(石河子大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆石河子市 832001)
函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)中一部分重要的內(nèi)容。若當(dāng)自變量x→a(a 為常數(shù)或∞)時,兩個函數(shù)f(x),g(x)都趨于零或者無窮,這時極限可能存在,也可能不存在,這時稱這種極限為未定式極限,并分別記為或。 我們通常會使用洛必達法則去解決這一類極限。類似地,在解決0·∞、∞?∞、00、1∞、∞0這些類型的未定式極限時,也可先將其轉(zhuǎn)化成或型未定式,再求其極限.當(dāng)然,在使用洛必達法則求此類極限時有一定的使用條件,并且洛必達法則并不是解決上述類型的極限的最簡便的方法。本文論述了運用洛必達法則解決型未定式極限時遇見的若干問題,并且簡述了復(fù)變函數(shù)中解析函數(shù)求極限時洛必達法則的使用條件。[1]
1.洛必達法則
定理1(柯西(Cauchy)中值定理):函數(shù)f(x),g(x)滿足:①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);③對任意x∈(a,b)且g'(x)≠0,則至少有一點ξ∈(a,b)[2]
定理2(洛必達法則):函數(shù)f(x),g(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義,滿足:[3]
①當(dāng)x→a 時,函數(shù)f(x),g(x)都趨于零;
②在x0的該鄰域內(nèi),其導(dǎo)數(shù)f'(x),g'(x)都存在且g'(x)≠0;
證明:洛必達法則成立時,我們補充定義f(x0)=g(x0)=0,這樣就使得f 與g 在x0點處連續(xù)。任取x∈U0(x0),在區(qū)間[x0,x](或[x, x0])上,滿足柯西中值定理條件,
3.有些未定式直接使用洛必達法則求極限會比較麻煩,可以綜合求極限的其他方法,如等價無窮小代換、重要極限、極限運算法則等盡可能地先簡化算式。
解:原式若直接用洛必達法則解此題比較麻煩,可先利用等價無窮小簡化,再求解。
4.洛必達法則仍可以解決復(fù)函數(shù)極限問題
定理3:若f(z)及g(z)在z0解析,
實際上,若函數(shù)在z0點處解析,有該函數(shù)在z0的領(lǐng)域內(nèi)處處可導(dǎo),
即:
下面從冪級數(shù)角度來證明.證明:由函數(shù)f(z)及g(z)均在z0點解析,則在z0點的某個領(lǐng)域內(nèi),函數(shù)f(z)及g(z)可展為:
即
證畢
1.在使用洛必達法則求未定式極限問題時,因當(dāng)注意洛必達法則的使用條件,結(jié)合具體題型,選擇合適的方法。