桂春陽,鞠 偉,左文杰

(1.吉林大學(xué),汽車仿真與控制國家重點實驗室,長春 130022； 2.吉林大學(xué)機械科學(xué)與工程學(xué)院,長春 130022；3.中國第一汽車股份有限公司技術(shù)中心,長春 130011)

前言

在汽車概念設(shè)計階段,車身經(jīng)常簡化為由復(fù)雜斷面薄壁梁搭建而成的簡化模型[1-2],計算其剛度特性[3],同時提供車身質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量評價指標(biāo)[4]。_薄壁梁是一種輕量化結(jié)構(gòu),由金屬薄板沖壓焊接裝配而成,具有剛度-質(zhì)量比高的優(yōu)點[5]。斷面形狀決定了薄壁梁的力學(xué)特性(橫截面積、彎曲慣性矩、扭轉(zhuǎn)慣性矩等),進而影響車身的整體性能。因此,在汽車的概念設(shè)計階段,薄壁梁斷面的力學(xué)特性求解對于車身設(shè)計非常重要[6]。

一方面,豐田公司最早開始了斷面設(shè)計與分析的研究,并提出了車身設(shè)計的FOA方法[7]。采用該方法,工程師可快速地選擇最佳的斷面形狀,但該方法只能計算開口和單室斷面形狀,不能求解車身結(jié)構(gòu)中常見的雙室、三室和四室斷面。

另一方面,在斷面求解的基礎(chǔ)上,需要尋找斷面積最小、彎曲慣性矩與扭轉(zhuǎn)慣性矩最大的斷面形狀,這是個優(yōu)化設(shè)計問題[8]。當(dāng)前,大多依靠經(jīng)驗和現(xiàn)有斷面數(shù)據(jù)庫來調(diào)整斷面形狀,人工實現(xiàn)斷面形狀的優(yōu)化設(shè)計。目前,這方面的工作大多關(guān)注于斷面形狀的拓撲優(yōu)化[9],但未考慮金屬薄板的沖壓工藝約束,以致于金屬薄板很難或根本不可能制造出來[10]。Yoshimura等[11]提出了車身斷面形狀設(shè)計和優(yōu)化方法,但也只能優(yōu)化開口、單室與雙室斷面,依然不能求解三室和四室斷面,更不能對這些復(fù)雜斷面進行優(yōu)化設(shè)計。

因此,本文中會推導(dǎo)車身骨架常用的開口、單室、雙室、三室和四室的斷面力學(xué)特性求解公式。全面考慮沖壓工藝約束,包括最短線段約束、拔模角約束、倒圓角半徑約束,在斷面彎曲慣性矩和扭轉(zhuǎn)慣性矩的約束下,對斷面形狀進行優(yōu)化設(shè)計,尋求最小斷面面積,以達到車身薄壁梁輕量化設(shè)計的目的。

圖1 一種典型的斷面形狀

1 復(fù)雜斷面力學(xué)特性求解

一個典型的斷面形狀如圖1所示,其中yoz坐標(biāo)系為斷面的設(shè)計坐標(biāo)系,c點為斷面的形心,每片金屬薄板可視為由矩形片段組成的折線,因此,斷面面積為

式中:n為薄板數(shù)量；m為第i片金屬薄板的片段數(shù)量；lij和Aij分別為第i片金屬薄板的第j個片段的長度和面積；ti為第i片薄板的厚度。

斷面的形心坐標(biāo)為

關(guān)于斷面形心的彎曲慣性矩Iy,Iz和慣性積Iyz分別為

式中θij為第i片金屬薄板的第j個片段與z軸的夾角,如圖1所示。

由Iy,Iz和Iyz得到斷面主慣性矩為

主慣性坐標(biāo)系y′cz′與繪圖坐標(biāo)系yoz之間的夾角φ為

計算扭轉(zhuǎn)慣性矩取決于斷面的類型。開口斷面的扭轉(zhuǎn)慣性矩為

單室斷面如圖2所示,其扭轉(zhuǎn)慣性矩為

圖3為雙室斷面,其扭轉(zhuǎn)慣性矩為

圖2 單室斷面

圖3 雙室斷面

圖4為三室斷面,其扭轉(zhuǎn)慣性矩為

式中q1,q2和q3需由式(13)線性方程組解得。

圖4 三室斷面

圖5 四室斷面

圖5為四室斷面,其扭轉(zhuǎn)慣性矩為

式中q1,q2,q3和q4需由式(15)線性方程組解得。

在式(13)和式(15)中,F1,F2,F3和F4分別為腔室Ⅰ、腔室Ⅱ、腔室Ⅲ和腔室Ⅳ的封閉面積；Lu,Ll,Lm,Lr1和Lr2分別為上邊薄板、下邊薄板、中間薄板、加強薄板1和加強薄板2的長度；Lu′為上邊薄板的一部分的長度,如圖3所示；Lm′為中間薄板的一部分,同時也是腔室Ⅱ和腔室Ⅲ的公共部分的長度,如圖4和圖5所示；tu,tl,tm,tr1和tr2分別為上邊薄板、下邊薄板、中間薄板、加強薄板1和加強薄板2的厚度。

當(dāng)一個復(fù)雜斷面帶有翻邊,即由開口和閉口斷面共同組成時,扭轉(zhuǎn)慣性矩J可表示為

式中k表示斷面腔室的數(shù)量。

總之,斷面的彎曲慣性矩Iy,Iz和慣性積Iyz的計算公式與斷面形狀無關(guān)；而扭轉(zhuǎn)慣性矩J的計算公式與斷面腔室的數(shù)量相關(guān)。

2 沖壓工藝約束

車身鈑金件主要由沖壓成型,基本的沖壓工藝約束包括:最短線段約束、拔模角約束、倒圓角半徑約束和裝配約束。

2.1 最短線段約束

如果斷面的直線段太短,則無法沖壓制造出來,如圖6所示。因此,線段長度需滿足如下條件:

式中:nS為線段的數(shù)量；為線段允許的最小長度；li為第i個線段的向量表達式；()和()分別為矩形片段兩個端點的坐標(biāo)；｜li｜為向量li的長度(模)。

圖6 最小線段長度約束

2.2 拔模角約束

拔模角是斷面線段的方向向量與沖壓方向的夾角,如圖7所示。如果拔模角小于允許的角度,凸模則無法從凹模中拔出。因此,拔模角需滿足以下條件:

式中:nd為拔模角的數(shù)量；α～為允許的最小拔模角度；αi為斷面的第i個拔模角度。

式中l(wèi)′為翻邊的方向向量,如圖7所示,其公式可以表示為 l′＝(),｜l′｜為向量 l′的長度。

圖7 拔模角約束

2.3 倒圓角半徑約束

倒圓角半徑是指薄板的彎曲半徑,如圖8所示。如果倒圓角半徑小于允許值,凸模將無法制造出來或是凸模的剛度、強度等指標(biāo)不足。因此,倒圓角半徑需滿足以下條件:

式中:nC為倒圓角的數(shù)量；R～為允許的最小倒圓角半徑；Ri為第i個倒圓角半徑。

圖8 倒圓角半徑約束

2.4 裝配約束

在沖壓約束過程中,不允許薄板有交叉,如圖9所示。當(dāng)沖壓約束的交叉點數(shù)量nisp為0時,裝配約束滿足要求,因此裝配約束必須滿足以下條件:

圖9 裝配約束

圖10 線段相交與分離

3 斷面形狀優(yōu)化

彎曲慣性矩Iy,Iz和扭轉(zhuǎn)慣性矩J是評價薄壁梁力學(xué)特性的基本指標(biāo)。因此,在滿足這些指標(biāo)和沖壓工藝約束的前提下,優(yōu)化斷面形狀,使斷面面積最小,從而實現(xiàn)薄壁梁的輕量化目的。斷面由可移動和固定的控制點來決定其形狀,如圖1所示。在斷面形狀優(yōu)化過程中,由于造型或車身空間布局的要求,固定控制點不可移動,也即不作為優(yōu)化的設(shè)計變量。

薄壁梁斷面形狀優(yōu)化問題可為

由于式(22)和式(25)是關(guān)于坐標(biāo)變量的離散函數(shù),無法求其解析靈敏度信息,所以不能采用梯度類優(yōu)化算法求解。因此,只能采用不依賴梯度信息的生物進化算法求解,本文中采用遺傳算法來優(yōu)化式(28)的高度非線性優(yōu)化問題。采用罰函數(shù)法將式(28)的約束全部施加到目標(biāo)函數(shù)上,將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題,從而可采用遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)來評價該目標(biāo)函數(shù)。

針對以上方法,自主開發(fā)了斷面設(shè)計和優(yōu)化軟件SuperSection[12],軟件界面見圖11,可以設(shè)計任意形狀和任意腔室數(shù)量的斷面并進行斷面力學(xué)特性求解與形狀優(yōu)化。圖12為軟件斷面形狀優(yōu)化界面。

圖11 SuperSection軟件界面圖

4 斷面形狀優(yōu)化算例

帶有翻邊的四室斷面非常復(fù)雜,常應(yīng)用于汽車車身B柱下端,如圖13所示。該斷面的坐標(biāo)變量和板厚變量分別列入表1和表2。為滿足設(shè)計要求,點2,7,11和14為固定約束,其余點的坐標(biāo)全部為設(shè)計變量,但只能在圖13中的矩形框內(nèi)移動。本次優(yōu)化過程共迭代80次,遺傳算法每一代的種群數(shù)量為30,交叉概率為0.55、變異概率為0.20、精英保留概率為0.01。本次優(yōu)化采用普通計算機(Xeon E3 CPU,內(nèi)存8G)進行計算。

圖12 斷面形狀優(yōu)化界面圖

圖13 初始斷面圖

第3,6,36和80次迭代中的斷面形狀如圖14～圖17所示。優(yōu)化結(jié)果列于表3?？梢钥吹?在滿足最小線段長度約束、拔模角約束、倒圓角半徑約束和裝配約束下,彎曲慣性矩Iy,Iz,尤其是扭轉(zhuǎn)慣性矩J,都有較大提高,同時斷面面積減小,實現(xiàn)了薄壁梁輕量化的目的,算例驗證本文建立的優(yōu)化模型是有效的。計算用時僅為178.6s,完全滿足概念設(shè)計階段斷面快速設(shè)計與優(yōu)化的要求。

表1 控制點坐標(biāo)變量和優(yōu)化結(jié)果

表2 厚度變量和優(yōu)化結(jié)果

圖14 第3次迭代圖

圖15 第6次迭代圖

圖16 第34次迭代圖

圖17 第80次迭代圖

5 結(jié)論

(1)推導(dǎo)出了開口、單室、雙室、三室和四室的薄壁梁斷面力學(xué)特性公式,包括面積、質(zhì)心、彎曲慣性矩、慣性積和扭轉(zhuǎn)慣性矩。這是目前作者所知的可求解的腔室最多的斷面類型。對沖壓工藝約束,如最小線段長度約束、拔模角約束、倒圓角半徑約束和裝配約束,推導(dǎo)了可量化的數(shù)學(xué)表達式。

表3 優(yōu)化前后斷面性能比較

(2)在沖壓工藝約束下,優(yōu)化了斷面幾何形狀與板厚,提高了斷面彎曲慣性矩和扭轉(zhuǎn)剛度,同時減小了斷面面積,實現(xiàn)了薄壁梁的輕量化設(shè)計。在普通計算機上,只需要大約3min即可完成斷面的形狀優(yōu)化,求解效率滿足概念設(shè)計的要求。該方法將會提升汽車車身結(jié)構(gòu)正向設(shè)計的能力。