王章進(jìn) 周 叮 陸偉東

(南京工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院,南京211816)

0 引 言

CLT[1]是由至少三層以上實木鋸材或結(jié)構(gòu)復(fù)合板材正交層合疊放,采用結(jié)構(gòu)膠黏劑壓制而成的一種新型木質(zhì)工程材料,如圖1所示。

對于CLT力學(xué)性能的研究,國外正在展開大量相關(guān)研究并取得了一系列成果。2010-2011年,R.Stürzenbecher和K.Hofstetter[1-2]基于Lekhnitskii[3]和Ren[4]板模型,提出了高效、相對精確的疊層板計算方法,并對3層以內(nèi)的CLT板進(jìn)行了受彎承載力對比分析。時境晶等[5]對重型木結(jié)構(gòu)梁柱植筋節(jié)點進(jìn)行了抗彎承載力研究,分析了其破壞形態(tài)和破壞機理,并提出了粘結(jié)應(yīng)力和梁柱節(jié)點的抗彎承載力計算公式。CLT相比其他建筑材料,除了天然、可持續(xù)[6-7]的優(yōu)點外,還具有良好的抗震性能,由CNR Ivalsa實施的SOFIE[8]項目和后續(xù)的關(guān)于CLT地震作用實驗[9],展示了CLT在抗震方面的巨大潛力。Hirofumi Ido等[10]試驗研究了寬度和層數(shù)對CLT簡支梁彈性模量和抗拉強度的影響。熊海貝等[11]通過試驗研究了不同支承形式和螺栓數(shù)目對梁柱式木框架體系的承載力和抗側(cè)力影響。Bhaskar等[12]采用彈性力學(xué)精確方向研究了四邊簡支正交各向異性加筋板的動力性能。與輕型木結(jié)構(gòu)相比,CLT結(jié)構(gòu)還具有很好的絕熱性能、隔聲性能和耐火性能[13-14]。CLT技術(shù)在歐洲的住宅及非住宅的應(yīng)用十分廣泛,其中一些地區(qū)是地震多發(fā)區(qū)。梁、板是工程結(jié)構(gòu)中最為常見的構(gòu)件,當(dāng)外部荷載的頻率和構(gòu)件的自振頻率接近,容易引發(fā)共振而造成嚴(yán)重破壞,因此CLT作為一種木質(zhì)新型板,對固有頻率的精確求解是一個基本而有重要的問題。劉杏杏等[15]對膠合木框架-剪力墻結(jié)構(gòu)抗側(cè)力性能進(jìn)行了通用有限元分析。楊正光等[16]利用狀態(tài)空間法并結(jié)合級數(shù)展開法求解了四邊簡支功能梯度矩形板的靜力彎曲和自由振動問題。范家讓[17]基于三維彈性理論,運用狀態(tài)空間法,推導(dǎo)得到多種邊界條件下的層合板、殼(指單層板殼按一定順序和角度疊層起來)靜力彎曲解和自由振動的解析解。根據(jù)人體對振動的敏感度,歐洲規(guī)范5和英聯(lián)邦設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)要求無活載樓板的固有頻率不宜低于8 Hz,Jan Weckendorf和Ian Smith等[18-19]對木結(jié)構(gòu)樓板的振動舒適度進(jìn)了較為系統(tǒng)的分析,分別對不同類型的CLT板、不同支承和邊界條件、施工細(xì)節(jié)以及人體對樓板的模態(tài)、頻率及阻尼的影響。Jarnero K等[20]分別從施工現(xiàn)場和實驗室測試木結(jié)構(gòu)樓板振動特性進(jìn)行了分析,發(fā)現(xiàn)現(xiàn)場測試的樓板阻尼比遠(yuǎn)高于實驗室測試的樓板阻尼比。

本文將CLT板作為中厚板,采用彈性力學(xué)[21]的精確方法對CLT板的動力學(xué)[22]特性進(jìn)行分析,首先確定整體坐標(biāo)系下剛度系數(shù)與工程彈性系數(shù)的關(guān)系,然后由CLT板上下表面的界面條件,建立CLT板的狀態(tài)傳遞方程,由初始位移不全為零,給出任意厚度CLT板的各階固有頻率的解法。

1 CLT板剛度系數(shù)與工程常數(shù)的關(guān)系

如圖2所示為四邊簡支CLT的模型圖,長度為a,寬度為b,密度為ρ,CLT板的厚度為h。以第一層板x軸為順紋方向,y軸為橫紋方向。第二層板則剛好相反,x軸為橫紋方向,y軸為順紋方向。每個相鄰層依次交替正交鋪設(shè)。共有p層,下標(biāo)j表示第j層而言。

圖2 CLT模型圖Fig.2 Model of CLT

用E1,E2,E3分別表示木材在x、y、z方向的彈性模量。μ12表示x方向拉伸(壓縮)引起y方向的縮短(伸長)的泊松比,其余類推。μ21表示y方向拉伸(壓縮)引起x方向的縮短(伸長)的泊松比其余類推。G23表示y和z方向之間直角變化的剪切模量,其余類推。由廣義胡可定律可知,對于正交異性體,剛度系數(shù)Cij=Cji(i,j=1,2,…,6),由應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可得:

(1)

用工程彈性常數(shù)表示,由疊加原理可得

(2)

E1μ21=E2μ12,E2μ32=E3μ23,E3μ12=E1μ31

(3)

將式(3)代入式(2)進(jìn)行求逆,與式(1)聯(lián)立可求得:

Q=1-μ12μ21-μ23μ32-μ31μ13-2μ12μ23μ31

(4)

以上公式可直接應(yīng)用于木材沿x軸為順紋的情況,對于正交鋪設(shè)的木板,若y軸為順紋方向,只需將式(4)中的工程常數(shù)E、μ、G的下標(biāo)1與2進(jìn)行互換,便可得到y(tǒng)軸為順紋方向情況下的剛度系數(shù)。故只要知道這9個工程彈性常數(shù)即可得到任意一層板在整體坐標(biāo)系下的剛度系數(shù)矩陣。

1.1 基本方程及單層板自由振動方程的解

如圖3所示為單層的四邊簡支CLT板模型,長度為a,寬度為b,板厚度為h,密度為ρ。在直角坐標(biāo)系中,x軸和y軸分別為木材的順紋方向和橫紋方向。

圖3 單層CLT板模型Fig.3 Model of single-layer CLT plate

木材為正交異性彈性體,本構(gòu)方程為:

(5)

αU+C5βV

(6)

(7)

(8)

由應(yīng)力位移表示的動力方程可知:

(9)

(10)

(11)

由式(11)可得:

ξ2U-αX-βY

(12)

由式(5)可得σx,σy,τxy:

(13)

(14)

τxy=C6(αV+βU)

(15)

將式(13)和式(15)代入式(9),并用式(6)式簡化可得:

(16)

將式(14)和式(15)代入式(10),并用式(6)進(jìn)行簡化得:

(17)

將式(6)至式(17)的6個方程寫成矩陣形式,則有:

(18)

令

則式(18)轉(zhuǎn)化為

(19)

將式(6)分別代入式(13)、式(14)和式(15)并化簡得:

(20)

令

(21)

上式滿足四邊簡支的邊界條件:

x=0,a;σx=0,W=0,V=0,

y=0,b;σy=0,W=0,U=0

(22)

將式(21)代入式(19),對于每對m-n都有:

(23)

上式中,

(24)

由狀態(tài)方程的解可知：

(25)

令

(26)

D(z,ω)=eD·z

(27)

則式(25)變?yōu)椋?/p>

R(z)=D(z,ω)·R(0),z∈[0,h]

(28)

當(dāng)z=h時,有R(h)=D(h,ω)R(0),R(0)為初始值,即CLT板上表面(z=0)處的3個位移分量和3個應(yīng)力分量。矩陣的指數(shù)函數(shù)eD.z,有多種解析解法,這里采用凱萊哈密頓(Cayley-Hamilton)定理進(jìn)行求解。

1.2 邊界條件及固有頻率的解

由已知條件可知CLT板在自由振動時,上、下表面外力:

上表面:Zmn(0)=0,Xmn(0)=0,Ymn(0)=0,

下表面:Zmn(h)=0,Xmn(h)=0,Ymn(h)=0,

(29)

將上式代入式(28),可得：

(30)

由上式可得：

(31)

令

(32)

則式(31)轉(zhuǎn)化為：

(33)

由于Umn(0),Vmn(0),Wmn(0)不全為零,故：

D*(h,ω)=0

(34)

上式即為單層正交異性板的頻率方程,它是一個超越方程,該方程對于每一對m-n,都有無數(shù)個解,對應(yīng)于無窮個固有頻率,當(dāng)m、n的值確定時,由MATLAB內(nèi)置的搜根程序?qū)κ?34)的零點進(jìn)行求解,可得到最小的非零實根,即為模態(tài)(m,n)的固有頻率。

2 四邊簡支CLT板的自由振動求解

多層正交鋪設(shè)CLT板模型如圖2所示,重復(fù)單層CLT板自由振動方程推導(dǎo)過程可得：

Rj(z)=Dj(z,ω)·Rj(0),z∈[0,hj],

(35)

式(35)中,

(36)

(37)

在式(35)中,令z=hj得：

Rj(hj)=Dj(hj,ω)·Rj(0)

(38)

Dj(hj,w)為6階常元素矩陣且因?qū)佣?。?dāng)j=1,2時,分別有：

R1(h1)=D1(h1,ω)·R1(0)

(39)

R2(h2)=D2(h2,ω)·R2(0)

(40)

R1(h1)為第一層下表面6個應(yīng)力及位移量,R2(0)為第二層上表面6個應(yīng)力及位移量。根據(jù)層間應(yīng)力和位移的連續(xù)條件,該兩組量相等,即：

R1(h1)=R2(0)

則由式(39)和式(40)得:

R2(h2)=D2(h2,ω)·D1(h1,ω)·R1(0)

(41)

逐層類推,可得:

Rp(hp)=Dp(hp,ω)·Dp-1(hp-1,ω)…

D2(h2,ω)·D1(h1,ω)·R1(0)

(42)

Rp(hp)=∏(hp,ω)·R1(0)

(43)

R1(0)為初始值,∏為6階常元素矩陣,式(43)的顯式為：

(44)

式(44)經(jīng)過簡單運算可得:

(45)

2.1 邊界條件及固有頻率的解

由已知條件可知CLT板自由振動時,上、下表面外力:

第1層上表面:

Zmn(0)=0,Xmn(0)=0,Ymn(0)=0,

第p層下表面:

Zmn(hp)=0,Xmn(hp)=0,Ymn(hp)=0

(46)

將式(46)代入式(45),可得：

(47)

令

(48)

由于Umn(0),Vmn(0),Wmn(0)不全為零,故有:

∏*(hp,ω)=0

(49)

式(49)即為四邊簡支CLT板的固有頻率方程,這也是一個超越方程,求解方式與式(34)相同,由MATLAB進(jìn)行求解,得到對應(yīng)模態(tài)下的固有頻率。

3 參數(shù)分析

CLT主要由杉木或松木制作而成,參考文獻(xiàn)[23]給出的木材的材性參數(shù),取花旗松的9個工程常數(shù)分別為:E1=10 800,E2=734,E3=540,G12=690,G13=843,G23=76(單位:MPa),泊松比μ12=0.292,μ13=0.449,μ23=0.390。四邊簡支CLT板的長度a=3 000 mm,寬度b=3 000 mm,密度ρ=0.49 g/cm3,板的總厚度h=200 mm,層數(shù)為p,每層等厚(h1=h2=…=hp=d),CLT板的第一層以順紋方向為x軸方向。

下面分析四邊簡支CLT板的動力學(xué)特性,并與有限元軟件Abaqus的結(jié)果進(jìn)行比較。Abaqus分析四邊簡支CLT板采用三維實體建模,使用C3D8R單元,層間接觸面采用tie綁定約束,對x=0,a和y=0,b界面采取反對稱約束模擬四邊簡支邊界條件,表1給出了p=3時,總厚度h=200 mm四邊簡支CLT板的前5階固有頻率,由表1可以看出,本文解與有限元解吻合得很好,前五階頻率中最大誤差僅為2.0%,驗證了本文解的正確性。

表1本文解與有限元解的比較

Table 1Comparison of present solutions with FE solutions

圖4 四邊簡支CLT板自由振動第一階模態(tài)Fig.4 Fundamental mode shape of simply supported CLT plate

圖5 四邊簡支CLT板自由振動第二階模態(tài)Fig.5 Second mode shape of simply supported CLT plate

圖6 四邊簡支CLT板自由振動第三階模態(tài)Fig.6 Third mode shape of simply supported CLT plate

3.1 層數(shù)對四邊簡支CLT板固有頻率的影響

CLT板的材料性質(zhì)和模型尺寸如前所述,保持總厚度h=200 mm不變,取層數(shù)p=3,5,7時,研究不同層數(shù)四邊簡支CLT板的無阻尼自由動力特性。圖7給出了不同層數(shù)對四邊簡支CLT板前5階固有頻率的影響。

圖7 不同層數(shù)對四邊簡支CLT板固有頻率的影響Fig.7 Effect of different number of layers on vibration frequencies of simply supported CLT plates

從圖7可以看出,四邊簡支CLT板除三階固有頻率外,其余各階頻率隨著層數(shù)的增加而增大,四邊簡支CLT板的剛度隨著層數(shù)的增加剛度增大。三階固有頻率對應(yīng)的模態(tài)(m=2,n=1),如圖6所示。由于CLT板采用正交鋪設(shè),在厚度保持不變的情況下,隨著層數(shù)的增大,其x軸方向的剛度逐漸減小,而y軸方向的剛度則逐漸增大,所以對于第三階模態(tài),CLT板的三階固有頻率隨著層數(shù)的增大而減小,符合工程實際情況。但是層數(shù)的變化對四邊簡支CLT板的自由振動頻率影響不是很明顯,層數(shù)p從3層到7層時,一階頻率只提高了2.9%。

3.2 寬厚比對四邊簡支CLT板固有頻率的影響

四邊簡支CLT板的材料性質(zhì)、模型的長和寬如前所述,保持CLT邊長a不變,取層數(shù)p=3,改變總厚度h,研究具有不同寬厚比(h/a) 四邊簡支CLT板的無阻尼自由動力特性。表2給出了不同寬厚比對四邊簡支CLT板前5階固有頻率的影響。

由表2可以看出,四邊簡支CLT板的各階固有頻率均隨著寬厚比(h/a)的增大而增大,即剛度隨著寬厚比的增大而增大。寬厚比的變化對四邊簡支CLT板的固有頻率影響較大,但各階固有頻率的增長率隨著寬厚比的增大有所降低,如寬厚比(h/a)分別從0.05～0.1和0.1～0.2時,一階固有頻率增長率分別為67.3%和44.7%,固有頻率增長率有所降低。

表2不同寬厚比(h/a)對四邊簡支
CLT板固有頻率的影響

Table 2Effect of h/a-ratio on vibration frequencies of simply supported CLT plates

3.3 長寬比對四邊簡支CLT板固有頻率的影響

四邊簡支CLT板的材料性質(zhì)如前所述,保持CLT邊寬b=3 000 mm,厚度h=200 mm不變,取層數(shù)p=3,改變邊長a,研究具有不同長寬比(a/b) 四邊簡支CLT板的無阻尼自由動力特性。表3給出了不同長寬比對四邊簡支CLT板前5階固有頻率的影響。

表3不同長寬比(a/b)對四邊簡支
CLT板固有頻率的影響

Table 3Effect of a/b-ratio on vibration frequenciesof simply supported CLT plates

從表3可以看出,四邊簡支CLT板的各階固有頻率均隨著長寬比的增大而降低,即剛度隨著長寬比的增大而減小。長寬比的變化對四邊簡支CLT板的固有頻率也具有較大影響,但各階固有頻率的增長率隨著長寬比的增大而有所降低,如長寬比分別從1～2和2～4時,一階固有頻率增長率分別-53.7%和-25.7%,固有頻率增長率也有所降低。

4 結(jié) 論

本文對四邊簡支CLT板的動力特性進(jìn)行了分析,分別研究了層數(shù)、寬厚比和長寬比對四邊簡支CLT板的自由振動特性影響。將CLT板視為正交各向異性材料,從三維彈性基本理論出發(fā),不作任何假設(shè),通過建立狀態(tài)方程,導(dǎo)出四邊簡支CLT板的頻率方程,由初始位移Umn(0),Vmn(0),Wmn(0)不全為零,從而得到以固有角頻率為未知量的行列式為零,數(shù)值搜根求得各階固有頻率。數(shù)值結(jié)果與有限元軟件Abaqus進(jìn)行比較,顯示出了很好的一致性。

(1) 研究結(jié)果顯示四邊簡支CLT板的層數(shù)、寬厚比和長寬比對四邊簡支CLT板的各階固有頻率均有影響。寬厚比越大,長寬比越小,四邊簡支CLT板的各階固有頻率均相應(yīng)增大;四邊簡支CLT板的各階固有頻率(除三階頻率外)隨層數(shù)的增多而增大。

(2) 通過對比可知,寬厚比和長寬比對四邊簡支CLT板的固有頻率影響遠(yuǎn)大層數(shù)對四邊簡支CLT板的固有頻率影響,研究可以為四邊簡支CLT板作為樓板、墻體等結(jié)構(gòu)構(gòu)件的自由振動固有頻率精確解的求解提供了計算方法,并對如何改善CLT板固有頻率提供了指導(dǎo)。