葉芳琴 劉文倩 林先偉

摘要假設(shè)預(yù)期收益率μ，紅利率q，波動(dòng)率σ，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r均為常數(shù)，通過(guò)平均自融資和Δ-對(duì)沖策略建立了離散時(shí)間下帶交易費(fèi)用和紅利的兩值期權(quán)定價(jià)模型.利用變量代換和偏微分方程的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解此模型，分別得到了在MFBM模型下帶交易費(fèi)用和紅利的現(xiàn)金或無(wú)值看漲期權(quán)（CONC） 和資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)（AONC）定價(jià)公式.并在此基礎(chǔ)上，推出了現(xiàn)金或無(wú)值看跌期權(quán)（CONP）和資產(chǎn)或無(wú)值看跌期權(quán)（AONP）定價(jià)公式.

關(guān)鍵詞金融學(xué)；兩值期權(quán)定價(jià)；MFBM模型；交易成本

中圖分類號(hào)F 830；O 211文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

Pricing Binary Option with Transaction Costs

and Dividends under the MFBM Model

Fangqin Yea，Wenqian Liub，Xianwei Linb

（a School of Business， b Department of Mathematics，

Shantou University， Shantou，Guangdong515063， China）

AbstractSupposing the dividends rate q， the expected return rate μ， and the volatility σ， the riskfree interest rate r are constant； the Binary option pricing model with transaction costs and dividends is established by a mean selffinancing delta-hedging strategy in a discrete time setting. Solving this pricing model by using variable substitution and partial differential equations， and then the pricing formula for CONC and AONC has been obtained. On the basis of it， the pricing formula for cashornothing put （CONP） and assetornothing put （AONP） is also obtained.

Key wordsfinance； binary option pricing； MFBM model； transaction costs

1引言

期權(quán)定價(jià)的研究在金融工程領(lǐng)域是一個(gè)重要的問(wèn)題.自從Black和Scholes（1973）[1]提出了著名的 BS模型以來(lái)，相關(guān)學(xué)者在此基礎(chǔ)上得到了一系列豐富的成果.然而經(jīng)典的 BlackScholes模型過(guò)于理想化，與實(shí)際的金融市場(chǎng)存在很大程度的差距. Cheridito（2001）[2]建議用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)去刻畫(huà)金融資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)情況，并且證明了當(dāng)Hurst指數(shù)H∈（3/4，1）的情況下，金融市場(chǎng)是不存在套利機(jī)會(huì)的.Yu和Yan（2008）[3]在混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下討論了歐式看漲期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.Sun（2013）[4]得到了在混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下貨幣期權(quán)的定價(jià)公式，并對(duì)相關(guān)參數(shù)和Hurst指數(shù)做了一定的討論.交易費(fèi)用對(duì)于期權(quán)的定價(jià)是一個(gè)很重要的影響因素，國(guó)內(nèi)外相關(guān)的學(xué)者做了一系列的研究.Leland（1985）[5]創(chuàng)造性的提出了將波動(dòng)率進(jìn)行修正，解決了在 BS模型下含有交易費(fèi)用的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.Amster（2005）等[6]具體的給出了帶交易費(fèi)用的 BS定價(jià)模型.Liu等人（2013）[7]拓展了在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下帶交易費(fèi)用的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，提供了一個(gè)非線性HoggardWhalleyWilmott方程的近似解.Wang（2010）[8]通過(guò)平均自融資和Δ對(duì)沖策略解決了在分?jǐn)?shù) BS模型下帶交易費(fèi)用的離散時(shí)間期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.Zhang和Pan（2014）[9]給出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下帶交易費(fèi)用和紅利的亞式期權(quán)定價(jià)公式.陳飛躍等人（2014）[10]給出了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下支付連續(xù)紅利的歐式股票期權(quán)定價(jià)公式.

兩值期權(quán)（binary option）是一種新型的，由標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)衍生出的一種金融合約，它屬于合同條款變化型的新型期權(quán).它在OTC市場(chǎng)頗為流行，是構(gòu)造更為復(fù)雜期權(quán)產(chǎn)品的基礎(chǔ)工具.Thavaneswaran 等（2013）[11]用模糊理論研究了兩值期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.孫天宇（2008）[12]考慮了在標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下有交易費(fèi)用和支付紅利的情況下兩值期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.然而，在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程未必服從標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng).

在上述研究的基礎(chǔ)上， 將標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)下帶交易費(fèi)用和紅利的兩值期權(quán)定價(jià)問(wèn)題推廣到Hurst指數(shù)為H∈（3/4，1）的混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)更一般的情況.假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)服從混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，預(yù)期收益率μ，紅利率q，波動(dòng)率σ，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r均為常數(shù)，通過(guò)平均自融資和Δ對(duì)沖策略建立了離散時(shí)間下帶交易費(fèi)用和紅利的兩值期權(quán)定價(jià)模型.利用變量代換和偏微分方程的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解此模型，分別得到了在MFBM模型下帶交易費(fèi)用和紅利的現(xiàn)金或無(wú)值看漲期權(quán)（CONC） 和資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)（AONC）定價(jià)公式.并在此基礎(chǔ)上，推出了現(xiàn)金或無(wú)值看跌期權(quán)（CONP）和資產(chǎn)或無(wú)值看跌期權(quán)（AONP）定價(jià)公式.

2兩值期權(quán)定價(jià)模型

兩值期權(quán)（binary option）是合同條款變化而產(chǎn)生的新型期權(quán)，具有不連續(xù)收益的特點(diǎn)[14]. 一般分為兩種類型：

（1） 現(xiàn)金或無(wú)值看漲期權(quán)（cashornothing call）（簡(jiǎn)寫(xiě)為CONC）： 在到期日，若股票價(jià)格低于執(zhí)行價(jià)格，則期權(quán)價(jià)值為零；若大于執(zhí)行價(jià)格，則按規(guī)定支付現(xiàn)金1元.

（2） 資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)（assetornothing call）（簡(jiǎn)寫(xiě)為AONC）： 在到期日， 若股票價(jià)格低于執(zhí)行價(jià)格， 則期權(quán)價(jià)值為零； 若大于執(zhí)行價(jià)格， 則按規(guī)定支付股價(jià).

定義1[4]假設(shè)（Ω，F(xiàn)，P） 是一個(gè)完備的概率空間，混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)MHt（α，β） 是布朗運(yùn)動(dòng)Bt和混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)BHt的一個(gè)線性組合，即

MHt（α，β）=αBt+βBHt，

其中α和β都是不為0的常數(shù).混和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)有如下性質(zhì)：

（a） MHt（α，β）是一個(gè)中心的高斯過(guò)程， 且MH0（α，β）=0；

（b） MSt和MHt的協(xié)方差函數(shù)為

Cov（MHt，MSt）=α2min （t，S）+β22（t2H+S2H-t-S2H）；

（c）MHt（α，β）是一個(gè)平穩(wěn)增量的過(guò)程， 且對(duì)任意H>0是混合自相似的；

（d） 當(dāng)0

當(dāng)0.5

引理1[10]假設(shè)BHt是一個(gè)帶有Hurst指數(shù)H∈（0，1）的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，那么，對(duì)任意A>0，有

lim h→0sup 0

SymbolcB@ t

SymbolcB@ A-hBH（t+h）-BHthH2log （h/A）-1=1.a.s

現(xiàn)設(shè)（Ω，F(xiàn)，F(xiàn)t，P） 是一個(gè)σ流的完備的概率空間. （Ft）t∈0，T是由（Bt，BHt）生成的σ流， P表示真實(shí)世界概率測(cè)度.為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們?cè)O(shè)α=β=1.考慮混合分?jǐn)?shù)BlackScholes 市場(chǎng)有兩種資產(chǎn)，設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券價(jià)格Mt滿足：

Mt=M0ert，

其中r表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率. 標(biāo)的資產(chǎn)（假設(shè)為股票）價(jià)格St滿足：

St=S0e（μ-q）t+σBt+σBHt，（1）

這里μ，q，σ分別表示預(yù)期收益率，紅利率，波動(dòng)率，它們都是常數(shù)，Bt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，

BHt=BHt，t≥0是一個(gè)帶有Hurst指數(shù)H∈（0.75，1）的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)， Bt和BHt是相互獨(dú)立的.

考慮標(biāo)的資產(chǎn)需要支付紅利，紅利率為q，到期日為時(shí)間T，敲定價(jià)格為K，作以下假設(shè)：

（i） 假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)（股票）價(jià)格St在時(shí)刻t滿足（1）；

（ii） 對(duì)沖組合的預(yù)期收益率等于期權(quán)的預(yù)期收益率；

（iii） 每隔時(shí)間δt對(duì)投資組合進(jìn)行一次修正，其中δt是有限的，固定的，小的時(shí)間間隔；

（iv） 有成比例交易成本，設(shè)k表示每單位標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的雙向交易成本.假設(shè)以價(jià)格St買入（νt>0）或賣出（νt<0）vt份標(biāo)的資產(chǎn)，那么買入或賣出的交易成本為k2νtSt，其中k為常數(shù)；

（v） 投資者之間不相互獨(dú)立，他們之間可能存在羊群行為.

令V=V（St，t）表CONC（或AONC）在時(shí)刻t的價(jià)格，其邊界條件為V=V（ST，T）=（ST-K）+.現(xiàn)在考慮一個(gè)帶有Δ1（t）單位標(biāo)的資產(chǎn)和Δ2（t）單位無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券的投資組合.在時(shí)刻t投資組合Πt的值為：Πt=Δ1（t）St+Δ2（t）Mt 隨后考慮在經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔δt之后，股票價(jià)格St和投資組合Πt值的變化.由文獻(xiàn)[8]，很容易推出在經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔δt之后，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St變化的值為

δSt=（μ-q）Stδt+σSt[δBt+δBHt]+

St2σ2[δBt+δBHt]2+o（（δt）32log 1δt）. （2）

因此，

（δSt）2=σ2S2t（δBt+δBHt）2+

o（（δt）32log 1δt）.（3）

在經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔δt之后，投資組合Πt值的變化如下：

δΠt=Δ1（t）δSt+Δ2（t）δMt-

k2δΔ1（t）St-qΔ1（t）Stδt.（4）

這里δMt是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券價(jià)格的變化，δΔ1（t）是資產(chǎn)組合中所持資產(chǎn)的數(shù)量的變化.

另一方面，由Taylor定理和引理1可知，

δMt=rMtδt+o（（δt）2）， （5）

δv（t，St）=V（t，St）tδt+V（t，St）StδSt+

122V（t，St）S2t（δSt）2+o（（δt32）log1δt）

（6）

和

δΔ1（t，St）=Δ1（t，St）tδt+Δ1（t，St）StδSt+

122Δ1（t，St）S2t（δSt）2+o（（δt32）log1δt）.（7）

由式（2），式（3）和式（7）可得

δΔ1（t）=St|Δ1（t）Stδt||σδBt+

σδBHt|+o（δt）.（8）

由式（4），式（5）和式（8）可得

δΠt=Δ1（t）δSt+rΔ2（t）Mtδt-

k2S2tΔ1（t）StδtσδBt+

σδBHt-qΔ1（t）Stδt+o（δt）. （9）

用投資組合Πt復(fù)制V=V（St，t），為減少套利機(jī)會(huì)且與經(jīng)濟(jì)均衡一致，期權(quán)的價(jià)值必須等于復(fù)制組合的值Πt，因此

V（t，St）=Δ1（t）St+Δ2（t）Mt

由假設(shè)（ii）和（v），式（6）和式（9），得到

E[δΠt-δV]=E[（Vt-rΔ2（t）Mt+

qΔ1（t）St）δt+（VSt-Δ1（t））δSt+

122VS2t（δSt）2+k2S2t|σδBt+σδBHt‖2VS2t|+

o（δt）]=（Vt-rΔ2（t）Mt+qΔ1（t）St）δt+

122VS2tE（δSt）2+k2S2tE[|σδBt+

σδBHt‖2VS2t|+o（δt）]=0.

取Δ1（t）=VSt，忽略高階項(xiàng)可得

Vt+（r-q）StVSt+S2t2（σ2+σ2（δt）2H-1）2VS2t+k2S2t2π（σ2δt+σ2（δt）2H-2）|2VS2t|-rV=0.（10）

令Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2），則有

Vt+（r-q）StVSt+S2t2（σ2+σ2（δt）2H-1）2VS2t+σ22S2t|2VS2t|Le（H）-rV=0.（11）

將式（11）重寫(xiě)如下：

Vt+122S2t2VS2t+（r-q）StVSt-rV=0，（12）

其中

2=[σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H）sign（Γ）]. （13）

注1Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2）稱為混合分?jǐn)?shù)Leland數(shù).

注2 對(duì)于做空的單個(gè)歐式兩值期權(quán)，也可以得到式（12），若修正波動(dòng)率如下

2=[σ2+σ2（δt）2H-1-σ2Le（H）sign（Γ）].（14）

注3 對(duì)于做多的單個(gè)歐式兩值期權(quán)，到期日的收益為（ST-K）+或 （K-ST）+. 由于它們是凸函數(shù)，所以Γ>0.然而，對(duì)于做空的單個(gè)歐式兩值期權(quán)，到期日的收益為-（ST-K）+和-（K-ST）+.它們是凹函數(shù)，所以Γ=2VS2t<0 ，因此，對(duì)于單個(gè)的歐式兩值期權(quán)，式（13）和式（14）能夠做如下表示：

2=[σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H）].

（15）

從而得到MFBM模型下帶交易費(fèi)用和紅利的兩值期權(quán)定價(jià)模型如下：

Vt+122S2t2VS2t+（r-q）StVSt-rV=0，

Vt=T=H*（St-K）CONC；

StH*（St-K）AONC.（16）

這里H（ξ）是Heviside函數(shù)，如果ξ≥0，那么H（ξ）=1.否則，H（ξ）=0.

3兩值期權(quán)定價(jià)公式

3.1現(xiàn)金或無(wú)值看漲期權(quán)

定理 1若假設(shè)（i）-（v）成立， 則在時(shí)刻t 現(xiàn)金或無(wú)值看漲期權(quán)的定價(jià)公式為：

VAC（St，t）=N（ln StK+（r-q-122）（T-t）2（T-t））exp -r（T-t）.

這里，2=σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H），Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2）.

證明：由方程組（16）可以得到現(xiàn)金或無(wú)值看漲期權(quán)定價(jià)模型如下：

Vt+122S2t2VS2t+（r-q）StVSt-rV=0，Vt=T=H*（St-K）. （17）

令ξ=ln （StK），有

H*（ST-K）=H*（STK-1）=H*（eξ-1）=H*（ξ）.

因此，轉(zhuǎn)化為Cauchy問(wèn)題

Vt+1222Vξ2+（r-q-122）Vξ-rV=0，V（ξ，T）=H*（ξ）. （18）

為求解Cauchy問(wèn)題，作函數(shù)變換W=Veβ（t），η=ξ+α（t），τ=γ（t）， 可得

Vξ=e-β（t）Wη

2Vξ2=e-β（t）2Wη2（19）

Vt=e-β（t）（Wτγ′（t）-β′（t）W+Wηα′（t））.

將式（19）代入方程組（18），得到

γ′（t）Wτ+1222Wη2+

（r-q-122）+α'（t）Wη-（r+β′（t））W=0（20）

在方程（20）中令r-q-122t+α′（t）=0，r+β′（t）=0，γ′（t）+122t=0.結(jié)合終值條件α（T）=β（T）=γ（T）=0，可得α（t）=（r-q-122）（T-t），β（t）=r（T-t），γ（t）=12σ2（T-t）.

因此，方程組（18） 轉(zhuǎn)化為如下行形式：

Wτ=2Wη2，W（η，0）=H*（η）. （21）

方程組（21）的解可以用Poisson公式如下表示：

W（η，τ）=12πτ∫

SymboleB@ -

SymboleB@ exp -（η-y）24τH*（y）dy=

12πτ∫

SymboleB@ 0exp -（η-y）24τdy=

N（η2τ）.

經(jīng)過(guò)變量代換，可得

VCC（St，t）=

N（ln StK+（r-q-122）（T-t）2（T-t））exp （-r（T-t））.

推論1若假設(shè)（i）-（v）成立，則在時(shí)刻t現(xiàn)金或無(wú)值看跌期權(quán)的定價(jià)公式為：

VCP（St，t）=

N（-ln StK+（r-q-122）（T-t）2（T-t））×

exp -r（T-t），

這里，2=σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H），

Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2）.

3.2資產(chǎn)或無(wú)值期權(quán)定價(jià)公式

定理2若假設(shè)（i）-（v）成立，則在時(shí)刻t資產(chǎn)或無(wú)值看跌期權(quán)的定價(jià)公式為：

VAC（St，t）=

StN（ln StK+（r-q+122）（T-t）2（T-t））×

exp

-q（T-t），

這里，2=σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H），

Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2）.

證明：由方程組（16）可以得到資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)定價(jià)模型如下：

Vt+122S2t2VS2t+（r-q）StVSt-rV=0，Vt=T=StH*（St-K）.（22）

令VAC（St，t）=StU（St，t），則

U（ST，T）=1STVAC（ST，T）=VCC（ST，T）.

很容易得到U（St，t）滿足下列方程：

Ut+122S2t2US2t+（r-q+2）StUSt-qU=0，U（ST，T）=H*（ST-K）. （23）

令 ξ=ln StK，因此轉(zhuǎn)化為Cauchy 問(wèn)題

Ut+1222Uξ2+（r-q+122）Uξ-qU=0，U（ξ，T）=H*（ξ）. （24）

為求解上述Cauchy 問(wèn)題，作函數(shù)變換W=Ueβ（t），η=ξ+α（t），τ=γ（t）， 可得

γ′（t）Wτ+1222Wη2+

（r-q+122）+α′（t）Wη-（q+β′（t））W=0（25）

在方程（25）中令r-q+122+α′（t）=0，q+β′（t）=0，γ′（t）+122=0.并結(jié)合終值條件α（T）=β（T）=γ（T）=0，則有

α（t）=（r-q+122）（T-t），β（t）=q（T-t），

γ（t）=122（T-t）.從而可得

Wτ=2Wη2，W（η，0）=H*（η）. （26）

方程（26）的解可以用Poisson 公式如下表示：

W（η，τ）=N（η2τ）.

經(jīng)過(guò)變量代換，得到

VAC（St，t）=

StN（ln StK+（r-q+122）（T-t）2（T-t））×

exp-q（T-t）.

推論2若假設(shè)（i）-（v）成立，則在時(shí)刻t資產(chǎn)或無(wú)值看跌期權(quán)的定價(jià)公式為：

VAP（St，t）=

StN（-ln StK+（r-q+122）（T-t）2（T-t））×

exp -q（T-t），

這里，2=σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H），Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2）.

4結(jié)論

兩值期權(quán)在OTC市場(chǎng)是一種比較流行的金融衍生產(chǎn)品，對(duì)其有效和準(zhǔn)確的定價(jià)無(wú)論是理論上還是實(shí)踐上都具有重要的意義.當(dāng)預(yù)期收益率μ，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，波動(dòng)率σ為常數(shù)，利用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利原則和混合分?jǐn)?shù)Ito^公式，得到與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.通過(guò)求解此模型給出了相應(yīng)的CONC和AONC定價(jià)公式， 以及CONP和AONP定價(jià)公式. 解決了在混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下帶紅利和交易費(fèi)用的兩值期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.對(duì)于兩值期權(quán)定價(jià)，還有很多問(wèn)題值得進(jìn)一步研究.例如，將投資者情緒與異質(zhì)信念因素引進(jìn)研究此類問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)

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