呂曉蝶

摘 要 集合是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是高考中的必考點(diǎn)。對于集合的學(xué)習(xí)，首先要掌握集合的含義與表示；其次要掌握理解集合間的基本關(guān)系；最后要掌握集合的基本運(yùn)算并能使用韋恩圖表達(dá)集合間的關(guān)系及運(yùn)算。

關(guān)鍵詞 集合 交與并 集合運(yùn)算

中圖分類號：G633 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1考點(diǎn)一：集合的含義與表示

考點(diǎn)解析：（1）了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系；（2）能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題。

典型例題解析：

例1：設(shè)P、Q為兩個非空實(shí)數(shù)集合，定義集合，，；若，，則集合中元素的個數(shù)是？

解析：首先分析集合中元素與集合P、Q中元素之間的關(guān)系，那么可知存在的關(guān)系；其次再分別確定a和b的值以及的值；最后計(jì)算集合中元素的個數(shù)。

解：當(dāng)時，無論的取值如何，均為0；

當(dāng)時， = ；

當(dāng)時， = ；

當(dāng)時， = ；

當(dāng)時， = ；

故，因此集合中元素的個數(shù)為3。

例2：已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為多少？

解析：根據(jù)集合交的定義，由反推確定集合中的元素，再求解參數(shù)。

解：因?yàn)?，所以中元素必有一個為1，且中元素必不為2，因此討論以下兩種情況：

若，則集合，滿足題設(shè)；

若，求得參數(shù)為虛數(shù)，不滿足題設(shè)；

故所求參數(shù)的值為1。

小結(jié)：與集合有關(guān)的問題的解題技巧，首先要確定集合的代表元素；其次看代表元素滿足的條件，最后根據(jù)條件列式求解參數(shù)或者確定集合個數(shù)，特別需要注意的是檢驗(yàn)集合中元素的互異性。

2考點(diǎn)二：集合間的基本關(guān)系

考點(diǎn)解析：（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；（2）在具體的情境中，了解全集與空集的含義。

典型例題解析：

例3：已知，，若則實(shí)數(shù)的取值范圍為多少？

解析：首先求出集合，再由集合間的關(guān)系，列出不等式，最后求解實(shí)數(shù)的取值范圍。

解：由題意得到

又由于，并且，顯然小于0。

此時，，要使得，則有，即

故實(shí)數(shù)的取值范圍為。

例4：集合共有多少個真子集？

解析：此題需要準(zhǔn)確理解何為集合的真子集，還要注意子集與真子集的區(qū)別。

并且有性質(zhì)，若集合中有個元素，則該集合的子集個數(shù)為。

解：顯然原集合中的元素個數(shù)為3個，

則根據(jù)性質(zhì)，子集的個數(shù)為，

除掉集合本身，則真子集個數(shù)為。

故集合共有個真子集。

小結(jié)：（1）判定集合間關(guān)系的方法有三種，其一，一一列舉觀察；其二，集合中元素特征法，首先確定集合中的元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再判斷集合間的關(guān)系；其三，數(shù)形結(jié)合法，利用數(shù)軸或者韋恩圖求解。（2）子集與真子集的關(guān)系，集合A的子集不一定是其真子集；但集合的真子集一定是其子集。

3考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算

考點(diǎn)解析：（1）理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個簡單集合的交集和并集；（2）理解在給定集合中的一個子集的補(bǔ)集的含義，能求給定子集的補(bǔ)集；（3）能使用韋恩圖表達(dá)集合間的關(guān)系及運(yùn)算。

典型例題解析：

例5：已知集合，全集，則為多少？

解析：首先要根據(jù)不等式確定集合；再根據(jù)定義域的限定確定集合，最后進(jìn)行集合間的基本運(yùn)算。

解：由，

即集合，

由得，解得或，

所以集合，

故

故。

例6：已知集合，若，則的值為多少？

解析：此題考查集合間的基本運(yùn)算，要根據(jù)集合間的并運(yùn)算，分別確定集合A、B中的元素；再求解參數(shù)。

解：由和

得到，可得

故的值為。

小結(jié)：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算需要注意以下三方面；一是確定集合中元素的形式，即分辨清是數(shù)集、點(diǎn)集還是圖形集等；二是對集合的化簡，要先對集合中的性質(zhì)進(jìn)行化簡，再進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算；三是要善于借助數(shù)軸和韋恩圖等工具，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解。

參考文獻(xiàn)

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[3] 王遠(yuǎn)征.集合與集合運(yùn)算考點(diǎn)精析[J].廣東教育（高中版），2007（09）：50-52.