郭 建 勝

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 西安 710119)

軟集理論[1]可處理不確定性問題, 其目的是解決模糊數(shù)學(xué)參數(shù)化方法理論中存在的缺陷. 目前, 關(guān)于軟集的研究已有許多結(jié)果[2-10].

在考慮參數(shù)集時(shí), 可以同時(shí)考慮這些參數(shù)集的“非參數(shù)集”, 因此, 文獻(xiàn)[11-12]提出了雙軟集和模糊雙軟集的概念； 文獻(xiàn)[13-15]提出了猶豫模糊集的概念; 文獻(xiàn)[14]將猶豫模糊集和粗糙集相結(jié)合, 給出了結(jié)構(gòu)化方法和公理化方法； 文獻(xiàn)[16]將雙猶豫模糊集的非隸屬度與軟集的參數(shù)化特性相結(jié)合, 提出了雙猶豫模糊軟集(F,A)的概念, 即對(duì)域集U, 參數(shù)集E,A?E, 存在映射F,F為從A到U的雙猶豫模糊集的映射. 本文將雙軟集模型和猶豫模糊集相結(jié)合, 建立一種新的軟集模型, 稱為雙猶豫模糊軟集. 與文獻(xiàn)[16]中概念的區(qū)別為在A和A上, 分別建立從A和A到U的猶豫模糊集的映射F:A→HF(U)和G:A→HF(U). 與模糊軟集及其經(jīng)典的推廣相比, 本文定義的雙猶豫模糊軟集不僅能反映對(duì)關(guān)注對(duì)象參數(shù)選擇的猶豫性, 也能反映所選擇參數(shù)的“非參數(shù)性”.

1 預(yù)備知識(shí)

若無(wú)特殊說(shuō)明， 本文中的論域U一般指非空有限集.

定義1[1]設(shè)U為初始論域,E為參數(shù)集,P(U)為U的冪集,A?E,F:A→P(U)為映射, 則稱序?qū)?F,A)為U上的一個(gè)軟集.

例1假設(shè)域集U是5套房子的集合, 記為U={h1,h2,h3,h4,h5}.A={e1,e2,e3,e4,e5}是參數(shù)的集合, 其中e1,e2,e3,e4,e5分別表示參數(shù)“便宜”、 “漂亮”、 “木質(zhì)的”、 “面積大”和“綠化好”. 軟集(F,A)可用于描述顧客對(duì)房子的評(píng)價(jià). 假設(shè)F(e1)={h1,h4},F(e2)={h2,h3},F(e3)={h2,h4,h5},F(e4)={h1,h4,h5},F(e5)={h3}, 則軟集(F,A)是一個(gè)參數(shù)族{F(ei); 1≤i≤5}, 其為U的子集. 其中F(e1)={h1,h4}表示房子h1和h4是“便宜的”, 其他類似. 于是軟集(F,A)表示為

(F,A)={(e1,{h1,h4}),(e2,{h2,h3}),(e3,{h2,h4,h5}),(e4,{h1,h4,h5}),(e5,{h3})}.

為了在計(jì)算機(jī)上存儲(chǔ)軟集, 表1列出了例1中定義軟集的列表表示.

表1 例1中軟集(F,A)的列表表示

定義3[13]設(shè)U是非空域集, 則通過(guò)一個(gè)函數(shù)hA(x):U→P([0,1]), 可在域集U上定義一個(gè)猶豫模糊集為

A={〈x,hA(x)〉:x∈U},

其中hA(x)是函數(shù)值在[0,1]區(qū)間上的函數(shù), 表示元x∈U對(duì)集合A可能的關(guān)系度. 為方便, 稱hA(x)為一個(gè)猶豫模糊元.

例2設(shè)U={x1,x2,x3}是域集,hA(x1)={0.3,0.4,0.8},hA(x2)={0.4,0.5},hA(x3)={0.2,0.4,0.8,0.9}是猶豫模糊元, 則猶豫模糊集為

A={〈x1,{0.3,0.4,0.8}〉,〈x2,{0.4,0.5}〉,〈x3,{0.2,0.4,0.8,0.9}〉}.

注1由于不同猶豫模糊元中值的個(gè)數(shù)不同, 所以用l=l(hA(x))表示猶豫模糊元hA(x)中值的個(gè)數(shù). 由文獻(xiàn)[13]可知:

2) 對(duì)于兩個(gè)猶豫模糊元hA(x)和hB(x), 如果l(hA(x))≠l(hB(x)), 則l=max{l(hA(x)),l(hB(x))}.

為了進(jìn)行比較, 兩個(gè)猶豫模糊元hA(x)和hB(x)應(yīng)有相同長(zhǎng)度l, 所以如果hA(x)中的元少于hB(x)中的元, 則將hA(x)中元的個(gè)數(shù)進(jìn)行擴(kuò)充, 即將hA(x)中的最大元重復(fù)增加, 直到其中元的個(gè)數(shù)與hB(x)中元的個(gè)數(shù)相同為止.

本文用到的其他有關(guān)猶豫模糊集的概念和符號(hào)參見文獻(xiàn)[13-15].

定義4[13]設(shè)U是一個(gè)非空的有限域集. 對(duì)任意的A,B∈HF(U)和任意的x∈U, 定義

定義5[13]設(shè)U是非空有限域集, A和 B是兩個(gè)猶豫模糊集, 則對(duì)任意的x∈U:

1) A的補(bǔ)記為Ac, 即

h(x)=h

h(x)=hA(x)⊕

h(x)=hA(x)?

定理1[13]設(shè)U是非空有限域集. 如果 A和 B是兩個(gè)猶豫模糊集, 則:

定義6[17]設(shè)U為非空域集,E為非空參數(shù)集,HF(U)為U的所有猶豫模糊集的全體,A?E,F:A→HF(U)為映射, 則稱(F,A)為U上的一個(gè)猶豫模糊軟集.

定義7設(shè)U為非空集,A?U, 則稱三元組(F,G,A)為U上的雙猶豫模糊軟集, 其中F和G是映射,F:A→HF(U),G:A→HF(U), 使得對(duì)所有的x∈U, 有(x)+(x)≤1,k=1,2,…,l, 其中l(wèi)=max{l(hF(e)(x)),l(hG(e)(x))}.

例3設(shè)U是4套房子的集合, 記為U={x1,x2,x3,x4}. 設(shè)A是一個(gè)參數(shù)集, 其中A={e1,e2,e3}={便宜,漂亮,木質(zhì)的}. 假設(shè)某人考慮的某套房子xj與參數(shù)ei間的隸屬度很難精確表達(dá), 為解決該問題, 他把房子xj和參數(shù)ei之間的隸屬度用若干可能的值表示, 則雙猶豫模糊軟集S=(F,G,A)定義如下:

表2列出了例3中定義的雙猶豫模糊軟集的列表表示.

表2 例3中雙猶豫模糊軟集(F,G,A)的列表表示

定義8對(duì)于U上的兩個(gè)雙猶豫模糊軟集(F,G,A)和(F1,G1,B), 如果滿足:

1)A?B;

定義9設(shè)(F,G,A)和(F1,G1,B)是域集U上的兩個(gè)雙猶豫模糊軟集, 如果(F,G,A)和(F1,G1,B)滿足下列條件:

則稱(F,G,A)和(F1,G1,B)相等, 記為(F,G,A)=(F1,G1,B).

定義10稱(F,G,A)c=(Fc,Gc,A)為雙猶豫模糊軟集(F,G,A)的補(bǔ), 其中Fc和Gc是映射, 且對(duì)任意的e∈A, 有Fc(e)=G(e),Gc(e)=F(e).

顯然, 有((F,G,A)c)c=(F,G,A).

定義11如果對(duì)任意的e∈A, 有Φ(e)=?和U(e)=U, 則稱U上的雙猶豫模糊軟集為相對(duì)空雙猶豫模糊軟集, 記為(Φ,U,A).

定義12如果對(duì)任意的e∈A, 有U(e)=U和Φ(e)=?, 則稱U上的雙猶豫模糊軟集為相對(duì)完全雙猶豫模糊軟集, 記為(U,Φ,A).

易得:

命題1如果(Φ,U,A)是一個(gè)相對(duì)空雙猶豫模糊軟集, 則(Φ,U,A)c=(U,Φ,A)是一個(gè)相對(duì)完全雙猶豫模糊軟集; 如果(U,Φ,A)是一個(gè)相對(duì)完全雙猶豫模糊軟集, 則(U,Φ,A)c=(Φ,U,A)是一個(gè)相對(duì)空雙猶豫模糊軟集.

定義13設(shè)(F,G,A)和(F1,G1,B)是U上的兩個(gè)雙猶豫模糊軟集, 則其交運(yùn)算定義為(F,G,A)∧(F1,G1,B), 即

(F,G,A)∧(F1,G1,B)=(H,K,A×B),

其中對(duì)任意的(α,β)∈A×B, 有

定義14設(shè)(F,G,A)和(F1,G1,B)是U上的兩個(gè)雙猶豫模糊軟集, 則其并運(yùn)算定義為(F,G,A)∨(F1,G1,B), 即

(F,G,A)∨(F1,G1,B)=(M,N,A×B),

其中對(duì)任意的(α,β)∈A×B, 有M(α,β)=F(α)F1(β), N(α,β)=G(α)G1(β).

定理2設(shè)(F,G,A)和(F1,G1,B)是U上的兩個(gè)雙猶豫模糊軟集, 則下列等式成立:

1) ((F,G,A)∧(F1,G1,B))c=(F,G,A)c∨(F1,G1,B)c;

2) ((F,G,A)∨(F1,G1,B))c=(F,G,A)c∧(F1,G1,B)c.

證明: 1) 設(shè)((F,G,A)∧(F1,G1,B))=(H,K,A×B), 則由定義10和定義13, 有

((F,G,A)∧(F1,G1,B))c=(H,K,A×B)c=(Hc,Kc,A×B),

其中對(duì)任意的x∈U和(α,β)∈A×B, 有

由定理1知,

另一方面, 由定義10和定義14, 有

其中對(duì)任意的x∈U和(α,β)∈A×B, 有

因此(Hc,Kc,A×B)=(M,N,A×B).

2) 類似可證.

定理3設(shè)(F,G,A),(F1,G1,B)和(F2,G2,C)是U上的3個(gè)雙猶豫模糊軟集, 則下列等式成立:

1) (F,G,A)∧((F1,G1,B)∧(F2,G2,C))=((F,G,A)∧(F1,G1,B))∧(F2,G2,C);

2) (F,G,A)∨((F1,G1,B)∨(F2,G2,C))=((F,G,A)∨(F1,G1,B))∨(F2,G2,C);

3) (F,G,A)∧((F1,G1,B)∨(F2,G2,C))=((F,G,A)∧(F1,G1,B))∨((F,G,A)∧(F2,G2,C));

4) (F,G,A)∨((F1,G1,B)∧(F2,G2,C))=((F,G,A)∨(F1,G1,B))∧((F,G,A)∨(F2,G2,C)).

證明: 1) ?x∈U, α∈A, β∈B及γ∈C, 有

且

G(γ)(x))=(G(γ)(x),

所以(F,G,A)∧((F1,G1,B)∧(F2,G2,C))=((F,G,A)∧(F1,G1,B))∧(F2,G2,C)成立. 2),3),4)類似可證.

定義15對(duì)任意的e∈C, 兩個(gè)相同域集U上的雙猶豫模糊軟集(F,G,A)和(F1,G1,B)的擴(kuò)張并定義為雙猶豫模糊軟集(H,K,C), 記為(F,G,A)∪E(F1,G1,B)=(H,K,C). 其中: C=A∪B;

K(

定義16對(duì)任意的e∈C, 兩個(gè)相同域集U上的雙猶豫模糊軟集(F,G,A)和(F1,G1,B)的擴(kuò)張交定義為雙猶豫模糊軟集(H,K,C), 記為(F,G,A)∩E(F1,G1,B)=(H,K,C). 其中： C=A∪B;

K(

定義17對(duì)任意的e∈C, 兩個(gè)相同域集U上的雙猶豫模糊軟集(F,G,A)和(F1,G1,B)的限制并定義為雙猶豫模糊軟集(H,K,C), 記為(F,G,A)∪R(F1,G1,B)=(H,K,C). 其中: C=A∩B非空;

H(e)=F(e)F1(e);K(e)=G(e)G1(e).

定義18對(duì)任意的e∈C, 兩個(gè)相同域集U上的雙猶豫模糊軟集(F,G,A)和(F1,G1,B)的限制交定義為雙猶豫模糊軟集(H,K,C), 記為(F,G,A)∩R(F1,G1,B)=(H,K,C). 其中： C=A∩B非空；

特別地, 如果A∩B=?, 則規(guī)定(F,G,A)∩R(F1,G1,B)=(Φ,U,?)=(F,G,A)∪R(F1,G1,B).

例4假設(shè)域集U上的雙猶豫模糊軟集(F,G,A)和(F1,G1,B)如例3所示, 則由定義15～定義18可知, (F,G,A)和(F1,G1,B)的擴(kuò)張并、 擴(kuò)張交、 限制并、 限制交雙猶豫模糊軟集(H,K,C)的列表表示分別列于表3～表6.

表3 (F,G,A)和(F1,G1,B)的擴(kuò)張并雙猶豫模糊軟集(H,K,C)的列表表示

表4 (F,G,A)和(F1,G1,B)的擴(kuò)張交雙猶豫模糊軟集(H,K,C)的列表表示

表5 (F,G,A)和(F1,G1,B)的限制并雙猶豫模糊軟集(H,K,C)的列表表示

表6 (F,G,A)和(F1,G1,B)的限制交雙猶豫模糊軟集(H,K,C)的列表表示

顯然有：

引理1設(shè)(F,G,A),(F1,G1,B)和(F2,G2,C)是域集U上的3個(gè)雙猶豫模糊軟集, 則對(duì)任意的°∈{∩E,∩R,∪E,∪R}, 下列等式成立:

1) (F,G,A)°((F1,G1,B)°(F2,G2,C))=((F,G,A)°(F1,G1,B))°(F2,G2,C);

2) (F,G,A)°(F1,G1,B)=(F1,G1,B)°(F,G,A).

引理2設(shè)(Φ,U,A)和(U,Φ,A)分別為相對(duì)空與相對(duì)完全雙猶豫模糊軟集, (F,G,A)和(F1,G1,A)是共同域集U上的雙猶豫模糊軟集, 則:

1) (F,G,A)∪E(F1,G1,A)=(F,G,A)∪R(F1,G1,A);

2) (F,G,A)∩E(F1,G1,A)=(F,G,A)∩R(F1,G1,A);

3) (F,G,A)∪E(F,G,A)=(F,G,A)∪R(F,G,A)=(F,G,A);

4) (F,G,A)∩E(F,G,A)=(F,G,A)∩R(F,G,A)=(F,G,A);

5) (F,G,A)∪E(Φ,U,A)=(F,G,A)∪R(Φ,U,A)=(F,G,A);

6) (F,G,A)∩E(U,Φ,A)=(F,G,A)∩R(U,Φ,A)=(F,G,A).

引理3設(shè)(F,G,A)和(F1,G1,B)是相同域集U上的兩個(gè)雙猶豫模糊軟集, 則:

1) ((F,G,A)∪E(F1,G1,B))c=(F,G,A)c∩E(F1,G1,B)c;

2) ((F,G,A)∩E(F1,G1,B))c=(F,G,A)c∪E(F1,G1,B)c;

3) ((F,G,A)∪R(F1,G1,B))c=(F,G,A)c∩R(F1,G1,B)c;

4) ((F,G,A)∩R(F1,G1,B))c=(F,G,A)c∪R(F1,G1,B)c.

2 雙猶豫模糊軟集的約簡(jiǎn)

文獻(xiàn)[18]介紹了區(qū)間值模糊軟集約簡(jiǎn)的概念. 本文將其應(yīng)用到雙猶豫模糊軟集上, 并通過(guò)約簡(jiǎn)的方法把雙猶豫模糊軟集變?yōu)殡p模糊軟集.

定義19設(shè)(F,G,A)是域集U上的雙猶豫模糊軟集, 使得對(duì)任意的e∈A, F(e)和G(e)是猶豫模糊集. 對(duì)任意的x∈U,

(1)

其中l(wèi)=l(hA(x))表示猶豫模糊元hA(x)中元的個(gè)數(shù). 則定義域集U上的雙模糊軟集(F-,G-,A)定義為

稱為(F,G,A)的悲觀約簡(jiǎn)雙模糊軟集.

定義20設(shè)(F,G,A)是域集U上的雙猶豫模糊軟集, 對(duì)任意的e∈A, F(e)和G(e)是猶豫模糊集. 對(duì)任意的x∈U, 式(1)成立, 其中l(wèi)=l(hA(x))表示猶豫模糊元hA(x)中元的個(gè)數(shù). 則域集U上的雙模糊軟集(F+,G+,A)定義為F+(e)={〈x,(x)〉: x∈U}, G+(e)= {〈x,(x)〉: x∈U}, ?e∈A, 稱為(F,G,A)的樂觀約簡(jiǎn)雙模糊軟集.

定義21設(shè)(F,G,A)是域集U上的雙猶豫模糊軟集, 對(duì)任意的e∈A, F(e)和G(e)是猶豫模糊集. 對(duì)任意的x∈U, hF(e)(x)={(x), k=1,2,…,l}, h(x)={(x), k=1,2,…,l}, 其中l(wèi)=l(hA(x))表示猶豫模糊元hA(x)中元的個(gè)數(shù). 則域集U上的雙模糊軟集(FN,GN,A)定義為

稱為(F,G,A)的均值約簡(jiǎn)雙模糊軟集.

例5考慮例3中的雙猶豫模糊軟集, 計(jì)算表2中雙猶豫模糊軟集(F,G,A)的悲觀約簡(jiǎn)雙模糊軟集(F-,G-,A)、 樂觀約簡(jiǎn)雙模糊軟集(F+,G+,A)及均值約簡(jiǎn)雙模糊軟集(FN,GN,A), 結(jié)果分別列于表7～表9.

表7 雙猶豫模糊軟集(F,G,A)的悲觀約簡(jiǎn)雙模糊軟集(F-,G-,A)

表8 雙猶豫模糊軟集(F,G,A)的樂觀約簡(jiǎn)雙模糊軟集(F+,G+,A)

表9 雙猶豫模糊軟集(F,G,A)的均值約簡(jiǎn)雙模糊軟集(FN,GN,A)

3 基于相關(guān)系數(shù)的算法

設(shè)域集U={x1,x2,…,xn}, (F,G,A)是域集U上的一個(gè)雙猶豫模糊軟集, 下面計(jì)算其悲觀約簡(jiǎn)雙模糊軟集(F-,G-,A)、 樂觀約簡(jiǎn)雙模糊軟集(F+,G+,A)或者均值約簡(jiǎn)雙模糊軟集(FN,GN,A). 通過(guò)該方法, 將猶豫模糊集F(e),G(e)相應(yīng)地變?yōu)槟：? 此外, 若從雙猶豫模糊軟集中誘導(dǎo)出雙模糊軟集, 可參見文獻(xiàn)[19]的算法, 得到最理想的選擇. 下面給出基于雙猶豫模糊軟集的決策最優(yōu)算法.

算法1基于雙猶豫模糊軟集的決策最優(yōu)算法.

算法步驟如下:

1) 輸入雙猶豫模糊軟集S =(F,G,A);

3) 輸入模糊集λ: A→[0,1], μ: A→[0,1](或給出一對(duì)數(shù)值s,t∈[0,1]);

7) 如果有多個(gè)xk存在, 則選擇xk中的任意一個(gè)即可, 也可回到步驟3), 重新調(diào)整模糊集λ,μ(或s,t), 然后繼續(xù)計(jì)算.

例6考慮表8中的雙猶豫模糊軟集(F,G,A)的樂觀約簡(jiǎn)雙模糊軟集(F+,G+,A). 取s=0.8, t=0.1, 計(jì)算雙模糊軟集(F+,G+,A)的(0.8,0.1)-水平截集. 對(duì)于參數(shù)e1, 計(jì)算模糊集F+(e1)和G+(e1)的(0.8,0.1)-水平截集, 可得U的分明子集為

L(〈F+(e1),G+(e1)〉;0.8,0.1)={x1,x4}.

結(jié)果表明, 以關(guān)系度s=0.8, t=0.1衡量, x1,x4屬于漂亮的房子.

通過(guò)分析其他參數(shù), 可得模糊集F+(ei),G+(ei)(i=2,3)的(0.8,0.1)-水平截集:

表10列出了水平截集L((F+,G+,A);0.8,0.1)的列表表示, 其中最后一列給出了每個(gè)對(duì)象的選擇值. 由表10可見, 極大選擇值為3, 所以最優(yōu)決策選擇是x4.

表10 (F+,G+,A)的(0.8,0.1)-水平截集及選擇值c的列表表示

算法1的優(yōu)點(diǎn)為： 首先, 易見算法1與文獻(xiàn)[12,19]的算法相比, 具有更小的計(jì)算量. 算法1無(wú)需如文獻(xiàn)[12,19]的算法建立比較列表, 只需建立水平雙軟截集中對(duì)象的選擇值即可, 事實(shí)上, 算法1最后是在處理分明軟集, 而不是最初的雙猶豫模糊軟集; 其次, 算法1是一個(gè)可調(diào)算法, 即當(dāng)最后一步有太多“最優(yōu)選擇”時(shí), 可返回步驟3)并檢查調(diào)整所使用的截集數(shù)值λ,μ(或s,t), 以便調(diào)整最優(yōu)選擇xk.