中考里的“根與系數(shù)的關(guān)系”

王云峰

如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實數(shù)根，那么這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.熟練掌握這一知識點，對我們的解題非常有幫助.下面就讓我們走進2018年中考，領(lǐng)略一下她的風(fēng)采吧！

例1 （2018·江蘇鹽城）已知一元二次方程x2+kx-3=0有一個根為1，則k的值為（ ）.

A.-2 B.2 C.-4 D.4

【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.

解：設(shè)方程的另一個根為x1.

則由根與系數(shù)的關(guān)系，得：

解得x1=-3，k=2.

故選：B.

【點評】已知一元二次方程的一個根求字母系數(shù)的值，可利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解，這種方法有時比根的定義法（即將根代入方程）求解簡便.

【分析】直接利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.

解：設(shè)已知方程的另一個根為x1.

則由根與系數(shù)的關(guān)系，得：

故選：A.

【點評】本題利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解比用根的定義法求解簡便.

變式2 （2018·江蘇南京）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根，且x1+x2=1，則x1=______，x2=______.

【分析】先由x1+x2=1求出m的值，再解方程得到x1，x2的值.

解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得：

x1+x2=m.

又∵x1+x2=1，

∴m=1.

∴已知方程為x2-x-6=0.

即（x-3）（x+2）=0，

解得x1=-2，x2=3.

【點評】求一元二次方程的兩根，先利用根與系數(shù)的關(guān)系確定出一元二次方程中字母系數(shù)的值，然后解方程得到兩根.

例2 （2018·廣西貴港）已知α、β是一元二次方程x2+x-2=0的兩個實數(shù)根，則α+β-αβ的值是（ ）.

A.3 B.1 C.-1 D.-3

【分析】直接將α+β，αβ的值代入所求的代數(shù)式即可求解.

解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得：

故選：B.

【點評】將代數(shù)式中的兩根互換后，代數(shù)式不變，這樣的代數(shù)式習(xí)慣上稱為“對稱代數(shù)式”，求“對稱代數(shù)式”的值利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求解比較快捷.

變式1（2018·四川眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x-9=0的兩根，則的值是（ ）.

【分析】將變形為用含α+β，αβ表示的代數(shù)式，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.

解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得：

故選：C.

【點評】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求“對稱代數(shù)式”的值，有時需要將被求的代數(shù)式變形，變形為用兩根之和、兩根之積表示的代數(shù)式.

變式2 （2018·江西）一元二次方程x2-4x+2=0 的兩根為 x1，x2，則的值為_______.

【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及方程的根的定義求解.

解：∵x1，x2是x2-4x+2=0的兩根，

【點評】若待求值的代數(shù)式不是“對稱代數(shù)式”，這時可考慮綜合利用根與系數(shù)的關(guān)系、方程根的定義求解.

例3 （2018·貴州遵義）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+bx-3=0的兩根，且滿足x1+x2-3x1x2=5，那么b的值為（ ）.

A.4 B.-4 C.3 D.-3

【分析】將x1+x2，x1x2的值代入x1+x2-3x1x2=5即可求解.

解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得：

解得b=4.

故選：A.

【點評】已知“對稱代數(shù)式”的值，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可求方程中字母系數(shù)的值.

變式1（2018·山東煙臺）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m-1=10的實數(shù)根x1，x2滿足3x1x2-x1-x2＞2，則m的取值范圍是_______.

【分析】將x1+x2，x1x2的值代入3x1x2-x1-x2＞2求解，另外還要考慮b2-4ac≥0這一個隱含條件對m的限制.

解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得：

解得m＞3.

由題意，得：

表10“方差方程的Levene檢驗”列方差齊次性檢驗結(jié)果：F值為0.4781，顯著性概率為0.5050，大于0.05，因此兩組方差不顯著。

解得m≤5.

綜上，m的取值范圍是3＜m≤5.

【點評】在利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍時，考慮問題要全面，不能忽視隱含條件b2-4ac≥0對字母系數(shù)的限制.

變式2（2018·湖北十堰）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2+k-1=0有實數(shù)根.

（1）求k的取值范圍；

（2）若此方程的兩實數(shù)根x1，x2滿足=11，求k的值.

解：（1）由題意，得：

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，得：

整理得：k2-3k-4=0，

分解因式得：（k-4）（k+1）=0，解得k=-1或4.

【點評】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件是b2-4ac≥0，即一定要保證一元二次方程有實數(shù)根.此外，在求出字母系數(shù)的值后一定要檢驗.