董 挺 張 偉

(北京工業(yè)大學材料與制造學部,機械結構非線性振動與強度北京市重點實驗室,北京 100124)

雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板殼結構包括非對稱、反對稱等類型,具備較強的承載、變形能力和良好的輕質性,正日益成為航空航天領域關注的研究對象。在殘余應力和幾何非線性共同作用下,非對稱鋪設的復合材料層合板在固化之后會產生兩個穩(wěn)定的平衡構型和一個不穩(wěn)定的平衡構型,從而形成了雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板。兩個穩(wěn)定平衡構型不需要持續(xù)的能量輸入就能被維持并且在輸入特定能量的情況下可以通過跳躍(snap-through) 實現(xiàn)互相轉換。本文以六層非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板為研究對象,分析了雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板在動態(tài)激勵作用下發(fā)生的周期振動、概周期振動、混沌振動和動態(tài)跳躍現(xiàn)象。

雙穩(wěn)態(tài)板殼結構有望被應用于減振器[1-2]、飛行器[3]和能量采集器[4]等。Cantera 等[5]通過在四個角處施加垂直機械力研究了雙穩(wěn)態(tài)板的靜態(tài)跳躍過程。Vogl 等[6]利用瑞利李茲技術和哈密頓原理研究了非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板的自由振動問題。Arrieta 等[7]建立了非對稱雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板的單穩(wěn)態(tài)低階非線性動力學模型。Taki 等[8]利用瑞利李茲技術和哈密頓原理建立了表面鋪設壓電層的非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板的動力學模型。Bilgen 等[9]詳細研究了雙穩(wěn)態(tài)翼形復合材料層合板的氣動響應。Arrieta 等[10]對非對稱機翼狀雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板的動態(tài)響應和氣動特性進行了理論和實驗研究。Zhang 等[11-12]研究了非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板在基礎激勵作用下的動態(tài)跳躍現(xiàn)象、非線性振動、雙激勵多穩(wěn)定性、Shilnikov 型多脈沖跳躍混沌振動及亞穩(wěn)態(tài)混沌振動。

目前有關雙穩(wěn)態(tài)板動態(tài)跳躍的研究主要以實驗研究為主,而針對雙穩(wěn)態(tài)板的理論研究基本都是圍繞某一個穩(wěn)定平衡狀態(tài)的局部動力學研究。本文通過理論建模的方式研究了六層非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板的動態(tài)跳躍和非線性振動。

1 動力學模型

本文的研究對象為六層非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板,如圖1 所示。邊界條件為中心固支和四邊自由,如圖1(a) 所示。雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板的兩個穩(wěn)定的平衡狀態(tài)如圖1(b) 所示。鋪設順序為非對稱鋪設順序(0/0/0/90/90/90),即前三層纖維的鋪設角度θ= 0?,后三層纖維的鋪設角度θ= 90?,如圖1(c) 所示。在板的中心處建立直角坐標系oxyz。板的幾何尺寸長、寬和厚度分別為2Lx,2Ly和2H。每層纖維的厚度為h。作用在支撐桿件上的基礎激勵為Y。

圖1 雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板模型Fig.1 The model of the bistable composite laminated plate

根據(jù)Reddy 三階剪切變形板理論,非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板的位移場可以寫成

其中u0,v0和w0分別表示六層非對稱雙穩(wěn)態(tài)板中面上任意一點沿x,y和z方向的位移,?x和?y分別為中面橫向法線繞y軸和x軸的轉角。

基于幾何非線性理論,得到非線性應變位移關系為

其中

每層的本構關系可以表示為

其中其中,αxx和αyy分別表示雙穩(wěn)態(tài)板沿x軸和y軸的熱膨脹系數(shù),θ表示纖維的鋪設角度,Qij代表剛度系數(shù),并表示為

其中,E11表示縱向彈性模量,E22表示橫向彈性模量,v12和v21表示泊松比,G12和G13表示剪切模量。

根據(jù)Hamilton 原理,可以得到六層非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板的非線性偏微分控制方程

其中,與應變和曲率相關的應力合力和合力矩可表示成

剛度單元和各階慣性項系數(shù)可以表示為

根據(jù)文獻[13],雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板的位移可以表示為

引入無量綱表達式

由于雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板的主要振動形式為橫向振動,因此,忽略式(6)中與面內振動和扭轉振動相關的時間項,用橫向位移w0表示面內和扭轉位移分量u0,v0,?x和?y,將式(9)代入式(6)并利用式(10),最終得到與雙穩(wěn)態(tài)板橫向振動相關的無量綱常微分方程

為了便于分析,我們將在以下的分析中忽略無量綱方程中的無量綱符號。

2 數(shù)值模擬

為了研究雙穩(wěn)態(tài)板的動態(tài)跳躍現(xiàn)象和非線性振動,采用Runge–Kutta 算法數(shù)值求解常微分方程(11a)(11b)。以激勵幅值為控制參數(shù),得到了李雅普諾夫指數(shù)圖(圖2)、時間歷程圖(圖3) 和龐加萊截面圖(圖4)。

圖2 雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板以外激勵幅值為控制參數(shù)的李雅普諾夫指數(shù)圖Fig.2 The Lyapunov exponent diagram of the bistable composite laminated plate with the base excitation amplitude as the control parameter

圖3 雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板的動態(tài)跳躍現(xiàn)象Fig.3 The dynamic snap-through of the bistable composite laminated plate

我們可以通過李雅普諾夫指數(shù)圖和龐加萊截面圖確定系統(tǒng)的振動形式。由圖2 可知,雙穩(wěn)態(tài)板的非線性振動包括周期振動、概周期振動和混沌振動。由圖3 可知,雙穩(wěn)態(tài)板在發(fā)生動態(tài)跳躍的同時也發(fā)生了混沌振動,即雙穩(wěn)態(tài)板在混沌振動的過程中發(fā)生了動態(tài)跳躍。當激勵幅值比較小時,雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板圍繞上平衡點做小振幅的周期振動,如圖4(a) 所示。逐步增大激勵幅值,雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板圍繞上平衡點做小振幅的概周期振動,如圖4(b) 所示。繼續(xù)增大激勵幅值,雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板逐漸偏離上平衡點,在上平衡點附近做振幅比較大的混沌振動,如圖4(c) 所示。當激勵幅值增大至某一范圍時,雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板不再只圍繞上平衡點發(fā)生振動,而是在上下兩個平衡點之間做大振幅的動態(tài)跳躍,如圖3 和圖4(d) 所示。當激勵幅值超過某一值后,雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板不再發(fā)生跳躍,而是在下平衡點附近做振幅較小的概周期振動,如圖4(e)所示。當激勵幅值進一步增大時,雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板圍繞下平衡點做振幅較小的周期振動,如圖4(f)所示。由此可知,激勵幅值并不是越大就越好,激勵幅值過大,不一定發(fā)生動態(tài)跳躍,動態(tài)跳躍其實是激勵幅值和頻率共同作用的結果。

圖4 雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板的龐加萊截面Fig.4 The Poincar′e maps of the bistable composite laminated plate

3 結論

本文以中心固支四邊自由為邊界條件的六層非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板為研究對象?？紤]幾何非線性,基于三階剪切變形理論和哈密頓原理建立動力學與控制方程。研究了基礎激勵幅值對雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板非線性振動和動態(tài)跳躍的影響。

改變基礎激勵幅值,雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板發(fā)生了動態(tài)跳躍,并且分別圍繞兩個平衡點發(fā)生了非線性振動。動態(tài)跳躍的發(fā)生是激勵幅值和頻率共同作用的結果。雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合板在整個過程中發(fā)生了周期振動、概周期振動和混沌振動?；煦缯駝邮前l(fā)生動態(tài)跳躍的有利條件。

本文的研究可以為雙穩(wěn)態(tài)能量采集器、可變體飛行器和結構變形的壓電驅動裝置提供理論依據(jù)。