盧曰海，丘東元，張 波，陳艷峰

（華南理工大學(xué)電力學(xué)院，廣州510640）

研究發(fā)現(xiàn)自然界中許多物理現(xiàn)象的本質(zhì)都具有分?jǐn)?shù)階的特性[1-3]，如電感是電氣工程領(lǐng)域中一個(gè)重要的電路元件，在以往的研究中通常被看作整數(shù)階元件，然而整數(shù)階電感并不存在，用分?jǐn)?shù)階模型來(lái)描述電感更為準(zhǔn)確[4]。

分?jǐn)?shù)階電感的構(gòu)造一直是學(xué)者們關(guān)心的問(wèn)題，文獻(xiàn)[5]提出了以磁流變流體為磁芯的類似于變壓器的分?jǐn)?shù)階電感模型，但是這種模型構(gòu)造復(fù)雜，不利于推廣。目前分?jǐn)?shù)階電感的電路實(shí)現(xiàn)方法主要還是基于電阻、電感和運(yùn)放等器件，常見(jiàn)的有采用RL鏈分抗[6-8]和跨導(dǎo)運(yùn)算放大器[9]實(shí)現(xiàn)0 ～1階的分?jǐn)?shù)階電感，基于廣義阻抗轉(zhuǎn)換GIC（general impedance converter）[10]電路實(shí)現(xiàn)1 ～2階的分?jǐn)?shù)階電感。但是這些電路普遍具有如下缺點(diǎn)：①使用的器件較多，整個(gè)電路結(jié)構(gòu)復(fù)雜；②當(dāng)需要改變分?jǐn)?shù)階電感的感值或階數(shù)時(shí)，整個(gè)電路的元件都要更換；③因采用了運(yùn)算放大器等模擬器件，電路模型僅限于小功率場(chǎng)合的應(yīng)用。

針對(duì)現(xiàn)有分?jǐn)?shù)階電感等效電路存在的缺點(diǎn)，本文提出了一種階數(shù)和感值可調(diào)的大功率分?jǐn)?shù)階電感等效電路。首先介紹了分?jǐn)?shù)階電感的一些基本性質(zhì)，然后闡述了大功率分?jǐn)?shù)階電感的構(gòu)造原理，接著通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該模型的可行性，最后將本文提出的大功率分?jǐn)?shù)階電感運(yùn)用到RLβC并聯(lián)諧振電路中。

1 分?jǐn)?shù)階電感性質(zhì)

將傳統(tǒng)電感元件的電壓、電流整數(shù)階關(guān)系拓展到分?jǐn)?shù)階，可以得到分?jǐn)?shù)階電感元件的電壓電流關(guān)系[11]，即

式中：β為分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)；θ為分?jǐn)?shù)階電感的電壓和電流的相位差，θ=βπ/2。

類似地，可以獲得分?jǐn)?shù)階電容的電壓電流關(guān)系式[11]，即

式中：α為分?jǐn)?shù)階電容的階數(shù)；φ為分?jǐn)?shù)階電容的電壓和電流的相位差，φ=απ/2。

分?jǐn)?shù)階電容和分?jǐn)?shù)階電感被統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)階電抗元件。根據(jù)元件的電壓電流關(guān)系，傳統(tǒng)的整數(shù)階電路元件（如電阻、電容和電感）和分?jǐn)?shù)階電抗元件的阻抗向量如圖1所示。從圖1可見(jiàn)，分?jǐn)?shù)階電感的特性則是介于電阻和傳統(tǒng)的整數(shù)階電感之間，而分?jǐn)?shù)階電容的特性是介于電阻和傳統(tǒng)的整數(shù)階電容之間。此外，分?jǐn)?shù)階電抗元件的電壓電流相位差只和其階數(shù)有關(guān)，改變分?jǐn)?shù)階電抗的階數(shù)可以使其電壓電流的相位差在（0～2π）整個(gè)相平面內(nèi)變化[6]。整數(shù)階電感和電容則可以看作是分?jǐn)?shù)階電抗元件的一個(gè)特例。

由式（1）可得分?jǐn)?shù)階電感的阻抗為

式中：ω為分?jǐn)?shù)階電感端電壓或端電流的角頻率；Lβ為分?jǐn)?shù)階電感；β為分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)，0＜β＜2。當(dāng)β=1時(shí)，分?jǐn)?shù)階電感為理想的整數(shù)階電感。

圖1 整數(shù)階電路元件和分?jǐn)?shù)階電抗元件的阻抗向量Fig.1 Impedance phasor diagram of integral-order circuit elements and fractional-order impedance elements

根據(jù)式（3），總結(jié)出分?jǐn)?shù)階電感的性質(zhì)如下：

（1）分?jǐn)?shù)階電感的端電流和端電壓呈β階積分關(guān)系；

（2）分?jǐn)?shù)階電感的阻抗不再像傳統(tǒng)整數(shù)階電感那樣只含有感性成分，而且還包含阻性成分。當(dāng)分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù) β＜1 時(shí)，其阻性成分，呈正阻性，此時(shí)分?jǐn)?shù)階電感為有損元件；當(dāng)β>1時(shí)，其阻性成分，呈負(fù)阻性，此時(shí)分?jǐn)?shù)階電感為有源元件；

（3）分?jǐn)?shù)階電感的相角（θ=βπ/2）不隨頻率改變，只和分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)相關(guān)，故分?jǐn)?shù)階電感也被稱為常相位器件[13]。

2 大功率分?jǐn)?shù)階電感的電路模型

本文構(gòu)造的大功率分?jǐn)?shù)階電感電路原理如圖2所示，其中A、B為分?jǐn)?shù)階電感元件的兩個(gè)端口，采用數(shù)字信號(hào)控制器控制的逆變器為受控電壓源；UDC為直流電壓源，Lf為濾波電感，Cf為濾波電容，ui（t）為逆變器的輸出電壓，uL(t)為分?jǐn)?shù)階電感等效電路兩端的電壓（又稱為輸入電壓），iL(t)為流過(guò)分?jǐn)?shù)階電感等效電路的電流（又稱為輸入電流），R為與受控電壓源串聯(lián)的電阻，uM（t）為數(shù)字信號(hào)控制器輸出的調(diào)制信號(hào)，Ka為感值調(diào)節(jié)系數(shù)，β為分?jǐn)?shù)階元件的階數(shù)。大功率分?jǐn)?shù)階電感等效電路的構(gòu)造思路如下：電壓采樣器采樣輸入電壓，控制器根據(jù)所采集到的電壓，并結(jié)合所設(shè)定的分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)和感值要求，產(chǎn)生相應(yīng)的控制信號(hào)，控制逆變器中開(kāi)關(guān)管的開(kāi)通和關(guān)斷，從而控制逆變器的輸出電壓，最后使得整個(gè)電路的輸入電壓和輸入電流呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)階電感電壓和電流的特性。

大功率分?jǐn)?shù)階電感電路具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：根據(jù)分?jǐn)?shù)階電感的電壓和電流關(guān)系，在s域中輸入電壓和電流需滿足

式中，UL（s）和 IL（s）分別為電壓 uL（t）和電流 iL（t）的拉氏變換形式。

若分?jǐn)?shù)階電感等效電路的輸入電壓uL（t）和逆變器的輸出電壓ui（t）已知，由圖2可得輸入電流的表達(dá)式為

式中：R為與受控電壓源串聯(lián)的電阻；Ui（s）為電壓ui（t）的拉氏變換形式。

結(jié)合式（4）和式（5），可得逆變器的輸出電壓為

由于逆變器輸出電壓ui（t）和數(shù)字信號(hào)控制器輸出的調(diào)制信號(hào)uM（t）同相位，幅值成比例，可得數(shù)字信號(hào)控制器的輸出為

式中：UM（s）為電壓 uM（t）的拉氏變換形式，kpwm為數(shù)字控制信號(hào)器電壓采樣系數(shù)的倒數(shù)。

圖2 大功率分?jǐn)?shù)階電感電路原理Fig.2 Schematic of circuit for high-power fractional inductor

令 1/kpwm=KS為電壓采樣系數(shù)，R/Lβ=Ka，則進(jìn)一步得到數(shù)字信號(hào)控制器的輸出為

結(jié)合式（4）～式（7），可得分?jǐn)?shù)階電感電流為

假設(shè)輸入電壓為 uL（t）=ULsin（ωt），對(duì)應(yīng)的 β階積分運(yùn)算結(jié)果[15,16]為

結(jié)合式（9）和式（10），此時(shí)分?jǐn)?shù)階電感電流為

綜合式（8）、式（10）和式（11），可得數(shù)字信號(hào)控制器的輸出為

將式（12）展開(kāi)，此時(shí)數(shù)字信號(hào)控制器的輸出為

式中：uS（t）為采樣電壓，uS（t）=KSULsin（ωt）；K1=sin（πβ/2）；K2=cos（πβ/2）；K3=ω－β；Kd=1/ω。

若把調(diào)制信號(hào) uM（t）的幅值控制在（0，1）范圍內(nèi)，根據(jù)式（13），可得到Ka的取值范圍為

式中，n=1/（KSUL）2。

從上述推導(dǎo)結(jié)果可見(jiàn)，根據(jù)設(shè)定的階數(shù)β，改變控制參數(shù)K1、K2和K3，可以實(shí)現(xiàn)不同階數(shù)的分?jǐn)?shù)階電感構(gòu)造。而改變Ka則可以實(shí)現(xiàn)不同感值的分?jǐn)?shù)階電感構(gòu)造。因此，此模型可以很方便地構(gòu)造出不同參數(shù)的分?jǐn)?shù)階電感，分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)和感值調(diào)節(jié)非常靈活。

結(jié)合式（11）可得分?jǐn)?shù)階電感的有功功率為

可見(jiàn)，分?jǐn)?shù)階電感的功率與分?jǐn)?shù)階電感的感值、階數(shù)以及輸入電壓緊密相關(guān)。采用不同的參數(shù)，分?jǐn)?shù)階電感的功率將不同。此外，從圖2可知，分?jǐn)?shù)階電感的等效電路主要由逆變器和串聯(lián)電阻R組成，而逆變器的類型以及所用的元器件可以根據(jù)應(yīng)用場(chǎng)合的電壓、電流或功率來(lái)確定。因此，本文所提出的分?jǐn)?shù)階電感電路實(shí)現(xiàn)方法可適用于各種不同的功率等級(jí)場(chǎng)合。

3 模型驗(yàn)證

根據(jù)上述分析，本文在仿真軟件PSIM中搭建的大功率分?jǐn)?shù)階電感等效電路模型，如圖3所示。其中，uS為采樣電壓，KS為采樣系數(shù)。

采用4組不同的參數(shù)來(lái)驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的大功率分?jǐn)?shù)階電感電路模型。其中：直流電源電壓UDC=100 V，串聯(lián)電阻R=100 Ω，三角載波幅值Utri=1 V，濾波電感Lf=1.5 mH，其他的參數(shù)如表1所示。根據(jù)式（11），理論上分?jǐn)?shù)階電感電流滯后電壓的角度為θ=πβ/2，分?jǐn)?shù)階電感為 Lβ=R/Ka，根據(jù)式（15）算得 4組參數(shù)下的功率P。從表1可以看出，當(dāng)分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)小于1時(shí)，分?jǐn)?shù)階電感為有損元件；當(dāng)階數(shù)大于1時(shí)，分?jǐn)?shù)階電感為有源元件。

表1中4組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階電感電壓、電流仿真波形如圖4所示。其中Δt為分?jǐn)?shù)階電感電壓峰值和電流峰值的時(shí)間差，UL為分?jǐn)?shù)階電感電壓的有效值，IL為分?jǐn)?shù)階電感電流的有效值。根據(jù)仿真結(jié)果，相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階電感電流滯后電壓的角度θs和分?jǐn)?shù)階電感Lβs的計(jì)算方法為

圖3 大功率分?jǐn)?shù)階電感等效電路模型Fig.3 Equivalent circuit model of high-power fractional inductor

表1 大功率分?jǐn)?shù)階電感電路的參數(shù)Tab.1 Circuit parameters of high-power fractional inductor

圖4 分?jǐn)?shù)階電感模型的電壓、電流仿真波形Fig.4 Simulation waveforms of voltage and current of fractional inductor model

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該模型的正確性，本文搭建了大功率分?jǐn)?shù)階電感實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，如圖5所示。其中，控制信號(hào)由DSP TMS320F28335產(chǎn)生，逆變器的開(kāi)關(guān)管選用MOSFET IRF830，開(kāi)關(guān)管對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)選用光耦隔離芯片TLP250，其他實(shí)驗(yàn)參數(shù)與仿真參數(shù)相同?？梢缘玫奖?中4組參數(shù)的電壓、電流實(shí)驗(yàn)波形如圖6所示。根據(jù)圖6中的實(shí)驗(yàn)波形，可以得到電壓和電流的相位差θe以及電壓、電流的有效值，并結(jié)合式（17）可得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階電感Lβe。

表2列出了4組不同分?jǐn)?shù)階電感參數(shù)所對(duì)應(yīng)的相位差和感值的理論結(jié)果、仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從表2中可以看出理論計(jì)算、仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都基本一致，從而驗(yàn)證了該模型的正確性。

圖5 大功率分?jǐn)?shù)階電感實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.5 Experimental platform of high-power fractional inductor

圖6 分?jǐn)?shù)階電感的電壓、電流實(shí)驗(yàn)波形Fig.6 Experimental waveforms of voltage and current of fractional inductor

表2 分?jǐn)?shù)階電感模型的理論計(jì)算、仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.2 Calculation,simulation and experiment results of fractional inductor model

4 大功率分?jǐn)?shù)階電感在RLβC并聯(lián)諧振的應(yīng)用

傳統(tǒng)RLC并聯(lián)電路的諧振頻率僅和電感L、電容C相關(guān)，若將分?jǐn)?shù)階電感替換傳統(tǒng)的電感L，得到分?jǐn)?shù)階RLβC并聯(lián)諧振電路如圖7所示。

由圖7可得分?jǐn)?shù)階RLβC并聯(lián)電路的導(dǎo)納為

圖7 分?jǐn)?shù)階RLβC并聯(lián)諧振電路Fig.7 Fractional RLβC parallel resonant circuit

當(dāng)導(dǎo)納的虛部為0時(shí)，可得分?jǐn)?shù)階并聯(lián)電路的諧振頻率為

由式（19）可知分?jǐn)?shù)階并聯(lián)諧振頻率不僅和分?jǐn)?shù)階電感、電容有關(guān)，而且還與分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)有關(guān)，故分?jǐn)?shù)階電感的引入會(huì)增加整個(gè)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)自由度。

將構(gòu)造的大功率分?jǐn)?shù)階電感運(yùn)用到RLβC并聯(lián)諧振電路中。設(shè)分?jǐn)?shù)階電感模型中UDC=100 V，R=100 Ω，Utri=1 V，Lf=1.5 mH，Cf=6.8 μF，并聯(lián)電阻 Rp=100 Ω，C=4.5 μF，諧振頻率為 ω=200π rad/s。

由式（19）可得滿足RLβC并聯(lián)諧振條件下分?jǐn)?shù)階電感和階數(shù)的關(guān)系，如圖8所示。已知階數(shù)β>1時(shí)，分?jǐn)?shù)階電感為有源元件，故在設(shè)計(jì)時(shí)可令分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)β>1。從圖8中可知，當(dāng)β>1時(shí)，隨著階數(shù)的增加，實(shí)現(xiàn)并聯(lián)諧振所需要的感值減小。

圖8 RLβC并聯(lián)諧振下分?jǐn)?shù)階電感和階數(shù)關(guān)系曲線Fig.8 Curve of inductance vs order of fractional inductor under RLβC parallel resonance

當(dāng)分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)為β=1.4，由式（19）可得分?jǐn)?shù)階電感為L(zhǎng)β=34.6 mH；當(dāng)分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)為β=1.5，則相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階電感為L(zhǎng)β=15.8 mH。若輸入電壓uin=50 sin（200πt），可以得到不同階數(shù) β下并聯(lián)諧振電路的輸入電壓、輸入電流和分?jǐn)?shù)階電感電流的仿真與實(shí)驗(yàn)波形，如圖9所示。從圖9中可知，2組參數(shù)下輸入電壓和輸入電流均同相位，意味著整個(gè)RLβC并聯(lián)電路處于諧振狀態(tài)，各電量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果基本一致，從而驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階電感的引入可增加整個(gè)RLβC并聯(lián)諧振電路的設(shè)計(jì)自由度以及該大功率分?jǐn)?shù)階電感運(yùn)用在諧振電路的可行性。

圖9 RLβC并聯(lián)諧振電路的仿真和實(shí)驗(yàn)波形Fig.9 Simulation and experimental waveforms of RLβC parallel resonant circuit

5 結(jié)論

針對(duì)現(xiàn)有的分?jǐn)?shù)階電感等效電路存在的缺點(diǎn)，本文提出了一種大功率分?jǐn)?shù)階電感等效電路，并通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該模型的正確性。所構(gòu)造的大功率分?jǐn)?shù)階電感具有以下特點(diǎn)：

（1）大功率分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)調(diào)節(jié)范圍為0 ～2；

（2）改變數(shù)字控制器的參數(shù)可實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階電感階數(shù)和感值的靈活調(diào)節(jié)；

（3）該等效電路的功率等級(jí)可視實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合而定，為分?jǐn)?shù)階電感在大功率場(chǎng)合提供了參考。

本文將構(gòu)造的大功率分?jǐn)?shù)階電感成功地應(yīng)用到并聯(lián)諧振電路中，進(jìn)一步說(shuō)明了所提大功率分?jǐn)?shù)階電感電路模型的可行性。