盛 鷹， 曾祥國(guó)， 陳國(guó)平， 劉筱玲， 文 軍

(1.西南科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院， 四川 綿陽(yáng) 621000； 2.四川大學(xué) 建筑與環(huán)境學(xué)院， 四川 成都 610065)

0 引 言

鈦合金因具有密度小、比強(qiáng)度高、耐高低溫、耐腐蝕等綜合性能，而被廣泛運(yùn)用于航空航天、生物醫(yī)療等領(lǐng)域[1-2].與其他金屬材料不同的是，鈦合金材料對(duì)應(yīng)變率和溫度非常敏度，在高應(yīng)變率、高溫環(huán)境下表現(xiàn)出與中應(yīng)變率、常溫環(huán)境下截然不同的力學(xué)性能[3].為準(zhǔn)確描述鈦合金材料與不同應(yīng)變率、不同溫度相關(guān)的力學(xué)行為，學(xué)者們提出了多種本構(gòu)模型，如Johnson-Cook模型、Khan-Huang-Liang模型、Chaboche模型等[4-6].其中，Johnson-Cook模型是一種常用的經(jīng)驗(yàn)型本構(gòu)模型，其形式簡(jiǎn)單，各參數(shù)具有清晰、明確的宏觀物理含義，參數(shù)個(gè)數(shù)較少，能較好地模擬多種常用工程材料的動(dòng)態(tài)本構(gòu)行為，能廣泛用于工程結(jié)構(gòu)或重要構(gòu)件在動(dòng)態(tài)載荷作用下的動(dòng)力學(xué)模擬分析.此外，針對(duì)鈦合金在高應(yīng)變率下表現(xiàn)出的熱粘塑性，學(xué)者們驗(yàn)證了Johnson-Cook模型能很好地?cái)M合鈦合金在低應(yīng)變率和中應(yīng)變率下的動(dòng)態(tài)拉壓行為，但卻不能方便地描述其在高應(yīng)變率下的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系[7-8].為使Johnson-Cook模型能廣泛適用于描述鈦合金在不同應(yīng)變率、不同溫度下的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，本研究在Johnson-Cook模型基本形式不變的情況下，重新定義了溫度項(xiàng)的物理意義和表達(dá)形式，得到了修正的廣義Johnson-Cook模型，可很好地解決了這一問題.但廣義Johnson-Cook模型中含有6個(gè)需要通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)擬合確定的待定參數(shù).為降低參數(shù)識(shí)別的計(jì)算工作量，提高參數(shù)識(shí)別的效率和精度，本研究在遺傳算法[9]和復(fù)形法[10]的基礎(chǔ)上，提出了一種自適應(yīng)多層復(fù)形遺傳算法，其能顯著提高參數(shù)識(shí)別的效率和精度，并以Ti-6Al-4V鈦合金為算例，描述了其在不同應(yīng)變率、溫度下的單軸流變應(yīng)力—塑性應(yīng)變曲線，數(shù)值模擬結(jié)果和已有的試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好.

1 鈦合金Johnson-Cook動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型

1.1 經(jīng)典Johnson-Cook模型

經(jīng)典Johnson-Cook模型是一種常用的經(jīng)驗(yàn)型本構(gòu)模型，其流變應(yīng)力—塑性應(yīng)變關(guān)系表達(dá)式為，

(1)

(2)

1.2 Johnson-Cook模型溫度項(xiàng)修正

(3)

式中，β為功熱轉(zhuǎn)換系數(shù)，ρ和Cp為材料密度和比熱容，k為常系數(shù).

Tt+1=Tt+(ΔT)t+1

(4)

因此，在經(jīng)典Johnson-Cook模型的基礎(chǔ)上，將溫度項(xiàng)T修正為材料的瞬時(shí)實(shí)際溫度，即考慮T為與時(shí)間t相關(guān)的量，則只需用式(4)的Tt+1代替式(1)的T，即可得到修正的廣義Johnson-Cook模型，

(5)

需要說(shuō)明的是，在低應(yīng)變率和中應(yīng)變率下，多數(shù)金屬材料的內(nèi)部溫度來(lái)不及升高就已經(jīng)擴(kuò)散，此時(shí)K≈0,修正廣義Johnson-Cook模型就退化為了經(jīng)典Johnson-Cook模型.因此，經(jīng)典Johnson-Cook模型其實(shí)是該修正廣義Johnson-Cook模型的一種特殊情況.

2 自適應(yīng)多層復(fù)形遺傳算法

2.1 多參數(shù)識(shí)別數(shù)學(xué)模型

本構(gòu)參數(shù)識(shí)別的目的是尋找一組材料參數(shù)，使計(jì)算值與試驗(yàn)值之間的綜合誤差最小，如式(6)所示，

(6)

對(duì)此，本研究將采用自適應(yīng)多層復(fù)形遺傳算法進(jìn)行本構(gòu)參數(shù)識(shí)別，使目標(biāo)函數(shù)(6)取到最小值.

2.2 自適應(yīng)多層復(fù)形遺傳算法

自適應(yīng)多層復(fù)形遺傳算法的基本步驟包括：形成初始復(fù)形，檢驗(yàn)收斂條件，找到最壞點(diǎn)，調(diào)優(yōu)搜索尋求改進(jìn)點(diǎn).如此反復(fù)進(jìn)行，使復(fù)形逐漸縮小，逼近最優(yōu)點(diǎn)，然后在最優(yōu)點(diǎn)附近用遺傳算法作局域精確搜索.其具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

1)采用隨機(jī)試驗(yàn)法投點(diǎn)，形成初始復(fù)形.

首先對(duì)可能的范圍作上、下界估計(jì)，以確定試驗(yàn)域和采用隨機(jī)試驗(yàn)法投點(diǎn).此處可能的初始投點(diǎn)范圍不必包含各參數(shù)的最優(yōu)解.

為了能有效控制隨機(jī)數(shù)精度，采用random(num)函數(shù)產(chǎn)生1到num之間的隨機(jī)整數(shù)，再取倒數(shù)則得到了0到1之間的隨機(jī)數(shù)ζ.于是，各頂點(diǎn)的變量列陣可表達(dá)為，

(7)

改進(jìn)技巧包括：其一，首先產(chǎn)生一組隨機(jī)數(shù)存放于數(shù)據(jù)文件中備用，為避免產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)，要通過(guò)比較和篩選確保產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)不出現(xiàn)重復(fù)；其二，若產(chǎn)生的某個(gè)初始點(diǎn)不滿足約束條件，則順次讀入下一個(gè)隨機(jī)數(shù)構(gòu)成新的初始點(diǎn)再進(jìn)行判斷，直到所有頂點(diǎn)全部可用為止.

2)對(duì)復(fù)形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行排序，檢驗(yàn)收斂條件.

處理技巧為：第一層復(fù)形均以迭代次數(shù)作為停機(jī)準(zhǔn)則，各個(gè)復(fù)形分別迭代5到10次則停止.但第二層復(fù)形則以式(8)作為終止迭代依據(jù).若成立則終止迭代，反之進(jìn)入“調(diào)優(yōu)搜索"步進(jìn)行再次迭代.

(8)

(9)

通過(guò)這種改進(jìn)，一方面有效減少了結(jié)構(gòu)分析次數(shù)，另一方面也找到了停止迭代的合理判據(jù)，確保終止迭代后的最好點(diǎn)接近全局最優(yōu)點(diǎn).當(dāng)?shù)谝粚訌?fù)形迭代完成后，則初始化第二層復(fù)形.這里有一個(gè)改進(jìn)技巧：傳統(tǒng)的多層復(fù)形法僅從各復(fù)形中取出最好與次好點(diǎn)組成第二層復(fù)形，但如果各復(fù)形頂點(diǎn)較多，則選點(diǎn)個(gè)數(shù)不僅僅局限于最好與次好點(diǎn).適當(dāng)增加選點(diǎn)個(gè)數(shù)可有效減少優(yōu)化分析次數(shù)，而不會(huì)對(duì)精度造成影響.

3)調(diào)優(yōu)搜索階段.

(10)

(11)

(12)

完成調(diào)優(yōu)搜索過(guò)程后，則返回第3)步再次對(duì)新復(fù)形各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)排序和檢驗(yàn)收斂條件.直到滿足收斂條件(8)時(shí)，復(fù)形迭代終止.

其中，第3)步的調(diào)優(yōu)搜索子程序流程圖如圖1所示.第1)～3)步程序設(shè)計(jì)流程圖如圖2所示.

圖1 第3)步調(diào)優(yōu)搜索子程序流程圖

4)在最優(yōu)點(diǎn)附近用遺傳算法作局域精確搜索.

(13)

式中，γi為變量xi附近的搜索鄰域.

然后對(duì)各變量在調(diào)整后的范圍內(nèi)，運(yùn)用遺傳算法[14]進(jìn)行更精密的智能進(jìn)化搜索，通過(guò)選擇、交叉和變異運(yùn)算，可獲得精度更高的最優(yōu)解.

第4)步遺傳算法局域精確搜索的子程序流程圖如圖3所示.

圖2第1)～3)步程序流程圖

圖3 第4)步遺傳算法搜索子程序流程圖

3 算例分析

本研究以Ti-6Al-4V鈦合金(熔點(diǎn)溫度Tm=1 933 K，彈性模量E=107 800 MPa)為例，采用準(zhǔn)靜態(tài)試驗(yàn)和動(dòng)態(tài)加載試驗(yàn)獲得的多種應(yīng)變率、溫度下的流變應(yīng)力—塑性應(yīng)變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)[7]，對(duì)本研究建立的修正的廣義Johnson-Cook模型及待定參數(shù)的識(shí)別方法進(jìn)行驗(yàn)證.

修正的廣義Johnson-Cook模型中Ti-6Al-4V鈦合金的各材料常數(shù)如表1所示.

表1 修正的廣義Johnson-Cook模型中Ti-6Al-4V材料常數(shù)

將表1所得的各參數(shù)值代入式(5)的本構(gòu)模型中即可得到不同應(yīng)變率、不同溫度下鈦合金的流變應(yīng)力—塑性應(yīng)變關(guān)系.在不同低應(yīng)變率、不同溫度下， Ti-6Al-4V鈦合金的流變應(yīng)力—塑性應(yīng)變的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果比較如圖4所示；在不同高應(yīng)變率、不同溫度下，Ti-6Al-4V鈦合金的流變應(yīng)力—塑性應(yīng)變的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果比較如圖5所示.

圖4不同低應(yīng)變率、不同溫度下Ti-6al-4V的應(yīng)力—應(yīng)變曲線的試驗(yàn)和計(jì)算比較

圖5 不同高應(yīng)變率、不同溫度下Ti-6al-4V的應(yīng)力—應(yīng)變曲線的試驗(yàn)和計(jì)算比較

由圖4和圖5可知，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好.此驗(yàn)證了本文提出的修正廣義Johnson-Cook模型與自適應(yīng)多層復(fù)形遺傳算法的可靠性.

需說(shuō)明的是，表1中擬合得到的6個(gè)Ti-6Al-4V材料常數(shù)是運(yùn)用圖5中5組不同的高應(yīng)變率、不同溫度下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得的，再將求出的待定參數(shù)代入修正廣義Johnson-Cook模型中，進(jìn)而可獲得6組不同低應(yīng)變率、不同溫度下的擬合曲線.由圖4可知，這些擬合曲線與不同低應(yīng)變率、不同溫度下的試驗(yàn)值吻合仍較好.此表明該修正廣義Johnson-Cook模型對(duì)Ti-6Al-4V材料的本構(gòu)關(guān)系具有較好的預(yù)測(cè)性.

4 結(jié) 論

鈦合金是應(yīng)變率敏感材料，在中應(yīng)變率及以下的加載條件下，在相同的溫度下，應(yīng)變率越高，給定應(yīng)變下的流變應(yīng)力也越高.在高應(yīng)變率下，鈦合金表現(xiàn)出熱粘塑性，由于加載速度很快，鈦合金內(nèi)部溫度迅速升高且來(lái)不及擴(kuò)散，將降低應(yīng)變、應(yīng)變率的強(qiáng)化作用，使流變應(yīng)力呈下降趨勢(shì).本研究提出的修正的廣義Johnson-Cook模型能較好地?cái)M合鈦合金在不同應(yīng)變率(低應(yīng)變率、中應(yīng)變率、高應(yīng)變率)、不同溫度(常溫、高溫)下的本構(gòu)關(guān)系.本研究提出的自適應(yīng)多層復(fù)形遺傳算法有效克服了復(fù)形法、遺傳算法存在的無(wú)法同時(shí)滿足精度、可靠性和計(jì)算時(shí)間3方面的要求，且方法無(wú)需預(yù)先估計(jì)各待定參數(shù)最優(yōu)解所在的取值范圍，顯著提高了對(duì)最優(yōu)解的全局搜索能力，能快速、精確、可靠地實(shí)現(xiàn)優(yōu)化問題的求解.此外，本研究提出的確定材料本構(gòu)關(guān)系材料常數(shù)的自適應(yīng)多層復(fù)形遺傳算法對(duì)其他工程材料高精度本構(gòu)關(guān)系的建立具有重要參考價(jià)值.