淺談集合在概率中的應用

徐法增

摘 要：集合思想和集合語言已滲透到數(shù)學的各個領域。中學數(shù)學人教B版實驗教材處理概率內(nèi)容的指導思想就是建立集合與概率的聯(lián)系，使用集合語言和集合運算較精確地敘述概率的有關概念。運用集合語言和運算來表述概率中的幾個基本概念和一些事件，并把概率和集合的性質(zhì)進行對比，從集合的角度來處理概率問題，從而進一步說明集合思想在概率中的應用。

關鍵詞：集合；概率；聯(lián)系；應用

數(shù)學是一門非常迷人的學科，久遠的歷史、勃勃的生機使她發(fā)展成為一棵枝繁葉茂的參天大樹。人們不禁要問：這棵大樹到底扎根于何處？為了回答這個問題，數(shù)學家們提出了集合論?？梢哉J為，數(shù)學的所有內(nèi)容都是建立在集合的基礎之上的。

在中學階段，由于眾多的數(shù)學內(nèi)容可以用集合思想來描述，因而不僅為理解與分析數(shù)學問題開辟了新的途徑，而且使許多表面上孤立、零亂的數(shù)學知識在本質(zhì)上得到了統(tǒng)一，這對于掌握數(shù)學的真諦無疑大有裨益。人教B版實驗教材在處理概率內(nèi)容時，其指導思想就是建立集合與概率的聯(lián)系，使用集合語言和集合運算較精確地敘述概率的有關概念。下面談一下筆者對集合思想在概率中應用的看法。

一、用集合語言和運算來表述概率事件和公式

1.基本事件空間

在一次試驗中，所有基本事件構成的集合稱為基本事件空間，常用大寫希臘字母?贅表示。這里的基本事件空間類似于集合中的全集，每一個基本事件都是基本事件空間的元素，隨機事件是基本事件空間的子集。這樣就可以用維恩圖的方法來表示隨機事件之間的關系，并且我們知道基本事件空間容量為n的實驗能夠發(fā)生的事件應為2n-1，從集合的角度講就是基本時間空間這一集合的真子集個數(shù)。

2.兩個事件的并與交

（1）兩個事件的并。由事件和A至B少有一個發(fā)生（即A發(fā)生，或B發(fā)生，或A，B都發(fā)生）所構成的事件C，稱為事件A與B的并（或和），記作C=A∪B，事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件組成的集合。因此A?哿A∪B,B?哿A∪B且P(A)≤P(A∪B)，P(B)≤P(A∪B)，P(A∪B)≤P(A)+P(B).

（2）兩個事件的交。由事件A和B同時發(fā)生所構成的事件D，稱為事件A與B的交（或積），記作D=A∩B（或D=AB），事件A∩B是由事件A和B所共同含有的基本事件組成的集合。因此有：A?勐A∩B,B?勐A∩B且P(A)≥P(A∩B),P(B)≥P(A∩B)，P（A∩B）≤P（A）+P（B）.當A，B是相互獨立事件時，有P(A∩B)＝P(A)×P(B).

（3）與集合類比。兩個事件的并與交其實質(zhì)就是兩事件對應集合的并集與交集，所以無論從定義、表示、性質(zhì)上都與兩集合的并集與交集類似。這樣就可以借助于集合的運算來表示和理解兩事件的并與交。

（4）概率的一般加法公式。P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).從集合的觀點來看，概率的一般加法公式對應關于集合元素個數(shù)的容斥定理：card(A∪B)=cardP(A)+cardP(B)-cardP(A∩B)，它們的形式完全一致，可對比記憶和理解。

3.互斥事件

（1）互斥事件。不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件（或稱互不相容事件）。若A,B是互斥事件，從集合的角度看，是指由各個事件所含的結果組成的集合互不相交，即有A∩B=?覫，從而得互斥事件的概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；而對于兩個有限集合A,B來說，若A∩B=?覫，有card(A∪B)=cardP(A)+cardP(B).

（2）對立事件。不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件叫做互為對立事件。事件的對立事件記作A，從集合的角度看，由事件A所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集。因此有A∪A=?贅，A∩A=?覫，且P(A∪A)=P(?贅)=P(A)+P(A)=1，從而得到P(A)=1-P(A)。這個公式為求P(A)提供了另外一種方法，當我們直接求P（A）有困難時，可轉化為求P(A)。這實際是集合中補集思想的應用。

（3）古典概型。對于古典概型，如果試驗有個兩兩互斥的基本事件，而隨機事件A包含的基本事件數(shù)為m。設此試驗的基本事件空間為?贅，則A?哿?贅，card(?贅)=n,card(A)=m，所以P(A)=■=■，即事件A的概率是子集A的元素個數(shù)與全集?贅的元素個數(shù)的比值。

4.條件概率

對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫條件概率，用符號P(B|A)來表示。P(B|A)=■，P(A)>0.

若此試驗為古典概型，基本事件空間為?贅，則A?哿?贅,B?哿?贅,P(A)=■,P(A∩B)=■.從而有P(B|A)=■=■，即此時事件B發(fā)生的條件概率就是A∩B的元素個數(shù)與A的元素個數(shù)之比。

5.幾何概型

幾何概型中事件A理解為?贅區(qū)域的某一子區(qū)域A，實際上就是A?哿?贅.

二、借助集合思想來處理概率問題

通過以上的敘述和對比，我們發(fā)現(xiàn)概率與集合有著千絲萬縷的聯(lián)系，可以借助于集合知識來理解概率內(nèi)容，也可運用集合思想來解決概率問題。

例1：擲一顆骰子，觀察擲出的點數(shù)。（1）寫出這個試驗的基本事件空間；（2）寫出“擲出偶出點”這一隨機事件對應的集合A；（3）求擲得奇數(shù)點的概率。

略解：（1）?贅={1,2,3,4,5,6};（2）A={2,4,6}；（3）事件B=“擲得奇數(shù)點”={1,3,5}，所以=P(B)=■=■=■.

例2：在一段線路中并聯(lián)著三個獨立自動控制的單開開關，只要其中有一個開關閉合，線路就正常工作。假定在某段時間內(nèi)每個開關能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率。

分析：根據(jù)題意，這段時間內(nèi)線路正常工作，就是指三個開關中至少有一個閉合，這可以包括恰有其中某一個開關閉合、恰有其中某兩個開關閉合和恰好三個開關都閉合共七種互斥的情況，逐一求其概率較為麻煩。為此，我們轉而先求三個開關都不能閉合的概率，從而求得其對立事件——三個開關中至少有一個能夠閉合的概率。由于這段時間內(nèi)三個開關是否能夠閉合相互之間沒有影響，可根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式來求解。這里也可體會到用補集的思想處理問題，可使問題的解答變得簡便。

解：分別記這段時間內(nèi)三個開關能夠閉合為事件A,B,C。根據(jù)題意，A,B,C相互獨立，所以這段時間內(nèi)至少有一個開關能夠閉合，從而使線路能正常工作的概率是：P(A∪B∪C)=1-P(A∪B∪C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-(1-0.73)=0.973.

例3：設某種動物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，現(xiàn)有一個20歲的這種動物，問它能活到25歲的概率是多少？

解：設A=“能活到20歲”，B=“能活到25歲”，則P(A)=0.8,P(B)=0.4，而所求概率為P(B|A)，由于B?哿A，故A∩B=B，于是P(B|A)=■=■=■=0.5.所以這個動物能活到25歲的概率是0.5。

說明：以上題目的解決中，借助了集合的思想及表示，使問題的解決更簡單、明了。特別是例3中求P(A∩B)，題目中未明確給出，是通過分析集合A,B之間的包含關系，利用交集的性質(zhì)得出的。

使用集合語言，能簡潔、準確地表達數(shù)學內(nèi)容，發(fā)展學生運用數(shù)學語言進行交流的能力。所以在概率的教學中，我們應努力貫徹本章的指導思想，講授概率內(nèi)容前可先布置學生自己復習、回顧集合的知識，平時教學時多讓學生把集合與概率進行對比，多應用維恩圖來表示事件之間的關系，通過數(shù)形結合變抽象為具體，多用集合語言和集合運算來表述概率事件，多從集合的角度來考慮概率問題。相信通過師生共同努力，能讓學生明確集合與概率的聯(lián)系，借助于集合的知識更深刻地理解概率。