一、問題

“用數(shù)對確定位置”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級下冊的教學(xué)內(nèi)容，在此之前，學(xué)生通過數(shù)軸認(rèn)識到數(shù)軸上的點(diǎn)和數(shù)存在一一對應(yīng)的關(guān)系，如果確定起點(diǎn)、方向和順序，則可以用數(shù)表示某個(gè)點(diǎn)在一條直線上（一維空間上）的位置。那么，二維空間上的點(diǎn)的位置怎么用數(shù)表示呢？笛卡爾的坐標(biāo)系給出了用數(shù)對表示點(diǎn)的位置的方法。我們的教學(xué)旨在讓學(xué)生理解并掌握用數(shù)對確定位置的方法，感受數(shù)與形之間的聯(lián)系，發(fā)展空間觀念。

那么，教學(xué)用數(shù)對確定位置這一內(nèi)容，我們到底從哪個(gè)點(diǎn)切入，才能讓學(xué)生掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識，拓寬視野？

1.教學(xué)中存在的問題

教材在編寫時(shí)選用學(xué)生熟悉的座位圖作為學(xué)習(xí)材料。老師們在教學(xué)這個(gè)內(nèi)容時(shí)遇到了兩個(gè)問題：一是，將內(nèi)容定位于“數(shù)學(xué)規(guī)定”的教學(xué)，教學(xué)時(shí)停留在用數(shù)對表示點(diǎn)的位置，或者反過來通過數(shù)對找到相應(yīng)的點(diǎn)，內(nèi)容單調(diào)枯燥，沒有進(jìn)一步挖掘這一內(nèi)容的數(shù)學(xué)意義。學(xué)生也無法通過本課的學(xué)習(xí)，感知后續(xù)將要學(xué)習(xí)的有關(guān)坐標(biāo)系的知識。二是，課本上的座位圖是面向?qū)W習(xí)者，左下方是（0，0）的起點(diǎn)位置，學(xué)生能借助坐標(biāo)確定位置。而學(xué)生用數(shù)對確認(rèn)教室當(dāng)中自己或者其他同學(xué)的位置時(shí)，由于坐標(biāo)的起點(diǎn)和方向發(fā)生改變，與課本上的方向不一致，學(xué)生的空間轉(zhuǎn)換發(fā)生困難。如果教師使用教材例題提供的座位圖進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生容易與現(xiàn)實(shí)生活中教室的座位坐標(biāo)混淆，不利于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。

2.對問題的分析

數(shù)確定位置這一內(nèi)容，從空間的角度來說，應(yīng)該分為三個(gè)層次，分別是數(shù)軸上的數(shù)的位置，平面直角坐標(biāo)系中用數(shù)表示點(diǎn)的位置，空間直角坐標(biāo)系中用數(shù)表示點(diǎn)的位置。我們的內(nèi)容是在平面直角坐標(biāo)系中研究用數(shù)表示位置，教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們可以縱向地承前啟后，按照這樣的層次設(shè)計(jì)課堂。

通過研究教材我們發(fā)現(xiàn)，教材除了讓孩子們掌握用數(shù)對確定位置的方法外，還設(shè)置了這樣的練習(xí)讓學(xué)生理解：數(shù)對中數(shù)的運(yùn)算引起圖形位置的變化；圖形位置發(fā)生變化，則表示圖形中相應(yīng)的點(diǎn)的數(shù)對的數(shù)值也將有規(guī)律地變化。簡而言之，就是數(shù)的變化引起形的變化。為此，我們可以橫向地拓展教學(xué)內(nèi)容。在學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)對表示位置以后，可以將平面圖形放在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)的有規(guī)律的變化引起形的有規(guī)律的變化，初步感悟數(shù)形結(jié)合的思想。

基于以上思考，我們認(rèn)為在本課的教學(xué)中，教師可以創(chuàng)造性地運(yùn)用教材，借助情境幫助學(xué)生掌握用數(shù)對表示位置的方法，之后通過豐富的體驗(yàn)讓學(xué)生感知數(shù)對中數(shù)的有規(guī)律的變化會(huì)引起圖形的變化，從而感知數(shù)與形之間的聯(lián)系。

二、實(shí)踐

（一）情境導(dǎo)入，探究新知

師：（課件出示圖1）小烏龜和小青蛙是好朋友，小烏龜來找小青蛙玩，調(diào)皮的小青蛙故意躲在一片荷葉下面。我們一起幫小烏龜喊：“小青蛙，你在哪？”

生：小青蛙，你在哪？（播放聲音：呱—呱—呱—呱，呱—呱）

師：小青蛙在告訴我們它的位置，你們聽懂了嗎？有什么想說的嗎？

生1：小青蛙先叫了4聲，再叫了2聲，我覺得應(yīng)該是從左往右數(shù)的第四列，從下往上數(shù)的第二行。

生2：我覺得是從上往下數(shù)的第四行，從左往右數(shù)的第二列。

生3：我覺得是從左往右數(shù)的第四列，從上往下數(shù)的第二行。

生4：我認(rèn)為是從右往左數(shù)的第四列，從上往下數(shù)的第二行。

師：（課件出示圖2）現(xiàn)在我們一共找到了4個(gè)位置，好像都有可能，看來只知道4，2這兩個(gè)數(shù)還不夠，小青蛙到底躲在哪片荷葉下面呢？沒辦法，我們把小青蛙請出來吧！（課件出示圖3）原來它躲在這！剛才是誰聽懂了蛙語？請你再來翻譯一下這個(gè)4，2分別表示什么意思。

生1：4表示的是從左往右數(shù)的第四列。（板書：4，列）2表示的是從下往上數(shù)的第2行。（板書：2，行）

師：有了這些規(guī)定，4，2確定的這個(gè)點(diǎn)就是小青蛙的準(zhǔn)確位置。像這樣的一對數(shù)，在數(shù)學(xué)上我們把它叫做數(shù)對，并且用括號括起來（4，2），讀作“數(shù)對4，2”。我們一起讀一遍（生讀）。今天這節(jié)課我們就來玩用數(shù)對確定位置。（貼出課題）剛剛我們還找到了其他幾個(gè)位置，按照這個(gè)規(guī)定，用數(shù)對怎么表示？

學(xué)生運(yùn)用數(shù)對表示出其他幾個(gè)位置，然后教師說數(shù)對，讓學(xué)生指位置。

【設(shè)計(jì)意圖】利用找青蛙的情境巧妙地引出數(shù)對，學(xué)生初步感知數(shù)對可以確定位置。

（二）鞏固練習(xí)，玩轉(zhuǎn)數(shù)對

1.體驗(yàn)數(shù)對與點(diǎn)之間的一一對應(yīng)關(guān)系

師：小青蛙除了會(huì)呱呱呱，還是抓蟲高手，請你用數(shù)對將小蟲所在的位置告訴小青蛙，讓它能夠迅速地捉到小蟲。（課件出示圖4）

生5：（4，3）。

師：嘿！吃掉啦。第二只?。ㄉ郝裕┲x謝你們，在你們的幫助下，小青蛙一下就把所有的蟲子給吃光了，請看小青蛙剛剛捉蟲的路徑，像一個(gè)什么圖案？（課件出示圖5）

生：這個(gè)圖案像小魚。

師：我也覺得像?？磥硇∏嗤懿坏较x厲害，還有畫畫的天賦。為了表示感謝，它畫了一幅畫送給大家，請看?。ㄕn件出示圖6）說好的畫呢？這不是數(shù)對嗎？有誰明白小青蛙的意思？

生6：我知道，是要將這些數(shù)對表示的點(diǎn)描出來。

師：你們覺得是這個(gè)意思嗎？請大家打開練習(xí)紙，將這些數(shù)對所表示的點(diǎn)標(biāo)出來。（學(xué)生動(dòng)手描點(diǎn)）

師：（課件出示圖7）同學(xué)們標(biāo)出來的是這些點(diǎn)嗎？這是什么？我們聽聽小青蛙怎么說。（課件播放：再將數(shù)對中的兩個(gè)數(shù)交換位置）原來還沒有畫完呢。將兩個(gè)數(shù)字交換位置，那A點(diǎn)的兩個(gè)數(shù)字交換位置，還是（2，2），交換后A點(diǎn)還在這里，那其他點(diǎn)交換之后會(huì)在哪呢？請同學(xué)們接著畫。（學(xué)生繼續(xù)描點(diǎn)）標(biāo)好了嗎？現(xiàn)在我們把這些點(diǎn)連起來，（課件出示圖8）大家看看這是什么？（生：是一顆愛心）仔細(xì)觀察這顆愛心，它是我們學(xué)過的什么圖形？（生：軸對稱圖形）是的，它就是一個(gè)軸對稱圖形，它的對稱軸就在這里。原來我們可以根據(jù)數(shù)對描出點(diǎn)，并連成圖形。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生根據(jù)點(diǎn)說出數(shù)對，根據(jù)數(shù)對描出點(diǎn)并連成圖形，充分體驗(yàn)數(shù)對與點(diǎn)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。

2.體驗(yàn)圖形的運(yùn)動(dòng)變化與數(shù)對行、列變化之間的聯(lián)系

師：這里有個(gè)三角形，它可以用哪些數(shù)對表示呢？（生：略）不錯(cuò)！都找對了，這個(gè)三角形是可以運(yùn)動(dòng)的，別眨眼睛，看它是怎么動(dòng)的。（生：向右平移了）沒錯(cuò)，它向右平移了，此時(shí)它的三個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)對又是多少？（生：略）真棒！都找對了，請同學(xué)們仔細(xì)觀察平移后的數(shù)對與原來的數(shù)對相比，有什么變化？（課件出示圖9）

生：列都加了3，行沒變。

師：其他同學(xué)發(fā)現(xiàn)了嗎？看來圖形變化，數(shù)對也會(huì)有相應(yīng)的變化，比如剛才圖形向右平移了3格，它的列都加了3，行不變。如果列不變，行都加上一個(gè)相同的數(shù)，會(huì)怎么樣呢？（生：會(huì)向上平移）真的是向上平移嗎？我們試一下。（課件動(dòng)態(tài)演示）看來行增加，它會(huì)向上平移；列增加，會(huì)向右平移。如果列和行同時(shí)加上一個(gè)相同的數(shù)，又會(huì)怎么樣呢？

生7：會(huì)往右上方平移。

生8：我認(rèn)為會(huì)先往右平移再往上平移，或者先往上平移再往右平移。

師：我們來試一下，（課件動(dòng)態(tài)演示，如圖10所示）可以看成是先往右平移5格再往上平移5格，或者先往上平移5格再往右平移5格，都可以到這里。這兩次平移加起來就是斜著移，如果此時(shí)每個(gè)數(shù)對的數(shù)字同時(shí)減去一個(gè)相同的數(shù)呢？當(dāng)然是斜著移回來。數(shù)對可以加著玩，可以減著玩，還可以怎么玩？（生：還可以乘、除）如果每個(gè)數(shù)對的數(shù)字同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)又會(huì)怎么樣呢？發(fā)揮你的想象力！

生9：我覺得會(huì)變大。（位置，形狀，大?。?/p>

生10：我覺得也會(huì)平移。

師：到底會(huì)怎樣呢？這次你們自己試一試。請翻開練習(xí)紙，將數(shù)對的兩個(gè)數(shù)都乘一個(gè)相同的數(shù)，看看圖形到底有什么變化。（學(xué)生動(dòng)手畫，然后匯報(bào)）

生11：我都乘了3，我發(fā)現(xiàn)圖形變大了，位置也變了。

生12：我也發(fā)現(xiàn)三角形的大小變了，而且位置也變了。

師：你們都發(fā)現(xiàn)它們的大小變了，位置變了，還有什么發(fā)現(xiàn)？

生13：我發(fā)現(xiàn)這些圖形的大小和位置不一樣。

師：這是為什么呢？

生13：因?yàn)樗鼈兂说臄?shù)不一樣，乘的數(shù)越大，圖形就會(huì)越大，位置也會(huì)越遠(yuǎn)。

師：其他同學(xué)還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生14：我發(fā)現(xiàn)它們的形狀沒有變！

師：是的，剛剛我們探索發(fā)現(xiàn)，乘的數(shù)越大，圖形也會(huì)越大，位置也會(huì)越來越遠(yuǎn)，而形狀是不變的。（課件動(dòng)態(tài)演示，如圖11所示）

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生初步體會(huì)給數(shù)對做有規(guī)律的運(yùn)算，圖形也會(huì)有相應(yīng)的變化；圖形有規(guī)律的變化，數(shù)對也會(huì)有相應(yīng)的變化。

（三）數(shù)對與生活

師：同學(xué)們，有了數(shù)對，數(shù)和形就緊密地聯(lián)系起來了，在以后的學(xué)習(xí)當(dāng)中，我們可以利用數(shù)來研究圖形，也可以利用圖形來探索數(shù)。這么偉大的發(fā)現(xiàn)，是法國著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾帶給我們的。（播放課件，講述笛卡爾創(chuàng)立坐標(biāo)系的故事，以及數(shù)對在生活中的運(yùn)用）

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生了解數(shù)對的產(chǎn)生以及在生活中的運(yùn)用，感受數(shù)對的價(jià)值。

（四）數(shù)對抽獎(jiǎng)

師：原來數(shù)對在生活中的運(yùn)用也這么廣泛，同學(xué)們，我們現(xiàn)在所坐的位置可不可以用數(shù)對表示？先規(guī)定這是第一列，這是第一行，請把自己的位置用數(shù)對記下來。接下來我要用數(shù)對來抽獎(jiǎng)，抽中誰誰就站起來領(lǐng)獎(jiǎng)品！

教師第一次抽出（4，3），第四列第三行的孩子站起來領(lǐng)獎(jiǎng)。第二次抽出（5，2），第五列第二行的孩子站起來領(lǐng)獎(jiǎng)。第三次抽出（3，y），第三列的孩子都站起來。第四次抽出（x，4），第四行的孩子都站起來。

生：老師，他被抽中了兩次。

師：你太幸運(yùn)了！你為什么會(huì)被抽中兩次呢？

生：我的位置用數(shù)對表示是（3，4），因?yàn)榍懊娴模?，y）表示的是第三列，后面的（x，4）表示的是第四行，也就是（3，4）這個(gè)數(shù)對都在里面。

師：說得很好。那我最后抽一次吧！

教師抽出（x，y）。

生：哇，我們?nèi)辛耍?/p>

師：全中了那就都站起來吧！每個(gè)人都有獎(jiǎng)品，下課！

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)對與抽獎(jiǎng)游戲融合，向?qū)W生滲透用字母表示數(shù)的思維方法。

三、討論

對于“用數(shù)對確定位置”這個(gè)內(nèi)容，我們研究時(shí)首先思考的就是，如何處理用數(shù)對確定位置中規(guī)定性知識的教學(xué)。我們知道，在平面內(nèi)，用兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)有序數(shù)對就能表示任意一點(diǎn)的位置（這個(gè)看起來非常簡單。實(shí)則無比深刻的事實(shí)是17世紀(jì)法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)現(xiàn)的）。但是，在平面直角坐標(biāo)系中，這個(gè)數(shù)對具體如何書寫，行寫在前面還是列寫在前面，是用括號表示還是用其他方式等有關(guān)細(xì)節(jié)都是一種人為的規(guī)定，屬于規(guī)定性知識。那么本節(jié)課，這些規(guī)定性知識以什么方式教給學(xué)生？應(yīng)該花多少時(shí)間在這些規(guī)定性知識的學(xué)習(xí)上才合適？

通過閱讀相關(guān)的研究文章與課例，我們發(fā)現(xiàn)，很多老師喜歡把這個(gè)內(nèi)容當(dāng)作一個(gè)探究性問題來教，試圖重現(xiàn)笛卡爾數(shù)對的發(fā)現(xiàn)過程。其中不乏一些名師成功的優(yōu)秀課例。但是，老師們紛紛效仿這種思路進(jìn)行教學(xué)時(shí)卻常常碰壁，無法達(dá)到預(yù)期的效果。一個(gè)重要的原因就是，行還是列、哪個(gè)寫在前面、用不用括號等規(guī)定性知識都是人為的偶然選擇，有它的合理性，卻并無多少必然性。實(shí)際教學(xué)中，如果把握不好，容易陷入死胡同，導(dǎo)致教學(xué)進(jìn)程推進(jìn)得太慢，大半節(jié)課過去了，一個(gè)數(shù)對的規(guī)范寫法還沒有歸納出來。這就促使我們思考：一節(jié)課只圍繞數(shù)對產(chǎn)生的必要性和表示方法的優(yōu)化上做文章，有沒有必要？一節(jié)課就教這些內(nèi)容，課堂容量是否過??？換句話說，從數(shù)學(xué)的角度看，我們可不可以適當(dāng)?shù)囟嘟探o孩子們一些東西呢？

由此，我們逐步形成了本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路。一是淡化數(shù)對的探究教學(xué)，將數(shù)對的規(guī)定性知識變?yōu)榻邮苄詫W(xué)習(xí)。上課伊始就利用青蛙的叫聲提供一個(gè)數(shù)對。接著，拋出問題“小青蛙藏在哪里？”讓學(xué)生猜測這個(gè)數(shù)對表示的意義。這樣做的好處是：一方面，學(xué)生由于明確了是猜測和理解數(shù)對的意義及寫法，就不會(huì)產(chǎn)生“為什么要這樣”的疑問，從而自然地接受這些規(guī)定性知識；另一方面，要準(zhǔn)確猜測小青蛙的位置，就必須弄清數(shù)對書寫的細(xì)節(jié)要求，這也確保了學(xué)生對規(guī)范書寫的學(xué)習(xí)。二是深挖用數(shù)對表示位置的數(shù)學(xué)價(jià)值，滲透數(shù)形結(jié)合思想。我們知道，用一個(gè)有序數(shù)對表示平面內(nèi)任意一點(diǎn)的位置是數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)。正因?yàn)槿绱?，老師們教學(xué)“用數(shù)對確定位置”時(shí)都有一個(gè)共識：讓學(xué)生體會(huì)數(shù)對產(chǎn)生的必要性。然而，不得不承認(rèn)，小學(xué)生要真正理解和體會(huì)這一思想是比較難的。小學(xué)生沒有學(xué)過解析幾何知識，無法感知笛卡爾的發(fā)現(xiàn)給數(shù)學(xué)帶來的飛躍和變化。在他們看來，用兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)對表示一個(gè)點(diǎn)的位置無疑是可行的，但卻沒有什么了不起，最多就是用來排個(gè)座位而已。我們認(rèn)為，要讓學(xué)生對這一思想真正有所體會(huì)，恐怕提供給學(xué)生的材料還得更數(shù)學(xué)化一些才行。于是，教學(xué)中，我們提出一個(gè)大膽的設(shè)想，增加一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生探究數(shù)對的變化會(huì)引起圖形怎樣的變化。通過一個(gè)個(gè)具體的例子，學(xué)生觀察數(shù)對的變化引起了圖形相應(yīng)的變化（軸對稱、平移、放大和縮小等），從中感受和欣賞數(shù)學(xué)的美，體會(huì)數(shù)對的價(jià)值。實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情很高，無一不被數(shù)對變化后所帶來的美妙的圖形變化所折服。從這節(jié)課的研究中我們得到一個(gè)啟示：原來，像數(shù)對的變化引起圖形的變化，這種看起來更抽象的、更數(shù)學(xué)的東西，只要教學(xué)方式巧妙也是可以打動(dòng)小學(xué)生的。這種具體的、看得見的數(shù)學(xué)美其實(shí)學(xué)生是能夠欣賞的。

（執(zhí)筆：周璟、鄭志剛、王樹坤、徐旺、李闖）