隨機共振基本理論介紹

劉廷銀 劉巖 趙雙江 中國人民解放軍65589部隊

1 引言

隨機共振理論已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)十年的發(fā)展，其研究深度和影響范圍都極為深遠。通常認為隨機共振系統(tǒng)需要有三個要素：隨機共振的輸入驅(qū)動信號、非線性的隨機共振系統(tǒng)和相匹配的噪聲。隨機共振按照穩(wěn)態(tài)數(shù)量不同，可分為單穩(wěn)態(tài)隨機共振、雙穩(wěn)態(tài)隨機共振，以及多穩(wěn)態(tài)隨機共振。其中研究較為成熟的是單穩(wěn)態(tài)隨機共振和雙穩(wěn)態(tài)隨機共振，而雙穩(wěn)態(tài)隨機共振與通信信號中的0,1二值可以較好地適配，因此得到了更為廣泛的應(yīng)用。因為多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的研究難度較大，所以應(yīng)用較為有限。

經(jīng)典的隨機共振理論主要討論的是雙穩(wěn)態(tài)隨機共振模型，其中包含的主要理論有：駐留時間的分布特性、隨機共振的響應(yīng)過程、特征值研究、絕熱消去理論等。

2 兩個動力學方程

2.1 朗之萬運動方程

朗之萬運動方程討論的是忽略重力條件下的布朗粒子。假設(shè)該粒子的質(zhì)量為m，當該粒子在流體中運動時，主要分析兩方面的作用力：（1）若布朗粒子的運動速度為v，運動會導致其受到周圍分子的無序碰撞。該碰撞總體上作用結(jié)果為阻止布朗粒子的前進運動?？梢远x這部分阻力為-av，該阻力將隨著布朗粒子的宏觀運動而持續(xù)；（2）從微觀角度考慮，當布朗粒子受到無序碰撞時，碰撞力用F(t)表示，F(xiàn)(t)不隨粒子的運動狀態(tài)而改變。綜合阻力-av和碰撞力F(t)兩方面，可以得到粒子的運動方程如下：

該方程描述了布朗粒子的運動情況。因為布朗粒子受到的無序碰撞力的隨機性，粒子的運動方程為隨機過程。

對公式（1）進行整理，方程兩端同時除以m后可得[112]：

式（2）通常被稱為線性朗之萬運動方程，其中的r為阻尼系數(shù)，即單位質(zhì)量的加速度。n(t)為布朗粒子受到無序碰撞所產(chǎn)生的隨機噪聲。

在（2）式的基礎(chǔ)上，增加外場力f(t)對布朗粒子的作用，并將速度變量v一般化為x，（2）式可被寫為：

當f(t)為非線性的外場力時，（4）被稱為非線性朗之萬方程。后續(xù)的雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)將基于非線性朗之萬方程建立[113]。

2.2 ?？?普朗克方程

非線性朗之萬方程（4）中包含有隨機項n(t)。因此當對（4）所描述的粒子運動狀態(tài)進行研究時，通常討論的是運動軌跡的各階矩。非線性方程中相關(guān)變量的矩計算難度大，很難精確獲取其統(tǒng)計特性。為此需要討論相關(guān)隨機變量的概率分布函數(shù)。由于非線性因素，（4）式中的變量x具有時變性，其概率分布函數(shù)也具有時變性。令變量x，在時間t的概率分布函數(shù)為ρ(x,t)。可以從朗之萬方程推導出概率分布函數(shù)ρ(x,t)的方程[114]。

當系統(tǒng)中包含高斯白噪聲時，可推導出概率分布函數(shù)ρ(x,t)的?？?普朗克方程：

當系統(tǒng)中包含的噪聲是加性高斯白噪聲時，（5）簡化為：

3 雙穩(wěn)態(tài)隨機共振基本原理

3.1 動力學原理

雙穩(wěn)態(tài)隨機共振屬于非線性朗之萬方程描述的一種特例，其對應(yīng)的外場力為[115]

其中 稱為勢函數(shù)，a和b是兩個重要參數(shù)，滿足 ， ，其直接決定了雙穩(wěn)態(tài)隨機共振的過程及發(fā)生條件。當從統(tǒng)計平均的意義上約去零均值的噪聲n(t)時，非線性的朗之萬方程改寫為

公式（8）描述了一維雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的動力學過程。從（8）可明顯看出 是粒子運動的決定性因素。（8）式描述的系統(tǒng)的穩(wěn)定點和不穩(wěn)定點均可以通過求解 的極值點獲得。極大值對應(yīng)于不穩(wěn)定點，極小值對應(yīng)于穩(wěn)定點。為求取極值點，對 求導可得：

（9）的三個極值點為：

圖 1 雙穩(wěn)態(tài)隨機共振的勢函數(shù)圖

如圖1所示是雙穩(wěn)態(tài)隨機共振的勢函數(shù)示意圖，當一個粒子在這個勢函數(shù)中運動時，假設(shè)初始時刻粒子在x=0點，當受到一個微弱的擾動時，粒子極易偏離不穩(wěn)定點x=0，落入到穩(wěn)定點。若擾動力使其偏移量Δx>0，則粒子傾向于落入到穩(wěn)定點2，即x=若擾動力使其偏移量Δx<0，則粒子傾向于落入到穩(wěn)定點1，即；若粒子處于穩(wěn)定點1，當受到的力導致位移Δx<0，則隨著Δx幅度增大，其阻力呈幾何級數(shù)增大。從而最終使得粒子穩(wěn)定在穩(wěn)定點1附近。穩(wěn)定點2同理。

3.2 雙穩(wěn)態(tài)隨機共振

在應(yīng)用于通信信號處理時，處理的對象通?？梢约僭O(shè)為信號與噪聲的疊加的結(jié)果。這與隨機共振系統(tǒng)的輸入相吻合，具體如下示意圖：

圖 2 信號處理系統(tǒng)過程圖

令通信信號為s(t)，信道的加性噪聲為n(t)。傳統(tǒng)的信號處理系統(tǒng)就是如何降低噪聲n(t)，從而使得輸出x(t)盡可能與信號s(t)逼近。

圖 3 雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)的過程圖

從圖3可知，隨機共振系統(tǒng)的輸入輸出與信號處理系統(tǒng)相同，因此二者可以相互統(tǒng)一。令n(t)表示系統(tǒng)的隨機力，s(t)表示系統(tǒng)的驅(qū)動力，此時圖3的隨機共振系統(tǒng)可寫為[116]：

（11）

通信信號通常需要利用載波進行調(diào)制，因此往往以正弦函數(shù)的形式出現(xiàn)：

其中f_0表示信號載頻，A(t)表示基帶信號。將（12）代入（11）式可得：

3.4 隨機共振的性能度量

當信號經(jīng)過隨機共振系統(tǒng)后，如何評價輸出的信號是個關(guān)鍵問題。通信中對于信號質(zhì)量評價的一個重要參量是信噪比。在隨機共振過程中，噪聲的能量逐步被削弱，并轉(zhuǎn)化為信號的能量。從而最終信號的能量增強，輸出的信噪比遠高于輸入信噪比。利用信噪比評價隨機共振進行信號處理的性能較為合適。信噪比計算公式為：

其中S(w)表示信號的功率譜函數(shù)，N(w)表示加性噪聲的平均功率譜函數(shù)。（50）式中的極限求積分的過程較為復雜。當考慮到具體信號形式時，（50）式將進一步簡化。假設(shè)輸入為正弦信號，即，此時定義信噪比為：

其中 表示噪聲功率，求取方法是在頻率 附近功率的平均值；同樣地， 為信號在頻率 附近功率的平均值。令系統(tǒng)輸出信號的離散傅氏變換序列為,(k=0,1,……,L-1)：

按照隨機共振的絕熱消去理論，雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)的輸出信號的信噪比為：

4 結(jié)束語

本文介紹了隨機共振的相關(guān)基本理論。主要內(nèi)容包括隨機共振現(xiàn)象的動力學原理、隨機共振的物理概念、隨機共振過程的測度及相關(guān)參數(shù)等內(nèi)容。