李思彥

摘 要：高階導(dǎo)數(shù)作為一元函數(shù)微分學(xué)中的重要概念，是微積分的重要內(nèi)容。高階導(dǎo)數(shù)對(duì)有效解決一些實(shí)際問題提供了重要的方法，也是后繼課程學(xué)習(xí)的一個(gè)重要基礎(chǔ)，但是學(xué)生在高階導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中還存在著一定的問題。文章對(duì)高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)進(jìn)行了思考和總結(jié)，希望對(duì)高階導(dǎo)數(shù)的教學(xué)起到一定的促進(jìn)作用。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)教學(xué)；高階導(dǎo)數(shù)；求導(dǎo)方法

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2018）08-0122-03

Abstract： As an important concept of calculus of one-dimensional functions， the higher order derivative is an important part of calculus. The higher derivatives provide an important method for solving some practical problems effectively， and are also an important basis for subsequent course learning. However， students have some problems in the study of higher derivatives. This paper considers and summarizes the higher derivative teaching， and hopes to promote the teaching of higher derivatives.

Keywords： advanced mathematics Teaching； Derivative of Higher Order； differentiation method

高階導(dǎo)數(shù)作為一元函數(shù)微積分中的重要概念，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。高階導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)與實(shí)際問題相聯(lián)系的一個(gè)重要橋梁，它對(duì)于有效解決生活中的一些實(shí)際問題提供了重要的方法，例如曲線的凹凸性、極值問題、曲率等問題。高階導(dǎo)數(shù)也是課程后繼學(xué)習(xí)的一個(gè)重要基礎(chǔ)。本文對(duì)高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)進(jìn)行了思考和總結(jié)，希望對(duì)高階導(dǎo)數(shù)的教學(xué)起到一定的促進(jìn)作用。

一、利用實(shí)例引入，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

愛因斯坦曾經(jīng)說過：“興趣是最好的老師”。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的途徑是多種多樣的，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)上，引入實(shí)例，有利于學(xué)生了解高等數(shù)學(xué)在實(shí)際生活、具體問題中應(yīng)用，啟發(fā)學(xué)生思考，提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。高等數(shù)學(xué)教材中高階導(dǎo)數(shù)的實(shí)例一般都是“路程與加速度的關(guān)系”這個(gè)例子，其實(shí)適用于高階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的實(shí)例不少，例如“國防預(yù)算增長問題”、“曲線的凹凸性”、“通貨膨漲率升降問題”、“股票價(jià)格升降問題”、“最值及最優(yōu)化問題”等。利用實(shí)例引入課題，目的是通過實(shí)際生活、具體問題中的實(shí)例，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

實(shí)例 曲線的凹凸性

設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上連續(xù)。在區(qū)間I內(nèi)任意作曲線y=f（x）的切線，若曲線總是在切線上方，則稱此曲線在區(qū)間I上是凹的；若曲線總是在切線下方，則稱此曲線在區(qū)間I上是凸的。如圖1，弧AB是凸的，弧BC是凹的。從圖中可以看出，對(duì)于曲線凸弧AB，當(dāng)x增加時(shí)，其切線的斜率在減少，曲線凸弧BC，當(dāng)x增加時(shí)，其切線的斜率在增加；再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，處處存在不垂直x軸的切線的曲線的凹凸性可以由導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定。導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)，以此類推，n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n階導(dǎo)數(shù)。

二、引導(dǎo)學(xué)生了解高階導(dǎo)數(shù)在課程中的重要性

高階導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容。一方面，高階導(dǎo)數(shù)對(duì)于用高等數(shù)學(xué)有效解決生活中的一些實(shí)際問題提供了重要的方法，例如彎曲道路設(shè)計(jì)，橋梁的抗彎模量等；另一方面，高階導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，它與我們后面學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)的很多重要內(nèi)容相關(guān)。高等數(shù)學(xué)中與高階導(dǎo)數(shù)相關(guān)的重要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)，包括：泰勒公式、曲線凹凸性與拐點(diǎn)、極值與最值、曲率、高階偏導(dǎo)數(shù)、無窮級(jí)數(shù)、微分方程等。例如，無窮級(jí)數(shù)這章的將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)兩節(jié)中，先利用高階導(dǎo)數(shù)給一般項(xiàng)的系數(shù)表達(dá)式，再給出函數(shù)的展開式。因此，高階導(dǎo)數(shù)是無窮級(jí)數(shù)的重要基礎(chǔ)。學(xué)好高階導(dǎo)數(shù)，不僅能使學(xué)生學(xué)到必要的高等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)點(diǎn)和技能，而且能為學(xué)生進(jìn)行后期的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

三、強(qiáng)化求導(dǎo)方法教學(xué)是學(xué)好高階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)

一般來說，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)都比較枯燥乏味，除了概念是比較抽象以外，主要還是學(xué)生對(duì)所給題目“算不出來”或者“不會(huì)做”。教師在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生掌握更多的方法來處理實(shí)際計(jì)算問題，形成能解決實(shí)際計(jì)算問題的滿足感，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。在高階導(dǎo)數(shù)的教學(xué)過程中，要用一定量的例題來強(qiáng)化求高階導(dǎo)數(shù)的方法與技巧的教學(xué)，尤其要重視基本方法和重要技巧的介紹，它是學(xué)好高階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)。求解高階導(dǎo)數(shù)的一些方法與技巧總結(jié)如下：

（一）按定義逐階求導(dǎo)

當(dāng)只需求比較低階的高階導(dǎo)數(shù)（如二階、三階）時(shí)，一般采取按定義逐階求導(dǎo)的方法求導(dǎo)。利用高階導(dǎo)數(shù)的定義式（增量比極限）求導(dǎo)可看成是此法的特殊情形，分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)常用此法。隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)方法也可歸為此法。

四、關(guān)注考研和數(shù)學(xué)競賽，拓寬學(xué)生知識(shí)面

在高等教育不斷發(fā)展、日新月異的今天，教師要以發(fā)展的眼光看待高等數(shù)學(xué)，應(yīng)該賦予高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)更多的動(dòng)態(tài)理念，不斷維護(hù)和調(diào)整其廣度和應(yīng)用的內(nèi)涵，使其更好地為培養(yǎng)高素質(zhì)人才服務(wù)。考研數(shù)學(xué)主要以考察大學(xué)數(shù)學(xué)的基本概念、基本方法和基本原理為主，考研試題難度適宜，是很好的教學(xué)素材；大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽主要側(cè)重于考查參賽者分析問題、解決問題的能力，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維，競賽試題內(nèi)容能體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和方法及其應(yīng)用。積極關(guān)注考研和數(shù)學(xué)競賽的發(fā)展趨勢，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，拓寬學(xué)生知識(shí)面，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)生對(duì)進(jìn)一步的數(shù)學(xué)和專業(yè)學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。高階導(dǎo)數(shù)歷年來都是考研和大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的重要考查內(nèi)容，考查題型可以是客觀題也可以是主觀題，計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)關(guān)鍵在于掌握求導(dǎo)的方法。

考研和數(shù)學(xué)競賽指導(dǎo)書常會(huì)有相關(guān)的計(jì)算方法總結(jié)，這是學(xué)生在數(shù)學(xué)上形成新知識(shí)、拓寬知識(shí)面的重要方法、步驟。在高階導(dǎo)數(shù)求法中，一般的考研和競賽參考書都會(huì)介紹-利用泰勒展開式求導(dǎo)，該法先利用間接法求出函數(shù)的泰勒展開式，若其在x0點(diǎn)處的泰勒展開式為

五、結(jié)束語

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，高階導(dǎo)數(shù)是比較重要的內(nèi)容，可以幫助學(xué)生更好地解決函數(shù)的極值、凹凸性、曲率、無窮級(jí)數(shù)等問題，因此需要作為教學(xué)重點(diǎn)來對(duì)待。教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，強(qiáng)化求導(dǎo)方法教學(xué)，為學(xué)生對(duì)進(jìn)一步的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。在課堂教學(xué)中，要注意對(duì)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系進(jìn)行講解，使學(xué)生清晰地了解高階導(dǎo)數(shù)的作用、應(yīng)用。

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