rèn)為考慮事件域是多此一舉。我們根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)事件域的作用和構(gòu)造原則做一些分析，旨在對(duì)教學(xué)和學(xué)習(xí)都有所幫助。

當(dāng)樣本空間為不可數(shù)集時(shí)，一般不會(huì)取其冪集作為事件域。

例6 考慮一個(gè)測量誤差的試驗(yàn)，樣本空間是一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間，此時(shí)事件域幾乎都取的是Borel域（一個(gè)由開集逐步擴(kuò)展形成的集類[8]）。值得注意的是我們這里沒有把所有子集都看成是事件（存在不是Borel集的實(shí)數(shù)集），這有兩個(gè)方面的考慮。一是實(shí)數(shù)集的冪集太大，在其上不可能定義一個(gè)恰當(dāng)?shù)母怕?；另一是我們只需將有用的子集看成是事件即可，?duì)于研究的隨機(jī)試驗(yàn)，夠用就好。

第三，事件域確定之后，只有出現(xiàn)在事件域中的才是事件，否則就不是。這可能與隨機(jī)事件的實(shí)際背景有一些沖突，初學(xué)者不必太計(jì)較這個(gè)出入。

如果考慮的事件太多，我們就要對(duì)太多的事件求概率（參見后文），問題就很復(fù)雜，不易甚至不能處理；若考慮的事件太少，兩個(gè)事件的運(yùn)算結(jié)果有可能不再是事件，就不能滿足我們的需要。所以，把哪些子集看成事件，要根據(jù)試驗(yàn)的目的來決定，夠用就好。

雖然事件域定義抽象，如果教師們能在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生用以上直觀的想法重新考量其中的三個(gè)條件，相信學(xué)生會(huì)感受到公理化語言的獨(dú)特魅力，使學(xué)生體會(huì)冰冷的形式化語言背后那火熱的思考。

三、概率——面積的泛化

概率空間的第三個(gè)要素就是概率。事件A的概率以P（A）表示，它是一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)。

一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小是其自身的特性，就好比一支粉筆的長度，一塊桌面的面積。概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，因此我們認(rèn)為在教學(xué)實(shí)踐中首先應(yīng)該強(qiáng)調(diào)概率的測度屬性——概率是面積的泛化。概率的測度屬性是其最本質(zhì)的數(shù)學(xué)特征。

如何確定一個(gè)給定事件的概率大??？ 答案是采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄈァ皽y量”它。

古典概率就是在古典概型中概率的賦值方法。這個(gè)模型要求滿足兩個(gè)條件：一是樣本空間是有限集；二是樣本點(diǎn)是勻質(zhì)的。在這樣一個(gè)模型中概率的計(jì)算公式就是有利樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)除以總的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，這是容易理解的，但需要注意三個(gè)問題。

一是樣本空間的粒度與具體問題的關(guān)系。正如前文所言，不同的樣本空間的粒度可能會(huì)帶來解決問題的難度不同，也就是說模型有優(yōu)劣之分，但我們認(rèn)為這不應(yīng)該成為教學(xué)的重點(diǎn)。學(xué)生經(jīng)常犯的錯(cuò)誤是分子分母使用的計(jì)數(shù)方式不一致，比如分母考慮了順序，而分子沒有考慮，這相當(dāng)于分子和分母是從不同的樣本空間計(jì)數(shù)得到的。

二是樣本點(diǎn)勻質(zhì)性是個(gè)基本假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，往往由對(duì)稱性或某種均衡性來判斷基本事件的等可能性。但有些時(shí)候只憑主觀對(duì)物理性質(zhì)或幾何對(duì)稱性的判斷是不完全確切的。例如一個(gè)平常的擲骰子試驗(yàn)，出現(xiàn)1點(diǎn)，2點(diǎn)，……，6點(diǎn)的可能性似乎都是一樣的，但仔細(xì)分析可知，由于骰子各面所刻點(diǎn)數(shù)不同而導(dǎo)致其重心偏離其幾何中心。這屬于模型與現(xiàn)實(shí)的問題，模型總是現(xiàn)實(shí)的近似。

三是計(jì)數(shù)的繁雜性。計(jì)數(shù)的精巧訓(xùn)練無助于對(duì)概率的理解，計(jì)數(shù)問題有些是很有難度的，老師們常常也是先看答案，再想推導(dǎo)。我們認(rèn)為計(jì)數(shù)方法的教學(xué)不宜太深入，學(xué)生能夠掌握幾種基本模式就可以了。

幾何概率是在幾何概型中概率的賦值方法。這個(gè)模型和古典概型相同點(diǎn)是要求樣本點(diǎn)的勻質(zhì)性，不同點(diǎn)是樣本空間是無限集。概率計(jì)算公式不能再用“計(jì)數(shù)”（測度），而應(yīng)該用“長度”、“面積”、“體積”等測量值。在具體問題中樣本點(diǎn)的勻質(zhì)性通常都是近似滿足，與古典概型一樣，這屬于模型與現(xiàn)實(shí)的問題。

回到前文關(guān)于事件域的論述，我們只要對(duì)事件域中的事件賦值一個(gè)合適的概率就可以了。也就是說，我們要確定一個(gè)定義域是事件域的函數(shù)P：F→[0，1]，在數(shù)學(xué)中我們暫且不管如何確定這個(gè)集函數(shù)，而是關(guān)心它應(yīng)該滿足什么樣的性質(zhì)，這正是數(shù)學(xué)的公理化思想。

定義3[1] 設(shè)F是一個(gè)事件域，P（·）為定義在F上的實(shí)值集函數(shù)，若它滿足：

則稱P（·）為事件域F上的概率（測度）。其中P（A）就稱為事件A的概率。

概率的公理化定義是概率本質(zhì)屬性的體現(xiàn)，本身不能計(jì)算概率。古典概率、統(tǒng)計(jì)概率、幾何概率都是在一定的場合下，給概率賦值的方法，它們都滿足公理化定義，都是概率?？梢姼怕实墓砘x刻畫了概率的數(shù)學(xué)本質(zhì)。事實(shí)上，在事件域F上給出一個(gè)函數(shù)，且滿足定義3的條件，就被稱為概率；否則，就不能稱為概率。

根據(jù)這一定義，我們就能對(duì)概率執(zhí)行各種運(yùn)算，并得到邏輯演繹下的很多有用的結(jié)果，因此我們還是別對(duì)這種抽象的定義抱有怨言了，對(duì)公理?xiàng)l件給出樸素而直觀的理解才是正道，接受公理化方法是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本方法之一。

學(xué)生在學(xué)習(xí)概率論時(shí)，已經(jīng)在先修課程（比如線性代數(shù)中）有了數(shù)學(xué)公理化思想的初步訓(xùn)練，因而在概率空間的教學(xué)過程中概率的公理化定義是能夠接受的。最重要的是，在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生直觀地理解其中的三個(gè)條件，尤其是對(duì)概率可加性，可以結(jié)合后面概率的性質(zhì)（如單調(diào)性和連續(xù)性）進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)。同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽探索，了解一些在人工智能領(lǐng)域非常有用但不滿足可加性的非概率測度，比如信任測度與似然測度，可能性測度與必然性測度等。旨在使學(xué)生感受到抽象的形式化表示，背后蘊(yùn)涵的想法是直觀的。

有了概率空間這個(gè)平臺(tái)，隨機(jī)變量就可以出場表演了。通俗地講，隨機(jī)變量就是一個(gè)會(huì)隨著試驗(yàn)結(jié)果不同而變化的量。正式地講，隨機(jī)變量是定義在樣本空間，取值于實(shí)數(shù)（向量）的一個(gè)函數(shù)而已，對(duì)這個(gè)函數(shù)的唯一限制由事件域完成，即要求這個(gè)函數(shù)不超過任意一個(gè)實(shí)數(shù)所對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)組成一個(gè)事件。與微積分研究函數(shù)不同，對(duì)于隨機(jī)變量，人們更多地關(guān)心其取值（值域）情況。具體而言，對(duì)隨機(jī)變量的描述有兩個(gè)角度。一是研究隨機(jī)變量的所有可能的取值及其伴隨的概率大小，二是考察隨機(jī)變量的一些特征描述，這兩個(gè)角度分別對(duì)應(yīng)了隨機(jī)變量的分布函數(shù)和數(shù)字特征，概率論的內(nèi)容大體如此。

四、結(jié)束語

學(xué)習(xí)三元組（Ω，F(xiàn)，P）能夠幫助我們迅速理解概率論中的很多理論，借助概率空間，很多原本似是而非的概念與性質(zhì)將變得清晰而嚴(yán)密。學(xué)生在感受形式化語言所特有魅力的同時(shí)，受到數(shù)學(xué)演繹邏輯思維的訓(xùn)練。

在教學(xué)活動(dòng)中，如果教師能適時(shí)而巧妙地啟發(fā)學(xué)生，從樸素的想法出發(fā)，學(xué)生對(duì)形式化語言所描述的抽象定義是可以理解的。教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生理解冰冷的形式化背后，數(shù)學(xué)家是怎么思考問題的，從而獲得數(shù)學(xué)思想的熏陶，得到良好的情感體驗(yàn)。

很多學(xué)生大學(xué)畢業(yè)進(jìn)入社會(huì)后，感覺大學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)沒有什么用，很快就忘掉了。但是，不論他們將來從事什么職業(yè)，那種具有樸素想法支撐的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維方法、數(shù)學(xué)表達(dá)方法等，卻會(huì)潛移默化地發(fā)揮作用，使他們終生受益。

本文是筆者多年來在概率論教學(xué)和研究的結(jié)果，主要是從概率空間的學(xué)術(shù)形態(tài)考慮，針對(duì)概率空間的三個(gè)要素的教學(xué)，得到的一些體會(huì)和經(jīng)驗(yàn)。目的是探討在一定的學(xué)術(shù)水準(zhǔn)上如何能夠精準(zhǔn)把握教學(xué)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)知識(shí)學(xué)術(shù)形態(tài)向師范形態(tài)的有效轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生克服對(duì)形式化描述公理化定義的恐懼心理，讓學(xué)生理解形式化背后的樸素想法，有利于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。

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