基于最優(yōu)脈沖的面內(nèi)機(jī)動(dòng)規(guī)避策略

蘇飛,劉靜,張耀,楊旭

(中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái),北京100012)

1 引言

隨著空間技術(shù)及商業(yè)小衛(wèi)星的發(fā)展,空間碎片數(shù)量急劇增加、空間環(huán)境迅速惡化,根據(jù)最新資料顯示,目前在軌10cm以上空間碎片數(shù)量達(dá)到2萬(wàn)個(gè)[1-3]。密集的空間碎片對(duì)航天器的在軌運(yùn)行產(chǎn)生巨大威脅,急需制定策略應(yīng)對(duì)航天器的危險(xiǎn)交會(huì),航天器軌道機(jī)動(dòng)規(guī)避在躲避碎片碰撞時(shí)直接有效,受到航天機(jī)構(gòu)及衛(wèi)星運(yùn)行商的廣泛關(guān)注[4-5]。航天器進(jìn)行規(guī)避機(jī)動(dòng)時(shí),一方面需要考慮風(fēng)險(xiǎn)的消除程度,另一方面則需要分析機(jī)動(dòng)對(duì)航天器運(yùn)行的影響。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避的動(dòng)力學(xué)與控制問題進(jìn)行了廣泛的研究,同時(shí)根據(jù)不同的優(yōu)化目標(biāo)、優(yōu)化算法提出多種機(jī)動(dòng)規(guī)避策略,并對(duì)部分研究成果進(jìn)行了飛行驗(yàn)證。Chan[6-7]研究了一般推力得到碰撞概率和推力的解析表達(dá),結(jié)合航天器軌道控制研究規(guī)避機(jī)動(dòng);Kim等[8]分析了基于遺傳算法的燃料消耗和機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng),采用多目標(biāo)優(yōu)化求解碰撞規(guī)避機(jī)動(dòng)策略;Bombardelli等[9-10]根據(jù)軌道機(jī)動(dòng)規(guī)避動(dòng)力學(xué)模型,推導(dǎo)了機(jī)動(dòng)脈沖與碰撞概率的解析關(guān)系,通過拉格朗日乘子法得到固定脈沖的最優(yōu)方向;Patera等[11-13]基于一維碰撞概率積分方法推導(dǎo)速度增量的最優(yōu)解,采用兩體軌道積分代替高精度軌道積分研究碰撞規(guī)避機(jī)動(dòng)策略;Kelly等[14]利用非線性規(guī)劃算法求解最小速度增量,得到最優(yōu)的碰撞規(guī)避機(jī)動(dòng)策略;Peterson[15]對(duì)近圓軌道提出了可以快速得到推力三維解的解析方法,利用梯度搜索算法找到最優(yōu)解;王華等[16]基于碰撞概率分步求解機(jī)動(dòng)方向和機(jī)動(dòng)大小,在碰撞概率降低到安全值的前提下得到最優(yōu)的避撞機(jī)動(dòng)沖量;Gavin[17]利用根數(shù)長(zhǎng)期項(xiàng)分析了初始軌道根數(shù)與危險(xiǎn)交會(huì)點(diǎn)的關(guān)系,研究了衛(wèi)星沖量對(duì)交會(huì)點(diǎn)的影響;Alfano等[18-19]研究了執(zhí)行機(jī)動(dòng)導(dǎo)致的額外風(fēng)險(xiǎn)和燃料消耗對(duì)航天器任務(wù)的影響。

目前多數(shù)已有研究成果在研究航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí),主要基于數(shù)值法窮舉尋優(yōu),未關(guān)注計(jì)算效率問題,事實(shí)上危險(xiǎn)交會(huì)往往具有突發(fā)性,對(duì)時(shí)效性要求較高。為了快速得到優(yōu)化的規(guī)避脈沖,首先通過小偏差線性化等處理將高斯方程解析化,得到解析的軌道規(guī)避機(jī)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型,直接分析機(jī)動(dòng)脈沖與航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)的線性關(guān)系。通過航天器位置協(xié)方差信息及交會(huì)平面的相對(duì)位置信息得到航天器危險(xiǎn)交會(huì)的碰撞概率和交會(huì)距離,并采用固定脈沖的方式,快速得到最優(yōu)機(jī)動(dòng)方向,獲取不同時(shí)機(jī)下的最優(yōu)脈沖。

2 規(guī)避動(dòng)力學(xué)模型

2.1 建模假設(shè)

在空間物體碰撞預(yù)警過程中,如果危險(xiǎn)交會(huì)的瞬時(shí)碰撞概率或交會(huì)距離大于安全閾值,經(jīng)檢測(cè)確認(rèn)為危險(xiǎn)交會(huì)后,航天器需要進(jìn)行機(jī)動(dòng)來(lái)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn),保證運(yùn)行安全。在執(zhí)行規(guī)避時(shí),很多空間環(huán)境的影響相對(duì)于機(jī)動(dòng)量可以忽略不計(jì),所以建模過程做如下假設(shè):一是地球?yàn)橘|(zhì)地均勻的球體,并忽略大氣阻力、太陽(yáng)光壓等所有攝動(dòng)力;二是機(jī)動(dòng)脈沖為小量,機(jī)動(dòng)后航天器到達(dá)危險(xiǎn)交會(huì)點(diǎn)的速度大小及方向不變;三是交會(huì)物體位置誤差橢球固定,不隨機(jī)動(dòng)變化;四是交會(huì)為短期交會(huì),交會(huì)時(shí)航天器視為勻速直線運(yùn)動(dòng),且不考慮姿態(tài)。

2.2 坐標(biāo)系定義

相關(guān)動(dòng)力學(xué)建模參照坐標(biāo)系如圖1所示,其中OXYZ偏心率矢量坐標(biāo)系,其原點(diǎn)O位于地球質(zhì)心,X軸與航天器偏心率矢量eo重合,Z軸垂直于航天器軌道平面,且與航天器角速度方向相同,Y軸由右手螺旋法則確定;sxyz為航天器軌道坐標(biāo)系,其原點(diǎn)s位于航天器質(zhì)心,x軸由地心指向航天器質(zhì)心,z軸與Z軸平行且指向相同,y軸由右手螺旋法則確定,三軸單位矢量分別為ex、ey、ez。

圖1 建模參照坐標(biāo)系Fig.1 Reference coordinate system for modeling

2.3 機(jī)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

如圖1所示,航天器在偏心率矢量坐標(biāo)系的狀態(tài)矢量表示為

式中,eX和eY為偏心率矢量坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸的單位矢量;a為航天器軌道半長(zhǎng)軸;E為航天器對(duì)應(yīng)真近點(diǎn)角處的偏近點(diǎn)角;e為航天器軌道偏心率;r為航天器地心距;μ為萬(wàn)有引力常數(shù)。

令E=Em,取慣性系內(nèi)航天器機(jī)動(dòng)點(diǎn)即真近點(diǎn)角為θm處的狀態(tài)rm、vm代入式 (1),求解方程式得

式 (2)中符號(hào)‖‖表示對(duì)矢量求模,將式(2)代入式 (1)得偏近點(diǎn)角為E處航天器的位置矢量r表示為

結(jié)合高斯方程,沖量使航天器軌道產(chǎn)生的瞬時(shí)變化為

式中,Δvx、Δvy、Δvz分別為沖量在航天器軌道坐標(biāo)系三軸上的分量,h、p分別為航天器變軌前的軌道角動(dòng)量和軌道半通徑,表示為

將航天器的狀態(tài)量代入式 (3),則航天器在機(jī)動(dòng)點(diǎn)θm處機(jī)動(dòng)前和機(jī)動(dòng)后,運(yùn)行到危險(xiǎn)交會(huì)點(diǎn)的位置矢量r(Ec)、r′(Ec)分別表示為

式中,Δrx、Δry分別為航天器在軌道系中相應(yīng)坐標(biāo)軸的位置變化,由于航天器機(jī)動(dòng)后,其偏心率矢量坐標(biāo)系繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)Δω,將式 (6)、式(7)表示到機(jī)動(dòng)前的偏心率矢量坐標(biāo)系,則

其中

為了推導(dǎo)方便同時(shí)減小因量級(jí)的巨大差異引起的仿真失真,進(jìn)行歸一化處理,定義

將式 (10)～式 (14)代入式 (9)并泰勒展開,由于脈沖大小遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于航天器速度,省略高階項(xiàng),推導(dǎo)過程不再贅述,這里直接給出表達(dá)式,得徑向距離的變化和沿跡方向的距離變?yōu)榉謩e為[10]

式中

從動(dòng)力學(xué)模型可以看出,在機(jī)動(dòng)脈沖為小量時(shí),航天器機(jī)動(dòng)導(dǎo)致的距離變化可以簡(jiǎn)化為航天器軌道參數(shù)的解析表達(dá),與外推模型相比可以大大節(jié)省計(jì)算時(shí)間,并能得到機(jī)動(dòng)大小與距離變化的等式關(guān)系,有利于模型的物理分析和控制參數(shù)選取。

3 航天器危險(xiǎn)交會(huì)分析

航天器危險(xiǎn)交會(huì)過程中通常采用交會(huì)距離判定法或碰撞概率判定法來(lái)判斷發(fā)生碰撞的可能性。碰撞概率判定法適用于兩星的定位誤差較大且有累積效應(yīng)時(shí),交會(huì)距離判定法則適用于能實(shí)時(shí)測(cè)量?jī)尚窍鄬?duì)狀態(tài)。

3.1 交會(huì)距離

航天器運(yùn)行時(shí),設(shè)s(t)為t時(shí)刻航天器s-1與s-2的相對(duì)位置矢量,則任意時(shí)刻t+Δt兩個(gè)目標(biāo)的相對(duì)位置矢量為

其中vr=v1-v2,若t時(shí)刻兩目標(biāo)間的距離最小,則有

根據(jù)式 (21)得兩目標(biāo)距離最小時(shí),其相對(duì)位置矢量和相對(duì)速度矢量互相垂直。定義交會(huì)坐標(biāo)系,其三軸單位矢量分別為

航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向平行于x軸,交會(huì)平面(b平面)定義為y-z平面,則航天器危險(xiǎn)交會(huì)關(guān)系描述為兩航天器在b平面的交會(huì)距離,航天器軌道坐標(biāo)系到交會(huì)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為

式中,α為危險(xiǎn)交會(huì)點(diǎn)處s-2速度矢量v2在s-1軌道面投影與s-1速度矢量v1的夾角 (-π<α<π),且v2×v1·eZ>0時(shí)為正;β為v2在航天器s-1軌道面投影與v2的夾角 (-π/2<β<π/2),且v2·eZ>0時(shí)為正;B為v1與相對(duì)速度v1-v2的夾角 (0

交會(huì)距離為

3.2 碰撞概率

航天器在運(yùn)行過程中位置誤差服從3維正態(tài)分布,并可以通過分布中心和位置誤差協(xié)方差矩陣描述。此時(shí)航天器間交會(huì)的碰撞概率均可表示為

式中,V為以一個(gè)航天器為圓心,兩個(gè)航天器包絡(luò)半徑之和ssum為半徑的球體;f(x,y,z)為高斯概率密度函數(shù) (PDF),表示為

式中,se=(xbm,0,zbm)為b平面內(nèi)兩航天器交會(huì)距離最小時(shí)的相對(duì)位置矢量;為相對(duì)位置s誤差協(xié)方差矩陣C的行列式值,假設(shè)航天器交會(huì)時(shí)為勻速直線運(yùn)動(dòng),則積分球變?yōu)閳A柱,在誤差協(xié)方差矩陣中選取與相對(duì)位置信息有關(guān)的部分得

此時(shí)碰撞概率表示為圓域內(nèi)的積分

文獻(xiàn) [7]提出一種不等方差PDF在圓域內(nèi)積分問題的解決方法。通過將不等方差的等概率密度橢圓用與其面積相等的等概率密度圓代替,并用無(wú)窮級(jí)數(shù)表示二重積分,對(duì)式 (30)簡(jiǎn)化得到碰撞概率的解析表示

其中u和v均為無(wú)量綱變量,表示為

4 最優(yōu)規(guī)避分析

通過求碰撞概率/交會(huì)距離對(duì)于機(jī)動(dòng)方向的梯度確定機(jī)動(dòng)速度方向。

(1)交會(huì)距離最優(yōu)問題描述為

機(jī)動(dòng)方向可以通過梯度矢量D得到

式中,D表示為

由于碰撞概率/交會(huì)距離的梯度與機(jī)動(dòng)脈沖大小不相關(guān),對(duì)軌道面內(nèi)的脈沖做如下變形

式中,為歸一化的機(jī)動(dòng)脈沖大小,視為固定值;φ為脈沖矢量與軌道系x的夾角。此時(shí)交會(huì)距離的平方表示為

當(dāng)確定交會(huì)目標(biāo)的Ec、Em、e,最優(yōu)交會(huì)距離值所需要的機(jī)動(dòng)脈沖速度方向即為下式的解

(2)同理,碰撞概率最優(yōu)問題描述為

機(jī)動(dòng)方向可以通過梯度矢量D′得到

式中,D′表示為

此時(shí)碰撞概率相關(guān)系數(shù)描述為

當(dāng)確定交會(huì)目標(biāo)的Ec、Em、e,最優(yōu)碰撞概率所需要的機(jī)動(dòng)脈沖速度方向即為下式的解

5 仿真分析及校驗(yàn)

根據(jù)上述理論建模與分析的結(jié)果,建立航天器規(guī)避機(jī)動(dòng)數(shù)值仿真模型和航天器危險(xiǎn)交會(huì)分析模型。為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的規(guī)避機(jī)動(dòng)策略的有效性,本節(jié)利用美俄衛(wèi)星碰撞事件為例進(jìn)行仿真。Cosmos-2251和Iridium-33中,前者為俄羅斯的廢棄衛(wèi)星沒有任何機(jī)動(dòng)能力,后者為美國(guó)的在用通信衛(wèi)星可以執(zhí)行規(guī)避機(jī)動(dòng),選擇兩顆衛(wèi)星碰撞前的各自最新的一組TLE根數(shù),利用SGP4軌道預(yù)報(bào)模型,可知兩顆衛(wèi)星TCA的參數(shù)如表1所示

表1 美俄衛(wèi)星碰撞交會(huì)幾何參數(shù)Tab.1 Collision rendezvous geometry parameters of the US and Russian satellites

根據(jù)Cosmos-2251和Iridium-33的預(yù)報(bào)數(shù)據(jù),相對(duì)位置s誤差協(xié)方差矩陣假設(shè)為對(duì)角協(xié)方差矩陣,其標(biāo)準(zhǔn)差在航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)切線方向?yàn)?km,在b平面內(nèi)的兩個(gè)正交方向上為100m,此時(shí)在誤差協(xié)方差矩陣中與相對(duì)位置信息有關(guān)的部分為[9]

航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避過程需要考慮軌道維持要求,Iridium-33屬于低軌道衛(wèi)星,受空間環(huán)境因素影響較大,在軌運(yùn)行期間軌道衰減與星下點(diǎn)漂移現(xiàn)象明顯,需要定期進(jìn)行軌道維持,以保證星下點(diǎn)相鄰軌跡的無(wú)縫搭接。圖2為航天器星下點(diǎn)軌跡保持環(huán),即地面軌跡保持范圍及半長(zhǎng)軸變化過程構(gòu)成一個(gè)封閉的環(huán)。

圖3是航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)交會(huì)距離,從圖可得在提前量不是整數(shù)周期或不靠近整數(shù)周期時(shí),提前機(jī)動(dòng)時(shí)間越大,得到的最優(yōu)交會(huì)距離越大;提前量為整數(shù)周期提或在其附近時(shí),最優(yōu)交會(huì)距離回落,稍有減小。

航天器執(zhí)行機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí),通常需要考慮軌道維持,即需要在避碰的同時(shí)完成軌道抬高,所以在仿真過程中,取脈沖方向與軌道系x軸夾角為0≤φ≤π,圖4是最優(yōu)交會(huì)距離約束下航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)脈沖方向,從圖得航天器規(guī)避提前量在0到0.2周期時(shí),最優(yōu)脈沖方向收斂至180o(0o),提前量超過約0.2周期后,最優(yōu)脈沖方向收斂至90o附近。

圖2 航天器星下點(diǎn)軌跡保持環(huán)Fig.2 Spacecraft ground track keeping ring

圖3 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最大交會(huì)距離Fig.3 Maximal rendezvous distances with different maneuver leads

圖5是航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)碰撞概率,與最優(yōu)交會(huì)距離分析類似,從圖可得在提前量不是整數(shù)周期或不靠近整數(shù)周期時(shí),提前機(jī)動(dòng)時(shí)間越大,得到的最優(yōu)碰撞概率越小;提前量為整數(shù)周期提或在其附近時(shí),最優(yōu)碰撞概率振蕩且稍有增大。

圖4 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最優(yōu)脈沖方向Fig.4 Optimal pulse directions with different maneuver leads

圖5 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最優(yōu)配置概率Fig.5 Optimal configuration probabilities with different maneuver leads

圖6 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最優(yōu)脈沖方向Fig.6 Optimal pulse directions with different maneuver leads

取脈沖方向與軌道系x軸夾角為0≤φ≤π,圖6是最優(yōu)碰撞概率約束下航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)脈沖方向,從圖得航天器規(guī)避提前量在0到0.25周期時(shí),最優(yōu)脈沖方向收斂至180o(0o),提前量超過約0.25周期后,最優(yōu)脈沖方向收斂至90o附近。

6 結(jié)論

研究了航天器面內(nèi)機(jī)動(dòng)規(guī)避最優(yōu)問題。針對(duì)高斯方程,利用小偏差線性化及泰勒展開得到軌道規(guī)避機(jī)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型,基于面內(nèi)機(jī)動(dòng)約束,在保證碰撞概率降低到最小值或交會(huì)距離提高到最大值的前提下得到最優(yōu)的機(jī)動(dòng)脈沖。為機(jī)動(dòng)規(guī)避的工程問題提供支持。