孫 凱，李體仁，于 旻

(陜西科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710021)

0 引言

高速銑削過程中，通過穩(wěn)定性圖得到對應(yīng)轉(zhuǎn)速下的切削深度可以大大提高銑削效率。然而，銑削過程中存在不穩(wěn)定區(qū)域的自激振動和再生顫振會增加動態(tài)切削力，從而降低工件表面質(zhì)量、加快刀具磨損以及損害機(jī)床[1-3]。但是穩(wěn)定性圖無法適用于難加工材料，這是由于難加工材料具有特殊的物理化學(xué)性能所表現(xiàn)出的較差的可加工性。近年來，通過改變動態(tài)系統(tǒng)的延遲和干擾再生機(jī)制，在連續(xù)齒之間具有不均勻的螺距或螺旋角的特殊銑刀能夠有效提高銑削生產(chǎn)率和抑制顫振現(xiàn)象[4]。因此，結(jié)合穩(wěn)定性模型對特殊銑刀進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)是提高生產(chǎn)率的關(guān)鍵。

利用不等齒距銑刀有效抑制銑削過程中的顫振現(xiàn)象最早由Slavicek提出[5]。他將正交切削穩(wěn)定性理論應(yīng)用于不等齒距銑刀的設(shè)計(jì)，假設(shè)了交替變化的不等齒距變化，將獲得的齒距變化函數(shù)作為穩(wěn)定性極限表達(dá)式；隨后，Opitz等[6]在銑刀旋轉(zhuǎn)過程中考慮了平均方向因素，預(yù)測結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明交替變化的齒距銑刀能夠明顯提高銑削穩(wěn)定性；湯愛民等[7]提出不等齒距三刃高速立銑刀質(zhì)量偏心和不平衡量的數(shù)學(xué)模型，建立了銑刀螺旋角、刃長以及質(zhì)量偏心之間的影響關(guān)系。實(shí)驗(yàn)表明不等齒距對于提高銑削穩(wěn)定性發(fā)揮重要作用。張開飛等[8]提出了一種預(yù)測變螺距銑刀銑削穩(wěn)定性預(yù)測模型，根據(jù)獲得的穩(wěn)定性葉瓣圖獲得不同轉(zhuǎn)速和切削深度對應(yīng)的切削參數(shù)組合，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該模型的準(zhǔn)確性。然而，現(xiàn)有的研究沒有提出最大穩(wěn)定性對應(yīng)的最佳齒距以及螺旋角變化值，以及最大化穩(wěn)定性對應(yīng)的最優(yōu)變螺旋銑刀設(shè)計(jì)參數(shù)。Dombovari等[9]利用半離散法研究了銑刀螺旋角變化對顫振穩(wěn)定性的影響；Shamoto等[10]提出了一種基于多模再生顫振機(jī)制的優(yōu)化方法對變螺旋銑刀進(jìn)行了相關(guān)設(shè)計(jì)，但是缺少具體設(shè)計(jì)參數(shù)和優(yōu)化準(zhǔn)則。

為了最大限度地提高變螺旋銑刀的顫振穩(wěn)定性，本文對變螺旋銑刀動態(tài)銑削模型和穩(wěn)定性進(jìn)行分析；結(jié)合穩(wěn)定性圖表對銑刀不等齒距和螺旋角變化進(jìn)行了最優(yōu)設(shè)計(jì)，得到最大穩(wěn)定性極限對應(yīng)的最優(yōu)變螺旋角和變齒距角；最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了最優(yōu)齒距變化和變螺旋角銑刀相較于常規(guī)銑刀具有更高的穩(wěn)定性極限。

1 變螺旋銑刀建模

將銑刀銑削路徑表示為三維銑削路徑，如圖1所示。點(diǎn)P(z)在螺旋切削槽上可以表示為距銑刀軸垂直距離為r(z)的點(diǎn)；軸向切入角k(z)為銑刀軸和切削刃法向方向上的夾角，ψ(z)為徑向滯后角。其中，軸向切入角k(z)可以表示為滯后角ψ(z)和刀具旋轉(zhuǎn)角度φ(z)的形式。通常情況下變螺旋銑刀對應(yīng)的第jth個(gè)切削刃上的局部切入角φj(z)可以表示為：

φj(z)=φ+φp,j-ψj(z)

(1)

式中，φp,j和ψj(z)分別表示當(dāng)前切削刃軌跡與前一旋轉(zhuǎn)周期的切削刃齒間角和第jth個(gè)切削刃螺旋角在銑削高度為z時(shí)產(chǎn)生的徑向滯后角。

圖1 切削刃幾何形狀及參數(shù)

由于螺旋角和齒距在連續(xù)的切削槽中會發(fā)生變化，如圖2所示，因此銑刀軸的任何軸向瞬時(shí)切削厚度取決于對應(yīng)的切削槽螺旋角和齒距。因此，沿銑刀軸的齒距φp,j和螺旋角ψj(z)對不同形狀的銑刀建模具有非常重要的影響。

圖2 變螺旋銑刀銑削示意圖

高度為z的銑削平面內(nèi)，連續(xù)切削的時(shí)滯性可以用不同切削槽jth和j+1th切入角差值表示：

δφj(z)=φj+1(z)-φj(z)

(2)

本文中，齒距和螺旋角的變化采用兩種常見的變化模式：線性和交叉變化。對于非均勻螺距分布和邊螺旋角的銑刀來說，其齒距變化和螺距變化分別設(shè)置為ΔP和ΔH。這種變化用于避免由于螺旋角和螺距的滯后效應(yīng)導(dǎo)致連續(xù)刀齒之間發(fā)生交叉現(xiàn)象。線性和交叉變化分別表示為：

(3)

(4)

此時(shí)對于切入角φj(z)的約束為：

φj(z)>φj-1(z)

(5)

銑削過程中，動態(tài)切屑厚度對銑削穩(wěn)定性影響較大。對于變螺旋銑刀，由于連續(xù)銑削刃邊緣存在的時(shí)滯性干擾相位角，因此可以導(dǎo)致較高的穩(wěn)定性。變螺旋銑刀的銑削動態(tài)模型可以表示為周期性時(shí)滯微分方程的形式，如下式：

(6)

式中，M、C和K分別表示質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，q表示給定系統(tǒng)的振動表達(dá)式；時(shí)間和軸向水平相關(guān)方向系數(shù)矩陣B(t,z)耦合了微分方程和具有多時(shí)滯(τ)的主軸周期性。時(shí)間—方向系數(shù)矩陣的不確定性選擇，如切削深度，會導(dǎo)致切屑厚度以指數(shù)形式增大直至從脫離工件，引起劇烈顫振現(xiàn)象。因此，穩(wěn)定性解決方案是正確選擇工藝參數(shù)和提高生產(chǎn)率的關(guān)鍵。

半離散化方法對給定系統(tǒng)延時(shí)項(xiàng)在小的離散的時(shí)間間隔。首先，調(diào)整式(6)中周期性時(shí)滯微分方程表示為一階狀態(tài)空間方程；然后，利用Floquet理論對一階線性周期系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行研究，判斷在離散時(shí)間間隔之間連接狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣特征值是否大于1。

2 優(yōu)化銑刀幾何形狀

變齒距或螺旋角銑刀通過擾動周期振動來影響相位或延遲，最小化或消除延遲可以最大限度地穩(wěn)定極限。因此，對銑削動力學(xué)公式求解得到最優(yōu)螺旋角和齒距就可以找到最佳銑削參數(shù)。本文中，優(yōu)化模擬中將最大化穩(wěn)定性極限作為唯一優(yōu)化目標(biāo)，不考慮其他評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)如刀具壽命、機(jī)床轉(zhuǎn)矩和功率極限。因此，只要簡單地利用銑刀的最佳變化，穩(wěn)定性極限就可以大幅度提高。

在不同的螺旋角和齒距變化情況下，分別對時(shí)域和頻域的動態(tài)銑削系統(tǒng)方程進(jìn)行求解，通過對三維穩(wěn)定性曲面的評價(jià)，找出最佳切削條件。實(shí)驗(yàn)中銑刀參數(shù)為刀具直徑25 mm，齒數(shù)為4，切削刃長度和總長度分別為28 mm和35 mm。工件材料為鋁AI7075，每齒進(jìn)給量0.05 mm。刀具動態(tài)相應(yīng)測試實(shí)驗(yàn)中，采用變螺旋角(30°-30° 30°-30°)銑刀，齒距固定不變，具體沖擊實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果如表1。

表1 銑刀模型參數(shù)

仿真過程主軸轉(zhuǎn)速范圍設(shè)置為3000～4000 rpm，齒距變化范圍和螺旋角增量分別設(shè)置為0～10°和0.1°。對于每個(gè)變化的齒距和螺旋角，通過給定主軸轉(zhuǎn)速下掃略可行切削范圍、構(gòu)造穩(wěn)定性曲面來計(jì)算穩(wěn)定切削深度。

2.1 銑刀螺旋角優(yōu)化

考慮交替變化螺旋角的情況同時(shí)，得到不同螺旋角變化下的三維穩(wěn)定性葉瓣圖如圖3所示。由圖3可知，當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速設(shè)置為3900 rpm時(shí)得到最大穩(wěn)定切削深度，此時(shí)對應(yīng)的螺旋角變化ΔH為1°。

圖3 不同螺旋角變化下的三維穩(wěn)定性葉瓣圖

圖4 不同銑刀穩(wěn)定性圖表對比圖

相較于常規(guī)螺旋角不變的銑刀，相同切削條件下的穩(wěn)定性圖表對比圖如圖4所示。由圖4可知變螺旋銑刀在最優(yōu)切削速度下的絕對穩(wěn)定性極限增加50%左右。由于動態(tài)切削中延時(shí)項(xiàng)取決于切削速度和顫振頻率，齒距和螺旋角的變化對顫振頻率的影響較大。齒距和螺旋角的變化會干擾連續(xù)齒之間的相位或延時(shí)項(xiàng)。在所有顫振情況下，由于系統(tǒng)的閉環(huán)動力學(xué)導(dǎo)致顫振頻率和相位是相互關(guān)聯(lián)的。因此，引入可變齒距來改變延時(shí)項(xiàng)，也就是顫振頻率。刀具的固有頻率為3370 Hz，顫振頻率的峰值出現(xiàn)在系統(tǒng)的最佳螺旋角處，從而使系統(tǒng)的時(shí)滯降到最小，如圖5a所示。

圖5 顫振頻率變化

2.2 銑刀齒距角優(yōu)化

變齒距角銑刀相鄰齒之間間距不相等，仿真參數(shù)設(shè)置與之前模型參數(shù)相同。通過評價(jià)穩(wěn)定性三維葉瓣圖對齒距角變化的影響進(jìn)行判斷，如圖6所示。由圖可知，每個(gè)主軸轉(zhuǎn)速對應(yīng)的多個(gè)點(diǎn)都有最佳交叉齒距角變化。最大穩(wěn)定性切削深度約為2.92 mm，主軸轉(zhuǎn)速為3850 rpm，此時(shí)齒距角變化ΔP為8.1°。

圖6 不同齒距角變化下的三維穩(wěn)定性葉瓣圖

另一方面，有多個(gè)齒距角變化值和相應(yīng)的主軸轉(zhuǎn)速對應(yīng)的切削深度與最大穩(wěn)定性切削深度接近。為此，選擇較小的ΔP，使各刀齒之間的載荷分布更加平滑，減少最大切屑厚度，從而達(dá)到峰值切削力。圖7對比了常規(guī)銑刀穩(wěn)定性極限和齒距角交替變化的銑刀穩(wěn)定性極限圖。由圖可知，相較于常規(guī)的銑刀，變齒距角銑刀的局對穩(wěn)定性極限增加了25%。然而，穩(wěn)定性圖表中在一定值情況下，其穩(wěn)定切削深度相較于常規(guī)銑刀也較低。主軸轉(zhuǎn)速為3850 rpm時(shí)顫振頻率隨齒距角的變化圖如圖5b所示，與變螺旋角相似，顫振頻率在最佳齒距角變化處提供了最大穩(wěn)定性切削深度，這是由于在這些條件下銑削動態(tài)模型中的延時(shí)項(xiàng)最小。

圖7 不同銑刀穩(wěn)定性圖表對比圖

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

相同切削情況下，將優(yōu)化后得到的最優(yōu)變螺旋銑刀與常規(guī)銑刀進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)。切削實(shí)驗(yàn)在三軸加工中心(Mazak Nexus 510C-II)進(jìn)行，利用激光位移傳感器測量加工過程中的振動數(shù)據(jù)。同時(shí)每次實(shí)驗(yàn)加工后的工件表面進(jìn)行分析，以確定位移傳感器的預(yù)測結(jié)果。

圖8為穩(wěn)定性圖和顫振測試結(jié)果。由圖可知，優(yōu)化后的最優(yōu)變螺旋銑刀相較于常規(guī)銑刀在切削條件相同情況下具有較高的穩(wěn)定性極限，其穩(wěn)定性極限值大約是常規(guī)銑刀的2倍。另外，切削試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了幾種切削條件下的穩(wěn)定性圖。在仿真模擬中預(yù)測A點(diǎn)的切削條件是穩(wěn)定的，并通過切削試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。由圖9可以看出A點(diǎn)對應(yīng)的頻率譜中沒有出現(xiàn)顫振頻率，只有銑刀切削過程中轉(zhuǎn)動頻率；另外，B點(diǎn)顫振頻率約為3360Hz，與結(jié)構(gòu)一階振動模態(tài)相近。兩個(gè)不同點(diǎn)的加工表面形貌圖也驗(yàn)證了切削穩(wěn)定和切削顫振條件。

圖8 穩(wěn)定性圖和顫振測試結(jié)果

圖9 FFT變化圖及表面形貌圖

4 結(jié)論

基于變螺旋銑刀能夠提高銑削效率、提高顫振穩(wěn)定性的特征，對變螺旋角和變齒距角銑刀的幾何形狀進(jìn)行分析并優(yōu)化。建立了變螺旋銑刀銑削過程的動力學(xué)模型，結(jié)合仿真獲得的顫振穩(wěn)定性三維葉瓣圖得到了最大穩(wěn)定性切削深度對應(yīng)的最優(yōu)螺旋角變量和齒距角變量值分別為1°和8.1°。最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了獲得的最優(yōu)螺旋角變量和齒距角變量對提高顫振穩(wěn)定性的有效性，同時(shí)為抑制銑削過程中顫振的變螺旋銑刀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。