二重極限不存在判定法探討

何鵬光

【摘要】一元函數(shù)的極限是否存在，可以通過其左右極限來判定;而二元函數(shù)的定義域是平面點集，二重極限是否存在必須從整個鄰域的收縮過程來考察.本文根據(jù)函數(shù)f（x，y）的結構特征，從二重極限的定義、運算法則和坐標變換來探討判定二重極限不存在的方法.

【關鍵詞】二重極限;不存在;定義法;運算法;坐標變換法

判定一元函數(shù)的極限是否存在，只需討論它的左右極限就可以了;而二元函數(shù)是定義在一個平面點集上，二元函數(shù)的極限是否存在，必須考慮在整個鄰域的收縮過程中函數(shù)的取值情況.即使沿著多條趨近曲線的極限都存在且相等，也不能確定二重極限的存在性.本文從二重極限的定義、運算法則和坐標變換出發(fā)，去判定一些二重極限不存在.

一、定義法

根據(jù)二重極限的定義[1]，若P（x，y）沿著不同的路徑趨于P0（x0，y0）時，函數(shù)f（x，y）趨于不同的值，則lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）不存在.

1.若f（x，y）滿足f[x，kω（x）]=φ（k）或f[kμ（y），y]=ψ（k），則lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）不存在.

事實上，當（x，y）沿路徑y(tǒng)=kω（x）趨于（x0，y0）時，limx→x0f[x，kω（x）]=φ（k），此結果因k而異，所以lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）不存在.

同理，可證另一種情形.

例1證明lim（x，y）→（0，0）xyx2+y2不存在.

證當（x，y）沿路徑y(tǒng)=kx趨于（0，0）時，limx→0y=kxkx2（1+k2）x2=k1+k2，結果因k而異，所以lim（x，y）→（0，0）xyx2+y2不存在.

2.若函數(shù)f（x，y）滿足f（x，y）=f（1，yxα），則lim（x，y）→（0，0）f（x，y）不存在.

事實上，當（x，y）沿路徑y(tǒng)=kx-α（x>0）趨于（0，0）時，

∵limx→0y=kx-αf（1，kx-α·xα）=f（1，k），其結果因k而異，

∴l(xiāng)im（x，y）→（0，0）f（x，y）不存在.

例2證明lim（x，y）→（0，0）xy2x2+y4不存在.

證∵f（x，y）=xy2x2+y4=f1，yx，當（x，y）沿路徑y(tǒng)=kx（x>0）趨于（0，0）時，limx→0y=kxk2x2x2+k4x2=k21+k4，此結果因k而異，

∴l(xiāng)im（x，y）→（0，0）xy2x2+y4不存在.

3.設函數(shù)y=f[g（x，y）]的定義域為D，U={u|u=g（x，y），（x，y）∈D}.（x0，y0）是D內的一個聚點，如果f（u）區(qū)域U上連續(xù)且嚴格單調，并在D上存在兩條不同的路徑y(tǒng)=yi（x）（i=1，2），滿足limx→x0yi（x）=y0，limx→x0g[x，yi（x）]=ui∈U（i=1，2）且u1≠u2，則二重極限lim（x，y）→（x0，y0）f[g（x，y）]不存在.

證∵f（u）在U上連續(xù)，

且limx→x0g[x，yi（x）]=ui∈U（i=1，2），

∴l(xiāng)imx→x0y=yi（x）→y0f[g（x，y）]=limx→x0f{g[x，yi（x）]}

=f（ui）（i=1，2）.

∵f（u）在U上嚴格單調，且u1≠u2，

∴f（u1）≠f（u2），

∴l(xiāng)im（x，y）→（x0，y0）f[g（x，y）]不存在.

例3證明lim（x，y）→（0，0）sinxx+x2+y2不存在.

證∵f（u）=sinu在（0，1）內連續(xù)且嚴格單調增加，并且

limx→0+y=kxxx+x2+y2=11+1+k2∈（0，1），

∴l(xiāng)imx→0+y=kxsinxx+x2+y2=sin11+1+k2，結果因k而異，

∴l(xiāng)im（x，y）→（0，0）sinxx+x2+y2不存在.

二、運算法則法

1.若f（x，y）=α（x，y）+β（x，y），并且lim（x，y）→（x0，y0）α（x，y）存在，lim（x，y）→（x0，y0）β（x，y）不存在，則lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）不存在.

事實上，若lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）存在，則根據(jù)二重極限的加法法則[1]，得

lim（x，y）→（x0，y0）β（x，y）=lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）-lim（x，y）→（x0，y0）α（x，y）存在，與已知矛盾.

例4證明lim（x，y）→（0，0）xcos1x2+y2+sin1x+y不存在.

證∵lim（x，y）→（0，0）xcos1x2+y2=0，lim（x，y）→（0，0）sin1x+y不存在，

∴l(xiāng)im（x，y）→（0，0）xcos1x2+y2+sin1x+y不存在.

2.若函數(shù)f（x，y）=α（x，y）β（x，y），其中α（x，y）≠0，lim（x，y）→（x0，y0）α（x，y）存在，lim（x，y）→（x0，y0）β（x，y）不存在，則lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）不存在.

事實上，若lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）存在，則根據(jù)二重極限的乘除法法則[1]，得

lim（x，y）→（x0，y0）β（x，y）=lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）lim（x，y）→（x0，y0）α（x，y）存在，與已知矛盾.

例5證明lim（x，y）→（0，0）xyx+y+1-1不存在[2].

證lim（x，y）→（0，0）xyx+y+1-1=lim（x，y）→（0，0）xyx+y（x+y+1+1）.

∵lim（x，y）→（0，0）xyx+y=limx→0y=kx2-xx（kx2-x）kx2=limx→0x-1k=-1k，

∴l(xiāng)im（x，y）→（0，0）xyx+y不存在.

又∵lim（x，y）→（0，0）（x+y+1+1）=2，

∴l(xiāng)im（x，y）→（0，0）xyx+y+1-1不存在.

三、坐標變換法

令x=rcosθ，y=rsinθ，則f（x，y）=φ（r，θ）.若 limr→0φ（r，θ）=ψ（θ）≠0，此結果因θ而異，則二重極限lim（x，y）→（0，0）f（x，y）不存在[3].

例6證明lim（x，y）→（0，0）xx2+y不存在.

證令x=rcosθ，y=rsinθ，則（x，y）→（0，0）r→0.

∵limr→0rcosθr2cos2θ+rsinθ=limr→0cosθrcos2θ+sinθ=cotθ，結果因θ而異，

∴l(xiāng)im（x，y）→（0，0）xx2+y不存在.

【參考文獻】

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2014：60.

[2]米永強，張峰.求解二元函數(shù)極限不存在性問題的方法[J].寧夏師范學院學報，2016（6）：115.

[3]李雪蓮，高軍濤.用極坐標變換計算二重極限[J].高等數(shù)學研究，2011（2）：26.