從省略“個(gè)”，到“量”與“率”的重構(gòu)

于飛 鄭佳麗

【摘 要】在分析學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)和人教版教材關(guān)于分?jǐn)?shù)知識點(diǎn)編排后，可以嘗試像教自然數(shù)那樣，從表示“量”大小的角度教分?jǐn)?shù)。具體可以從凸顯分?jǐn)?shù)產(chǎn)生過程、1份大小、數(shù)形結(jié)合三方面，從“問”到學(xué)生起點(diǎn)、“圖”表分?jǐn)?shù)大小、數(shù)形結(jié)合表示“量”三個(gè)策略來認(rèn)識分?jǐn)?shù)表示量的含義。實(shí)踐表明，從“量”開始的認(rèn)識分?jǐn)?shù)教學(xué)，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生更能接受和理解分?jǐn)?shù)的意義，并取得較好的教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)意義；率；量；認(rèn)識分?jǐn)?shù)

數(shù)概念的教學(xué)中，在小學(xué)三年級之前只有像自然數(shù)1、2、3、4這些表示事物數(shù)量的叫“數(shù)”。慢慢地在分物的過程中，不能分得整數(shù)個(gè)時(shí)，就產(chǎn)生了“分?jǐn)?shù)”。認(rèn)識分?jǐn)?shù)的起始課，對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”，甚至三下的“小數(shù)的意義”和五下的“分?jǐn)?shù)與除法”具有深遠(yuǎn)影響。認(rèn)識分?jǐn)?shù)有兩條路徑“率”和“量”，即表示一個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)之間率的關(guān)系，還是表示一個(gè)數(shù)量的大小。

對于“率”和“量”的探討，筆者進(jìn)行了多次教學(xué)實(shí)踐，并對“量”“率”重構(gòu)的分?jǐn)?shù)教學(xué)進(jìn)行了一些探索和思考。

一、展現(xiàn)認(rèn)知起點(diǎn)，且看分?jǐn)?shù)“率”中問題

（一）教師的教——數(shù)與形，忽略“個(gè)”

分?jǐn)?shù)的概念具有雙重性，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”。借助直觀和操作認(rèn)識分?jǐn)?shù)，將分?jǐn)?shù)的“份數(shù)”定義和分?jǐn)?shù)從自然數(shù)的拓展定義 “除法”定義有機(jī)結(jié)合，使學(xué)生更好地認(rèn)識[1（ ）]。嘗試從“數(shù)” 的意義認(rèn)識分?jǐn)?shù)，滲透分?jǐn)?shù)是表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，即表示“率”。

【片段1】

如果村委主任只有1個(gè)月餅，平均分給四人怎么分？

（1）你能公平地分一分嗎？把圓形紙片當(dāng)作月餅，怎么分？

學(xué)生上臺(tái)操作，把圓片平均分成4份。

（2）想一想：把1個(gè)月餅平均分成4份，用怎樣的算式來表示這個(gè)分法呢？（ 板書：1÷4= ）

（3）再想一想：每人可以分到這個(gè)月餅的多少呢？

生：[14]個(gè)。 （板書：[14）]

分?jǐn)?shù)指向于“率”時(shí)，對學(xué)生來說較抽象，不像學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)有“量” 的支撐，學(xué)生在回答“可以分到這個(gè)月餅的多少”這個(gè)問題時(shí)，答案是“[14]個(gè)”，它是指向于“量”，而教師有意識地省略了“個(gè)”，這其實(shí)反映了學(xué)生對于分?jǐn)?shù)的認(rèn)知起點(diǎn)：分?jǐn)?shù)是一個(gè)表示“量”，而不是兩者之間“率”的關(guān)系。

（二）學(xué)生的學(xué)——操作與語言，不內(nèi)化

每人可以得到[14]個(gè)月餅，量可以摸得著。而對于“一個(gè)月餅平均分成4份，其中的1份就是這個(gè)月餅的[14]”這樣的分?jǐn)?shù)意義的理解浮于文字表面，沒有內(nèi)化。在本節(jié)課后半段，學(xué)生仍然會(huì)出現(xiàn)“[18]個(gè)”這樣的答案。由此可見，學(xué)生對于[14]和[14]個(gè)是不能正確區(qū)分的。

忽略單位“個(gè)”，不尊重學(xué)生認(rèn)識一個(gè)數(shù)的邏輯規(guī)律和認(rèn)知起點(diǎn)，致使學(xué)生被動(dòng)地接受分?jǐn)?shù)表示的是數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，即“率”。

二、追尋教材原因，探求先有“率”的邏輯問題

（一）忽略學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)

同一分物過程，前三次的結(jié)果是表示“量”，學(xué)生很容易理解，而為了迎合書本“每塊是它的（ ）分之一”，表示一個(gè)量與另一個(gè)量的關(guān)系，硬生生要求學(xué)生表達(dá)出：1個(gè)月餅平均分成4份，每一份是它的[14]。

從認(rèn)識整數(shù)邏輯規(guī)律的“1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)”跳躍到分?jǐn)?shù)教學(xué)中的“[14]”，學(xué)生很詫異。生活經(jīng)驗(yàn)告訴學(xué)生，分物的結(jié)果是得到一個(gè)具體的“量”，教師為什么要硬拉著學(xué)生去反復(fù)理解[12、14]呢？不尊重學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，致使多數(shù)學(xué)生對分?jǐn)?shù)的理解仍然是模糊的、拗口的、困難的。

（二）缺少“量”到“率” 的有效銜接

1.認(rèn)識自然數(shù)，從“量”開始

人類認(rèn)識自然數(shù)的順序就有如下圖所示（一年級上冊第一單元“1～5的認(rèn)識” 插圖）。自然數(shù)1的認(rèn)識：從實(shí)物中抽象出1，表示“1個(gè)”，數(shù)量的多少，一個(gè)具體的量，而不是“1倍”。認(rèn)識自然數(shù)如此，分?jǐn)?shù)也應(yīng)符合認(rèn)識一個(gè)數(shù)的規(guī)律。

2.分?jǐn)?shù)認(rèn)識單刀直入，有違認(rèn)知規(guī)律

“平均分”和“它的”明確指出了分?jǐn)?shù)概念的基本要素，強(qiáng)調(diào)只有平均分才能得到它的幾分之一，重點(diǎn)體會(huì)分的是“誰”就是“誰” 的幾分之一。

從“半塊”到“一半”，教學(xué)中短短幾秒鐘的稍縱即逝，學(xué)生是無法感受這一過程和理解的。即教材單刀直入式的教學(xué)編排，不符合學(xué)生對于一個(gè)數(shù)的認(rèn)知規(guī)律。

3.從分?jǐn)?shù)到小數(shù)，自相矛盾

誠然，教材的安排有其自身的想法，可是教學(xué)三年級下冊“小數(shù)的意義”時(shí)，前后矛盾了。在此之前，學(xué)生已經(jīng)“被動(dòng)”接受了分?jǐn)?shù)表示的是“率”，分?jǐn)?shù)是沒有“單位”的。而認(rèn)識小數(shù)時(shí)教材中突然出現(xiàn)了[310]“米”，在此之前教材中出現(xiàn)的所有分?jǐn)?shù)都表示“率”。分?jǐn)?shù)到底表示“率”還是“量”？

基于對學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)和教材編排分析，筆者認(rèn)為在認(rèn)識分?jǐn)?shù)的第一節(jié)課省略了單位“個(gè)”，是有違認(rèn)識一個(gè)數(shù)的規(guī)律。正確的應(yīng)該是先從“量” 的教學(xué)，再到“率” 的教學(xué)。

三、打破教材束縛，實(shí)踐先有“量”的分?jǐn)?shù)教學(xué)

認(rèn)識分?jǐn)?shù)凸顯三點(diǎn)：①分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷把1平均分成幾份，其中的1份或者幾份的過程；②1份的大小，而不是這1份與整個(gè)月餅的關(guān)系；③數(shù)形結(jié)合，借助形的直觀來理解分?jǐn)?shù)“量”的含義。

（一）從整數(shù)個(gè)到分?jǐn)?shù)個(gè)，凸顯分?jǐn)?shù)產(chǎn)生過程

自然數(shù)“1”開始表示的是如1頭大象、1個(gè)人，“1”表示的是事物的數(shù)量，后來在分物或者度量的過程中不能得到整數(shù)個(gè)時(shí)，就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。從分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過程分析，分?jǐn)?shù)首先是用來表示數(shù)量的。在筆者的實(shí)踐教學(xué)中從分物導(dǎo)入，每人拿到4個(gè)、2個(gè)，數(shù)表達(dá)的都是“量”。因此把1個(gè)月餅平均分成4份時(shí)，得到的這個(gè)數(shù)表達(dá)的是“量”，所以緊接著提問：每人還可以得到多少“個(gè)”呢？

【片段2】“問”到學(xué)生起點(diǎn)

（分物導(dǎo)入，產(chǎn)生剩余）

（1）16個(gè)月餅，平均分給4人，每人分到（ ）個(gè)。

口答：4個(gè)。

（2） 8個(gè)月餅，平均分給4人，每人分到（ ）個(gè)。

口答：2個(gè)。

（3）5個(gè)月餅，平均分給4人，每人分到（ ）個(gè)，還剩（ ）個(gè)。

口答：每人1個(gè)，還剩1個(gè)沒有分。

師：生活中分東西，有像前面兩題正好分完，可有時(shí)還有剩余。今天我們就要把這個(gè)月餅繼續(xù)分下去，每人還可以分到多少個(gè)呢？

這一提問順應(yīng)了分物的結(jié)果表示“量”，從整數(shù)個(gè)到分?jǐn)?shù)個(gè)能較好過渡，分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)對學(xué)生而言充滿著好奇，但不詫異。

（二）“量”“率”重構(gòu)，凸顯1份的大小

5個(gè)月餅平均分給4人，每人得到的就是“量”，得到用整數(shù)表示的“1個(gè)”和用分?jǐn)?shù)表示的“[14]個(gè)”。因此在教學(xué)中，筆者有意識地把1個(gè)月餅貼在黑板上，再把剪下來的[14]個(gè)月餅涂色貼墻上，強(qiáng)調(diào)這一份表示的是大小，是能“摸”著、能體驗(yàn)到它的大小的。

【片段3】“圖”表分?jǐn)?shù)大小

（先強(qiáng)調(diào)平均分，學(xué)生把一張圓紙折成如右圖）

師：把一個(gè)月餅平均分成4份，那其中的1份是多大呢？誰來指一指？（生指了其中1塊）

師：這一塊對嗎？上面這1份可以嗎？（4份中的任意1份都可以）

（教師把其中一塊涂色。教師呈現(xiàn)下圖）

師：誰知道這1份是多少個(gè)月餅，有多大？

生：[14]個(gè)。

師（板書分?jǐn)?shù)）：這個(gè)數(shù)讀作四分之一，今天我們就來認(rèn)識一個(gè)新的數(shù)。（板書：分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識）

在分物過程中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，很順利地理解[14]表示事物的量。借助板書貼紙，凸顯這一份[14]個(gè)是直觀摸得著的大小?！傲俊薄奥省敝貥?gòu)，在實(shí)踐先有量的分?jǐn)?shù)教學(xué)時(shí)，將板書科學(xué)利用能夠更好地幫助學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)。

（三）數(shù)形結(jié)合，理解分?jǐn)?shù)表示“量”

1.由形到數(shù)，直觀理解

借用圖形，讓學(xué)生體驗(yàn)和感受分?jǐn)?shù)“量”的大小，使學(xué)生直觀認(rèn)識和理解分?jǐn)?shù)的含義。

【片段4】

（課件出示題目和圖）

把一個(gè)圓，平均分成2份，每份是（ ）個(gè)圓。

把一個(gè)圓，平均分成3份，每份是（ ）個(gè)圓。

（學(xué)生寫分?jǐn)?shù)，口答后，出示下一問題）

把一個(gè)圖形，平均分成8份，每份是（ ）個(gè)圖形。

生：[18]個(gè)。

[18]、[14]、[13]、[12]等分?jǐn)?shù)借助形的特征，理解分?jǐn)?shù)與以前認(rèn)識自然數(shù)時(shí)一樣都表示事物的大小，并且感知在同一個(gè)大小的圓里，不同分?jǐn)?shù)表示不同的大小。

2.由數(shù)到形，理解[18]個(gè)的含義

圖形不局限于圓，從圓擴(kuò)展到任意圖形，更可以揭示分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，使學(xué)生“求同存異”理解分?jǐn)?shù)。

【片段5】

把圖形平均分成8份，每份是（ ）個(gè)圖形。

生：[18]個(gè)。

師：想一想，這一份有多大呢？你能找找身邊的圖形，折一折找到[18]個(gè)嗎？

（粘貼[18]個(gè)）

師（追問）：這三個(gè)圖形，有什么共同的地方？同樣是[18]個(gè)，為什么大小不同？

通過追問，觸及分?jǐn)?shù)本質(zhì)：都表示把圖形平均分成了8份，其中1份的大小就是[18]個(gè)；同樣是[18]個(gè)，但大小不一，感知分?jǐn)?shù)的大小是由事物原本大小決定的。

四、反思與總結(jié)

（一）像教學(xué)自然數(shù)那樣認(rèn)識分?jǐn)?shù)

學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)是學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)概念的第一次巨大拓展，教師要尊重學(xué)生認(rèn)識一個(gè)數(shù)的邏輯規(guī)律，使學(xué)生體會(huì)到認(rèn)識分?jǐn)?shù)其實(shí)與人類最開始學(xué)習(xí)自然數(shù)是一樣的，都表示事物的大小，只是這一份的大小小于完整的1個(gè)。

（二）帶量教學(xué)與數(shù)形結(jié)合有效溝通

實(shí)踐先有量的教學(xué)，需要有“形”的有效支撐。既然分?jǐn)?shù)表示一個(gè)事物的大小，這大小必須使學(xué)生能感知體會(huì)到。課堂上通過學(xué)生的折一折、涂一涂等行為，借助形的直觀性，凸顯1份大小的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)表示“量”的含義。分?jǐn)?shù)的認(rèn)識和教學(xué)不是一蹴而就的，教師可以將形的特征與分?jǐn)?shù)的抽象有機(jī)結(jié)合，展開有針對性的教學(xué)。

（三）當(dāng)1份數(shù)量大于1個(gè)時(shí)教學(xué)“率”

認(rèn)識分?jǐn)?shù)從量開始，但不表示三年級只教學(xué)表示“量”的分?jǐn)?shù)。從人教版三年級上冊教材編排“分?jǐn)?shù)的簡單應(yīng)用”這一內(nèi)容開始，當(dāng)事物平均分之后，每份的數(shù)量超過1個(gè)時(shí)，再去理解分?jǐn)?shù)表示一個(gè)量與另一個(gè)量之間的關(guān)系較為合適，即部分與整體的關(guān)系，三年級不教學(xué)部分與部分的關(guān)系。

[14]是一個(gè)分?jǐn)?shù)，更是一個(gè)“量”的數(shù)?！罢J(rèn)識分?jǐn)?shù)”是分?jǐn)?shù)的起始課，教師要幫助學(xué)生完善分?jǐn)?shù)“量”的概念，讓學(xué)生從心底接受分?jǐn)?shù)，也就是整體從“量”的角度去處理分?jǐn)?shù)，而不是從“率”的角度去教學(xué)。當(dāng)教師讀懂了學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，將起點(diǎn)與教材進(jìn)行有效整合，讓學(xué)生先從“量”慢慢地過渡到“率”。數(shù)學(xué)課堂只有更接地氣，才會(huì)使教師的教和學(xué)生的學(xué)深度融合。

（浙江省海寧市南苑小學(xué) 314400）