中考中的反比例函數(shù)

葛春奎 潘曉花

一、一般的面積問題

在反比例函數(shù)y=[kx]（k≠0）圖像中，過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積S=[k]或所得直角三角形面積S=[12][k].這是中考經(jīng)常考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.同學(xué)們做此類題一定要正確理解k的幾何意義.

【例1】（2016·張家界）如圖1，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=[kx]（x<0）圖像上的一點(diǎn)，PA垂直于y軸，垂足為點(diǎn)A，PB垂直于x軸，垂足為點(diǎn)B，若矩形PBOA的面積為6，則k的值為 .

【解析】因?yàn)榫匦蜳BOA的面積為6，可得[k]=6，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y=[kx]（x<0）的圖像過第二象限，故k<0，答案為k=-6.

【例2】（2015·涼山州）以正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，雙曲線y=[3x]經(jīng)過點(diǎn)D，則正方形ABCD的面積是（ ）.

A.10 B.11 C.12 D.13

【解析】[14]S矩形ABCD=[k]=3，易得S矩形ABCD=4×3=12.或者[18]S矩形ABCD=[12][k]=[32]，易得S矩形ABCD=8×[32]=12.故選C.

【例3】（2016·漳州）如圖3，點(diǎn)A、B是雙曲線y=[6x]上的點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作x軸和y軸的垂線段，若陰影部分面積為2，則空白部分的面積的和S1+S2為 .

【解析】∵S1+S陰影=[k]=6，S2+S陰影=[k]=6，

∴S1+S2+2S陰影=12，

∵S陰影=2，

∴S1+S2=12-4=8.故答案為8.

二、與幾何圖形相結(jié)合的面積問題

【例4】（2016·云南）位于第一象限的點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=[kx]的圖像上，點(diǎn)F在x軸的正半軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若EO=EF，△EOF的面積等于2，則k=（ ）.

A.4 B.2 C.1 D.-2

【解析】因?yàn)镋O=EF，△EOF的面積等于2，根據(jù)等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，可得[12]×2xy=2，解得xy=2，所以k=2.答案選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題把反比例函數(shù)和等腰三角形結(jié)合在一起進(jìn)行考查，沒有圖形.所以同學(xué)們首先要能夠準(zhǔn)確畫出圖形，再根據(jù)反比例函數(shù)k的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)求解.

三、雙反比例函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合的面積問題

【例5】（2016·菏澤）反比例函數(shù)y=[ax]（a>0，a為常數(shù)）和y=[2x]在第一象限內(nèi)的圖像如圖4所示.點(diǎn)M在y=[ax]的圖像上，MC⊥x軸于點(diǎn)C，交y=[2x]的圖像于點(diǎn)A；MD⊥y軸于點(diǎn)D，交y=[2x]的圖像于點(diǎn)B.當(dāng)點(diǎn)M在y=[ax]的圖像上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：①S△ODB=S△OCA；②四邊形OAMB的面積不變；③當(dāng)點(diǎn)A是MC的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)B是MD的中點(diǎn).其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】①正確.A、B兩點(diǎn)都是y=[2x]圖像上的點(diǎn)，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，可知S△ODB和S△OCA都等于[12][k]=1.

②正確.根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可知：S矩形OCMD=[k]=a，S四邊形OAMB=S矩形OCMD-S△ODB-S△OCA=a-2，所以不變.

③正確.如圖5，連接OM，點(diǎn)A是MC的中點(diǎn)，則S△OAM=S△OAC.

∵S△OAM+S△OAC=S△OCM，

∴S△OAM=S△OAC=[12]S△OCM，

∵S△ODM=S△OCM，S△ODB=S△OAC，

∴S△ODB=S△OBM=[12]S△ODM.

∴點(diǎn)B一定是MD的中點(diǎn).故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題對(duì)反比例函數(shù)k的幾何意義的考查由淺入深，由單個(gè)反比例函數(shù)到雙反比例函數(shù)，同學(xué)們需要正確理解反比例函數(shù)k的幾何意義.

【例6】（2016·宿遷）如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線與反比例函數(shù)y=[8x]（x>0）的圖像交于兩點(diǎn)A、B，與x軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，分別過兩點(diǎn)A、B作x軸的平行線，與反比例函數(shù)y=[2x]（x>0）的圖像交于兩點(diǎn)D、E，連接DE，則四邊形ABED的面積為 .

【解析】點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y=[8x]（x>0）的圖像上，故可以設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，[8m]），根據(jù)點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，且點(diǎn)C在x軸上，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2m，[4m]）.

又因?yàn)锳D、BE與x軸平行，且點(diǎn)D、E在反比例函數(shù)y=[2x]（x>0）的圖像上，易得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（[m2]，[4m]），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（[m4]，[8m]）.

∴S梯形ABED=[12]（BE+AD）h=[12]（2m-[m2]+m-[m4]）（[8m]-[4m]）=[92].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)與線段長度的轉(zhuǎn)化以及梯形的面積等，解題的關(guān)鍵是用參量m表示出點(diǎn)A、B、E、D的坐標(biāo).只要設(shè)出其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再用該點(diǎn)坐標(biāo)所含的字母表示出其他點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)遙觀初級(jí)中學(xué)）