楊劍鋒， 石戈戈， 周天奇， 高鋒陽

(1. 蘭州交通大學(xué) 自動化與電氣工程學(xué)院，蘭州 730070； 2. 蘭州交通大學(xué) 光電技術(shù)與智能控制教育部重點實驗室，蘭州 730070)

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)自Huang等[1-2]提出后，由于其在處理非線性、非平穩(wěn)性信號方面的優(yōu)越特性，在工程實踐和研究領(lǐng)域得到了快速發(fā)展。由于該算法相關(guān)理論還有待完善，所以在數(shù)據(jù)分解過程中出現(xiàn)了一些問題，端點效應(yīng)就是其中很重要的一個[3]，嚴重影響了結(jié)果的準確性和有效性。針對此問題，前后有許多研究人員致力于端點效應(yīng)抑制算法的研究。其間有很多端點效應(yīng)抑制算法被提出，由于基于波形匹配的端點延拓算法[4]不僅考慮了端點處的數(shù)據(jù)變化趨勢同時還考慮到了原始波形內(nèi)部的數(shù)據(jù)變化，具有很好的端點效應(yīng)抑制效果，特別在信號規(guī)律性較強的情況下，所以在EMD端點效應(yīng)的抑制方面得到了廣泛的應(yīng)用。波形匹配延拓法抑制端點效應(yīng)效果的好壞很大程度上取決于波形匹配的精確度和效率，針對此種情況，本文提出了基于自適應(yīng)序貫相似檢測波形匹配延拓的端點效應(yīng)抑制方法。

1 端點效應(yīng)及抑制方法

Huang等認為每個復(fù)雜的振動均是由若干個單一模態(tài)的振動疊加而成，基于這個基本理念，提出了固有模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function，IMF)的概念和EMD的基本原理。EMD過程實際上就是通過信號極值點，形成上、下包絡(luò)，再通過反復(fù)篩選，按高階分量到低階分量的順序，分解出IMF的過程。正是借助于EMD過程，才使分解得到的IMF在做Hilbert變換后得到的瞬時頻率具有物理意義。

由于EMD分解時須對極值點進行三次樣條插值形成包絡(luò)線。但是信號的端點往往并不是極值點，導(dǎo)致在端點處形成包絡(luò)時出現(xiàn)下包絡(luò)超越上包絡(luò)，一部分信號處于上、下包絡(luò)之外的情況，最終導(dǎo)致端點處的波形失真[5]。如果待處理的信號時間尺度大或信號短時，失真現(xiàn)象還會向中間部分延伸，造成最終的IMF準確性受到很大影響，嚴重時甚至?xí)棺罱K分解出的IMF失去其意義，這種現(xiàn)象被稱為端點效應(yīng)[6-7]。

近年來，國內(nèi)學(xué)者通過深入學(xué)習(xí)和研究提出了不少算法來抑制端點效應(yīng)在信號EMD分解過程中帶來的不良影響。典型的有Huang等提出的特征波法；文獻[8]所提的鏡像閉合延拓法，該方法依據(jù)的是在左右對稱的極值點處采用鏡像原理使原始信號對稱延長為原信號的兩倍，延長后的信號首尾相接后便形成了一個閉環(huán)，消除了端點，也就消除了端點效應(yīng)[9]。這種方法直觀性強，操作也簡單，但是對信號本身的對稱性要求高，在處理對稱性不強的信號時，容易產(chǎn)生誤差。2010年，Wu等[10]提出了一種新穎的基于數(shù)學(xué)模型的比例延拓法，該算法計算和原理均簡單，在處理端點效應(yīng)上的效果也很好，但在有些情況下滿足不了極大值和極小值交錯的條件。此外，還有多項式擬合法等[11-12]。隨著人工智能的興起，基于人工智能的算法也陸續(xù)被提出，比較典型的有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法(Artificial Neural Network，ANN)[13]和支持向量機回歸法(Support Vector Regression，SVR)[14]，ANN經(jīng)過大量的數(shù)據(jù)訓(xùn)練，可以處理復(fù)雜的非線性數(shù)據(jù)，抑制端點效應(yīng)產(chǎn)生，但是算法本身復(fù)雜，計算和訓(xùn)練耗時長。SVR具有泛化能力好等優(yōu)點，但是在選取最優(yōu)核函數(shù)和模型參數(shù)時仍然存在問題。

2 自適應(yīng)序貫相似性檢測波形匹配延拓

在端點效應(yīng)抑制方面常用的一種算法還有波形匹配延拓法，該算法依據(jù)的理念是信號的變化趨勢除了在端點處有所表現(xiàn)外，信號內(nèi)部也有表現(xiàn)，尤其是規(guī)律性較強的信號[15]。具體的操作流程主要包含兩個部分：①在信號內(nèi)部尋找與端點處變化趨勢最為吻合的一段子波；②將匹配最佳的子波平移到端點處進行延拓。該算法由于其端點效應(yīng)抑制效果的優(yōu)越，尤其在針對規(guī)律性較強的信號的端點效應(yīng)處理方面得到了廣泛的應(yīng)用。其最佳匹配子波的尋找算法是研究該算法的關(guān)鍵和熱點。針對此問題，本文提出了一種基于自適應(yīng)序貫相似性檢測波形匹配延拓的EMD端點效應(yīng)抑制方法。

序貫分析這一概念來源于數(shù)理統(tǒng)計，其名稱出自瓦爾德的一本同名著作，其主要的研究方向是序貫抽樣方案并用此種方案進行統(tǒng)計推斷。其主要思想是在抽取樣本的過程中并不事先確定所需樣本個數(shù)，而是先抽取一小部分，再根據(jù)這一小部分樣本的結(jié)果決定是否進行繼續(xù)抽樣工作，從而有效降低抽樣個數(shù)。

序貫相似性檢測算法由于其計算量低，精度高的優(yōu)點，在圖像匹配等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。其性能的主要影響因素是閾值的選取及其調(diào)整策略。

以往截止閾值的定義一般直接采用匹配子波和待匹配子波幅值差的絕對值或平方形式，并不考慮匹配子波的幅值，這樣做的不足之處就是很難直觀反映出兩者的匹配精度，不利于閾值的選取。所以在本文中采用的是差值除以原始子波極大值減去極小值再平方的方式，讓單純的匹配誤差轉(zhuǎn)化為具有統(tǒng)一標準的匹配精度誤差，提高直觀性和降低因閾值選取而引入的誤差。同時，在截止閾值調(diào)整過程中采用何種策略對于計算量有很大影響，本文以對折的自適應(yīng)方式調(diào)節(jié)截止閾值，可以用最快的速率遍歷每個待匹配子波，用最少的時間選出最佳匹配子波。而且相對于通常均勻調(diào)整的方式，由于對折方式的收縮速度更快，所以還可減少初始閾值選取帶來的的計算量影響，增加算法性能的穩(wěn)定性。通過重復(fù)上述步驟，最終選取出最佳匹配波形，再經(jīng)過平移進行端點延拓。

其具體操作步驟如下：

步驟1確定端點處的原始子波X，為了能較好的反映端點處波形的變化趨勢，選取的原始子波應(yīng)包含一個極大值點和極小值點，縱坐標分別記為M和m，對原始子波進行采樣，得到K個采樣點值；

步驟2對原始信號進行采樣，并形成若干與原始子波長度相等的待匹配子波庫Y；

步驟3選擇初始截止閾值T1；

步驟6重復(fù)上述步驟，選出初始截止閾值下的若干種子波形；

步驟7若上述步驟選出的種子波形的數(shù)量N≥2時，減小截止閾值，重復(fù)上述步驟。N=0時，則增大截止閾值，重復(fù)步驟1～步驟5直到能選出種子子波；

步驟9重復(fù)步驟1～步驟8，直到選出的種子波形數(shù)量為1，該子波記為最佳匹配波形；

步驟10分別選出左右兩端的最佳匹配波形后，平移完成端點延拓。

3 模擬信號仿真分析

為了驗證算法的有效性，本文引用了一個非線性的調(diào)幅調(diào)頻信號，其表達式為

y(t)=(1+0.15 sin(2π×7.5t))cos(2π×30t+
0.6×sin(2π×15t))+sin(2π×120t)

(1)

式中： 采樣頻率為3 000 Hz，采樣點數(shù)為600，為了便于觀察算法結(jié)果的對比，下面給出了信號的組成分量和合成信號(見圖1)。

圖1 信號組成及合成信號Fig.1 Signal components and synthetic signal

圖2為沒有進行端點處理直接進行EMD得到的各個IMF分量及其余量，圖3為相應(yīng)的Hilbert譜，由圖2和圖3可知，在沒有進行任何端點處理的情況下直接進行EMD會產(chǎn)生嚴重的端點效應(yīng)同時還產(chǎn)生了一個虛假固有模態(tài)分量。

圖2 原信號EMD結(jié)果Fig.2 EMD result of original signal

圖3 原信號EMD結(jié)果的Hilbert譜Fig.3 Hilbert spectrum of original EMD result

為了驗證算法延拓的波形是否符合原信號的發(fā)展趨勢，本文將原信號左右兩端各自截去了50個采樣點的長度，再通過算法在信號兩端分別進行延拓，通過延拓后信號與原信號的對比來驗證算法準確性。圖4中，實線為未截取的信號，虛線部分為采用自適應(yīng)序貫相似性檢測波形匹配延拓的信號。由圖4可知，采用自適應(yīng)序貫相似性檢測波形匹配延拓的信號與原信號的相似度很高，表明本文算法具有很好的準確性。

圖4 原信號與延拓后信號對比Fig.4 Contrast between extension result and original signal

圖5和圖6分別為采用本文算法處理后的EMD結(jié)果和相應(yīng)的Hilbert譜，由圖5和圖6可知，經(jīng)過本文算法處理，IMF分量的Hilbert譜端點處的波動明顯降低很多同時還減少了一個偽分量，表明了本文算法對EMD過程中的端點效應(yīng)有很好的抑制效果。

圖5 延拓后EMD結(jié)果Fig.5 EMD result after extension

圖6 本文算法延拓后EMD結(jié)果的Hilbert譜Fig.6 Hilbert spectrum of proposed algorithm EMD result after extension

圖7和圖8分別為未經(jīng)端點處理的信號直接進行EMD和幾種常見的端點效應(yīng)抑制方法處理后EMD產(chǎn)生的IMF1和IMF2和原信號高頻和低頻分量的對比。其中，虛線表示未進行處理直接進行EMD結(jié)果；點線表示鏡像延拓處理后的EMD結(jié)果;實線表示經(jīng)過本文算法處理后EMD結(jié)果；點畫線表示經(jīng)過多項式擬合法處理后EMD結(jié)果；星形線表示原信號的原始分量；由以上對比圖可以清晰看到經(jīng)過端點處理分解出的IMF分量較之未經(jīng)處理直接分解出的IMF分量，與原始分量更為相似，直觀上看，其中實線波形較之點線和點畫線波形，與星形線波形更為貼近。同時，通過調(diào)用MATLAB命令分別計算不同處理方法產(chǎn)生的IMF分量和與之相對應(yīng)的原始信號分量之間的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果也說明了本文算法對EMD過程中的端點效應(yīng)有相對更好的抑制效果。各種算法EMD結(jié)果與原始信號的相似度，如表1所示。

圖7 各種延拓方法EMD結(jié)果和原始正弦分量信號對比Fig.7 Contrast between original sine signal and EMD result of different extension methods

圖8 各種延拓方法和原始調(diào)幅信號對比Fig.8 Contrast between original amplitude modulated signal and EMD result of different extension methods

直接分解法鏡像延拓法本文算法多項式擬合法ρ-IMF10.933 40.995 10.998 30.993 5ρ-IMF20.926 50.994 90.997 60.994 6

4 實際信號分析

為了進一步驗證算法的有效性，本文選取了一段來自于美國凱斯西儲大學(xué)的電機驅(qū)動端振動加速度數(shù)據(jù)來進行分析，如圖9所示。直接進行EMD和采取本文算法進行端點處理后再進行EMD的兩種情況分別進行仿真對比。由圖10可知，直接進行EMD會在IMF分量兩端出現(xiàn)較為嚴重的端點效應(yīng)；由圖11的分解結(jié)果可以看出采用本文算法進行端點延拓后再進行EMD可以很好的抑制端點效應(yīng)。

圖9 電機驅(qū)動端振動加速度信號Fig.9 Accelerometer data of motor drive end

圖10 振動加速度信號EMD結(jié)果Fig.10 EMD result of drive end accelerometer data

圖11 本文算法處理后EMD結(jié)果Fig.11 EMD result of proposed algorithm

5 結(jié) 論

針對EMD過程中出現(xiàn)的端點效應(yīng)問題，本文在分析端點效應(yīng)產(chǎn)生原因的基礎(chǔ)上，提出了一種基于自適應(yīng)序貫相似性檢測波形匹配延拓的EMD端點效應(yīng)抑制方法。并對其進行了仿真對比分析，驗證了該算法在抑制EMD過程中的端點效應(yīng)具有很好的效果，并且該算法準確性高，穩(wěn)健性強，匹配速度快，同時具有較強的通用性。但由于該算法是基于波形延拓的，所以對信號的規(guī)律性有一定要求，這也在一定程度上限制了它的應(yīng)用。同時，在選取最佳原始子波長度等問題上也還需進一步討論。