線性二自由度車輛模型橫擺角速度和轉(zhuǎn)彎半徑的計算方法改進(jìn)

黃新，丁志中

(1. 蕪湖技師學(xué)院，安徽蕪湖 241000；2.合肥工業(yè)大學(xué)計算機與信息學(xué)院，安徽合肥 230009)

0 引言

汽車穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性的研究對于提高行駛安全性十分重要，穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向是指一種穩(wěn)定的轉(zhuǎn)彎狀態(tài)，該狀態(tài)下車輛的速度和轉(zhuǎn)向角是定值，從而以固定的轉(zhuǎn)彎半徑轉(zhuǎn)彎行駛[1]。一方面，這個固定的轉(zhuǎn)彎半徑越逼近實際的彎道半徑，汽車的操縱穩(wěn)定性越高，因此如何計算轉(zhuǎn)彎半徑，令其最大限度地接近實際彎道的半徑尤其重要。另一方面，在自動駕駛技術(shù)中，車輛行車軌跡的準(zhǔn)確預(yù)測是事關(guān)行車安全的重要問題，它可為自動駕駛決策系統(tǒng)提供重要的參考數(shù)據(jù)。直行車道上的行車軌跡可以由速度、加速度等參數(shù)給出較為準(zhǔn)確的短時預(yù)測。由于彎道的場景相對復(fù)雜，行車軌跡預(yù)測需要探索更好的方法。

二自由度車輛模型作為汽車的基本轉(zhuǎn)向操縱模型，雖然相對簡單，但已能體現(xiàn)車輛操縱動力學(xué)的基本特征，構(gòu)成了復(fù)雜操縱模型的基礎(chǔ)。很多學(xué)者提出了利用二自由度車輛模型對穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性進(jìn)行分析和研究[2-7]，其中文獻(xiàn)[4-7]中利用二自由度車輛模型給出了穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性下橫擺角速度和轉(zhuǎn)彎半徑的計算公式，但都是在假設(shè)前輪轉(zhuǎn)角比較小的情況下通過近似處理得到的。當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角較大時，按照上述文獻(xiàn)所給公式計算得到的轉(zhuǎn)彎半徑過大，與實際車輛轉(zhuǎn)彎的經(jīng)驗值偏差較大。

文中對經(jīng)典文獻(xiàn)中基于二自由度基本操縱動力學(xué)模型求出的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性下橫擺角速度和轉(zhuǎn)彎半徑的計算公式進(jìn)行了修正，以使修正后轉(zhuǎn)彎半徑的計算結(jié)果更接近真實的彎道半徑。

1 穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向橫擺角速度計算修正

由文獻(xiàn)[6]中可知在汽車參數(shù)已知的情況下，當(dāng)車輛以一恒定速度進(jìn)行穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時，車輛的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)彎半徑與橫擺角速度有關(guān)，因此在對車輛的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)彎半徑進(jìn)行求解前，應(yīng)首先求出橫擺角速度。在二自由度模型建立的運動方程中，二自由度指側(cè)向速度和橫擺角速度，因此利用二自由度車輛模型求解橫擺角速度，既可以簡化計算又可以得到橫擺角速度。

二自由度車輛模型是在相對合理的近似和假設(shè)條件下簡化的，此時車輛只具有側(cè)向運動和橫擺運動兩個自由度[8]。這些近似和假設(shè)包括：車輛行駛于平坦路面、忽略與行駛動力學(xué)相關(guān)的垂向影響及耦合作用、車輛結(jié)構(gòu)是剛性的等。

圖1是簡化的汽車二自由度模型，其中點O′是汽車轉(zhuǎn)彎中心，R是轉(zhuǎn)彎半徑，點O是汽車的運動質(zhì)心，β是汽車質(zhì)心側(cè)偏角，δ是汽車前輪轉(zhuǎn)角，ωr是汽車橫擺角速度，v是汽車質(zhì)心行駛速度，vO是汽車質(zhì)心處的縱向速度分量，uO是汽車質(zhì)心處的橫向速度分量，u1、u2分別是汽車前、后輪中心的速度，α1、α2分別是前、后輪的側(cè)偏角，F(xiàn)y1、Fy2分別是前后輪所受的側(cè)向力，a、b分別是質(zhì)心到前后輪軸心的距離，L是汽車軸距。

圖1 二自由度車輛模型

由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律可得：

(1)

當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角比較小時，側(cè)向力與側(cè)偏角呈線性關(guān)系[9]：

Fyi=ki·αi(i=1,2)

(2)

其中：ki是側(cè)偏剛度，在兩輪模型下分別為一個前輪或后輪側(cè)偏剛度的兩倍。

結(jié)合圖1的角度關(guān)系以及利用近似分析法，可得到側(cè)偏角與橫擺角速度以及質(zhì)心側(cè)偏角的關(guān)系式(詳細(xì)推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[10])：

(3)

(4)

因此，式(1)可化為：

(5)

分析式(5),當(dāng)整車參數(shù)m、a、b、k1、k2被給定的情況下，此時兩個方程組對應(yīng)三個未知數(shù)質(zhì)心側(cè)偏角β、橫擺角速度ωr、加速度ay。當(dāng)未知數(shù)個數(shù)大于方程個數(shù)時，方程的解不是唯一的而是無窮解，此時加速度ay可以利用固結(jié)于汽車的車輛坐標(biāo)系分析求解。

如圖2所示，將沿彎道行駛的汽車看成是質(zhì)心運動，為了便于分析比較(t+t)時刻相對于t時刻y軸方向的速度增量，先將(t+t)時刻的速度按照固結(jié)于(t+t)時的車輛坐標(biāo)系分解，再利用與t時刻固結(jié)于車輛的坐標(biāo)系平行的坐標(biāo)系進(jìn)行分析(參見圖2中左上坐標(biāo)系圖)。

圖2 汽車運動的坐標(biāo)系

通過對圖2中汽車由t時刻到(t+t)時刻的運動進(jìn)行分析，得到加速度的表達(dá)式(詳細(xì)推導(dǎo)過程參見文獻(xiàn)[10])：

(6)

其中：ωr是橫擺角速度。

將式(6)代入式(5)后整理得：

(7)

因為質(zhì)心側(cè)偏角β較小，可以認(rèn)為：

vO=vsinβ≈vβ；uO=vcosβ≈v

(8)

同時考慮到汽車的穩(wěn)定轉(zhuǎn)向特性，可令：

(9)

因此式(7)可以進(jìn)一步化簡為：

(10)

式(10)中上下兩式相減，可以解出β和ωr的關(guān)系為：

(11)

其中：L=a+b。將β代入式(10)可求得橫擺角速度ωr，詳細(xì)過程如下：

因此橫擺角速度ωr的表達(dá)式如下：

(12)

其中

同時，結(jié)合內(nèi)外部因素來看，許多大型重污染企業(yè)期望通過上市實現(xiàn)低成本融資、提升原始投資人的價值、獲得資本市場上的強大收購能力、提升企業(yè)的知名度，在國家強制規(guī)定上市污染企業(yè)的年報必須對環(huán)境行為進(jìn)行披露的情況下，為獲得投資人的認(rèn)可、成為股民的選擇，企業(yè)迫于外界壓力和自身需求，往往會在環(huán)境行為方面進(jìn)行合理化投資。

(13)

而K為穩(wěn)定性因數(shù)[9]，定義為：

(14)

至此給出了文中推導(dǎo)的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性下的橫擺角速度計算修正公式，下節(jié)利用該橫擺角速度求穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性下的轉(zhuǎn)彎半徑。

2 穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性下的轉(zhuǎn)彎半徑

車輛在轉(zhuǎn)彎時，駕駛員的操控就是使得汽車的自身轉(zhuǎn)彎半徑盡可能和彎道半徑相吻合，以實現(xiàn)安全平穩(wěn)的彎道行駛。因此，車輛轉(zhuǎn)彎半徑的計算非常重要，如果得到與實際彎道比較相符的半徑，必然會提高穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向安全性。

文中對以往文獻(xiàn)給出的轉(zhuǎn)彎半徑的計算公式進(jìn)行了修正，不同于以往前輪轉(zhuǎn)角較小的假設(shè)，求解出前輪轉(zhuǎn)角較大時對應(yīng)的轉(zhuǎn)彎半徑的計算公式，下面即是轉(zhuǎn)彎半徑的求解過程。

分析圖1中角度關(guān)系以及利用三角函數(shù)的近似關(guān)系得到轉(zhuǎn)彎半徑的表達(dá)式如下(詳見文獻(xiàn)[10])：

(15)

而(α1-α2)是向心加速度的函數(shù)[9]，即：

α1-α2=αyLK

(16)

ay=vωr

(17)

因此，轉(zhuǎn)彎半徑為：

(18)

將ωr的表達(dá)式代入式(18)，得到轉(zhuǎn)彎半徑的最終表達(dá)式(19)，過程如下：

(19)

如果將K和K(δ)代入上式，R也可寫為：

當(dāng)δ很小，cosδ≈1，K(δ)=K，此時橫擺角速度和轉(zhuǎn)彎半徑近似為：

(20)

(21)

式(20)和(21)是多數(shù)文獻(xiàn)資料給出的橫擺角速度和彎道半徑計算公式[1,5,8,9]?？梢钥闯?，它是假定cosδ≈1，K(δ)=K時的近似，這一近似使得它只適合于前輪轉(zhuǎn)角很小和車速較低的情形。式(12)和式(19)是本文作者在前輪轉(zhuǎn)角比較大的情況下給出的分析結(jié)果。對比于(14)，這里將式(13)中的K(δ)稱為“動態(tài)”穩(wěn)定因數(shù)，它反映了前輪偏轉(zhuǎn)角對于K值的影響。

3 靜態(tài)與動態(tài)穩(wěn)定因素影響下的仿真分析與比較

文中采用實車數(shù)據(jù)對橫擺角速度和轉(zhuǎn)彎半徑進(jìn)行數(shù)值仿真實驗，整車參數(shù)具體數(shù)值如表1所示[11]。考慮到一些特殊場合，車速計算范圍為0～200 km/h，間隔為5 km/h。

表1 仿真所用參數(shù)[11]

由前面分析可知，動態(tài)穩(wěn)定因數(shù)與前輪轉(zhuǎn)角有關(guān)，圖3給出了動態(tài)穩(wěn)定因數(shù)K(δ)隨前輪轉(zhuǎn)角變化的曲線，可以看出動態(tài)穩(wěn)定因數(shù)隨著前輪轉(zhuǎn)角的增大而增大。

假定前輪轉(zhuǎn)角δ為15°，對靜態(tài)與動態(tài)穩(wěn)定因數(shù)下的橫擺角速度進(jìn)行數(shù)值仿真實驗。

圖3 動態(tài)穩(wěn)定因數(shù)K(δ)的變化曲線

圖4是分別利用K和K(δ)計算出的橫擺角速度。如圖4所示，靜態(tài)和動態(tài)穩(wěn)定因數(shù)下的橫擺角速度的變化趨勢是一致的，但是數(shù)值上有細(xì)微區(qū)別，動態(tài)穩(wěn)定因數(shù)下的橫擺角速度總體上比靜態(tài)穩(wěn)定因數(shù)下的橫擺角速度稍微偏小。不過總的來說，動態(tài)穩(wěn)定因數(shù)K(δ)對于橫擺角速度的影響并不明顯。

圖4 橫擺角速度的計算對比

取前輪轉(zhuǎn)角δ=15°，假定依據(jù)式(21)(即令cosδ=1)計算的轉(zhuǎn)彎半徑如圖5所示。在車速分別為20,40,60,80,100,120 km/h時，轉(zhuǎn)彎半徑分別為23.1,68.1,143.3,248.5,383.7, 549.0 m?？梢钥吹剑嬎愕霓D(zhuǎn)彎半徑偏大。按照文中給出的計算方法式(19)，其結(jié)果如圖6所示。

圖5 依據(jù)式(21)計算的轉(zhuǎn)彎半徑

圖6 依據(jù)文中修正后的公式計算的轉(zhuǎn)彎半徑

在車速分別為20,40,60,80, 100,120 km/h時，轉(zhuǎn)彎半徑分別為22.1,55.2, 91.8,122.9,146.7,164.4 m，根據(jù)實際行車過程中的駕駛經(jīng)驗，該計算結(jié)果與實際情況吻合度較好。圖7給出的是這兩種方法在城市道路限速值之下計算的轉(zhuǎn)彎半徑差別。可以看到，在20 km/h以下速度時兩者計算結(jié)果比較接近，速度在40 km/h以上時，修正后公式所得值更為合理一點。

圖7 中低速下轉(zhuǎn)彎半徑計算值對比

圖8是利用文中提出的轉(zhuǎn)彎半徑的計算方法計算的δ為5°、10°和15°三個前輪轉(zhuǎn)角下的轉(zhuǎn)彎半徑。

圖8 不同轉(zhuǎn)角下計算的轉(zhuǎn)彎半徑

在實際的駕駛中，當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角比較小時，說明彎道比較平緩即彎道半徑比較大，當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角相對較大時，彎道相對急即彎道半徑相對較?。划?dāng)車輛以一固定前輪轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)彎半徑越大即需要更高的車速才能提供足夠的向心力不至于使車輛發(fā)生離心運動從而滿足駕駛的安全性。如圖8所示，當(dāng)車輛以前輪轉(zhuǎn)角δ=5°轉(zhuǎn)向時，轉(zhuǎn)彎半徑隨著車速的增大迅速增大，轉(zhuǎn)彎半徑相對較大；當(dāng)車輛以前輪轉(zhuǎn)角δ=10°和δ=15°轉(zhuǎn)向時，轉(zhuǎn)彎半徑亦隨車速的增大而增大，但增大的趨勢相對較小，且轉(zhuǎn)彎半徑相對較小。由此可見仿真結(jié)果與實際駕駛情況基本一致。

圖9給出了前輪轉(zhuǎn)角為20°～45°時對應(yīng)的轉(zhuǎn)彎半徑。然而如圖9所示，當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角較大且車速較高時，依據(jù)文中方法計算的轉(zhuǎn)彎半徑偏小，這是因為實際駕駛過程中，彎道比較急即轉(zhuǎn)彎半徑較小時需要較大的前輪轉(zhuǎn)角，另外文中在對橫擺角速度和轉(zhuǎn)彎半徑公式的修正中也采用了近似。

圖9 大轉(zhuǎn)角時采用K(δ)計算的轉(zhuǎn)彎半徑

4 結(jié)論

文中對多數(shù)文獻(xiàn)中給出的二自由度車輛模型轉(zhuǎn)向特性下的橫擺角速度和轉(zhuǎn)彎半徑的計算公式進(jìn)行了修正。由仿真結(jié)果可以看到，無論是否取cosδ≈1的近似，利用此方法所計算的橫擺角速度差別并不大。動態(tài)穩(wěn)定因數(shù)的引入主要改善了轉(zhuǎn)彎半徑的計算結(jié)果，使得轉(zhuǎn)彎半徑不再隨車速呈現(xiàn)二次曲線上升的趨勢。當(dāng)車輛以固定的前輪轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)向時，多數(shù)文獻(xiàn)給出的轉(zhuǎn)彎半徑的計算偏大，而經(jīng)過修正后的轉(zhuǎn)彎半徑的計算能更真實地反映彎道半徑。

需要說明的是動態(tài)穩(wěn)定因數(shù)的引入雖然改善了前輪轉(zhuǎn)角較小時的轉(zhuǎn)彎半徑，但是在前輪轉(zhuǎn)角較大時反而使轉(zhuǎn)彎半徑偏小。