張桐

摘要：分形理論是從研究不規(guī)則客觀事物中孕育而生的，成為了復(fù)雜系統(tǒng)研究和非線性科學(xué)的重要組成部分，在各個(gè)學(xué)科均有廣泛的運(yùn)用。在地貌學(xué)研究中，分形理論的應(yīng)用也取得了顯著的成果；本文在搜集大量文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，從分形理論在地貌學(xué)的意義，分形理論在地貌學(xué)中的應(yīng)用研究相關(guān)進(jìn)展，分形計(jì)算方法，三個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)，并針對(duì)在應(yīng)用現(xiàn)狀提出建議與展望，建議在地貌研究過(guò)程中探討研究尺度對(duì)分形維數(shù)的影響，在實(shí)踐中將分形理論與小波分析等其它理論進(jìn)行綜合，以分形數(shù)值模擬模型的研究進(jìn)行深入探討，對(duì)多種地貌過(guò)程及其動(dòng)力機(jī)制進(jìn)行模型模擬。

Abstract： Fractal theory is bred from the study of irregular objects， and has become an important part of complex system research and nonlinear science， and has been widely used in various disciplines. In the geomorphology research， the application of fractal theory has also made remarkable achievements； on the basis of collecting a large number of documents， this paper summarizes the significance of fractal theory in geomorphology， the related progress of the application of fractal theory in geomorphology， the fractal calculation method， and puts forward the construction in view of the shortcomings in the application. It is suggested that the influence of research scale on fractal dimension should be discussed in the process of geomorphological study. In practice， the fractal theory and other theories such as wavelet analysis should be integrated to study the fractal numerical simulation model and to simulate the various geomorphologic processes and their dynamic mechanisms.

關(guān)鍵詞：分形理論；地貌學(xué)；研究進(jìn)展；分形維數(shù)

Key words： fractal theory；geomorphology；research progress；fractal dimension

中圖分類(lèi)號(hào)：P931 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2018）33-0279-05

0 引言

分形理論是由美籍?dāng)?shù)學(xué)家曼德布羅特首先提出的，曼德布羅特在研究英國(guó)海岸線的長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，將統(tǒng)計(jì)自相似與分?jǐn)?shù)維度引入到該問(wèn)題的研究中，從而得出了分形的概念，他將分形定義為豪斯道夫維數(shù)大于或等于拓?fù)渚S數(shù)的集合；直到今天，分形本身也沒(méi)有完整的嚴(yán)格定義，但是，公認(rèn)把它看成是具有下面性質(zhì)的集合F的：①F具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即在任意小的比例下，都可呈現(xiàn)出更加精致的細(xì)節(jié)；②F是如此的不規(guī)則，以至于它的整體和局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來(lái)描述；③F通常有某種自相似的形式；可能是近似的或是統(tǒng)計(jì)意義下相似的；④在大多數(shù)令人感興趣的情形下，F(xiàn)能用非常簡(jiǎn)單的方法產(chǎn)生出（例如用迭代法）；⑤F的大小不能用通常的測(cè)度（例如長(zhǎng)度、面積等）來(lái)度量[1]。

分形理論自誕生之后便在各個(gè)學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，從物理學(xué)，材料學(xué)，動(dòng)物學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)圖像技術(shù)各個(gè)方面都取得了豐碩的成果，在地學(xué)領(lǐng)域，地質(zhì)學(xué)和地震學(xué)以及氣象學(xué)方面也將分形理論應(yīng)用在研究中，成秋明提出了多重分形現(xiàn)代成礦預(yù)測(cè)理論與模型，應(yīng)用到成礦預(yù)測(cè)和化探分析研究中，取得良好的效果；石峰，何宏林等研究了二維分形參數(shù)與構(gòu)造活動(dòng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)分維值能在一定程度上反映構(gòu)造活動(dòng)的強(qiáng)弱[2]；張慶蓮等研究了塔里木西北緣的構(gòu)造裂隙的分?jǐn)?shù)維D值，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)維越大，構(gòu)造裂隙分布越均勻，各向異性較強(qiáng)[3]；薛天放，楊慶等利用GIS技術(shù)，引用變換分形對(duì)滑坡空間分布的分形特征進(jìn)行研究，得出了滑坡與坡度、巖性、土地利用類(lèi)型均成二階累計(jì)和分形分布[4]；潘蔚利用多重分形對(duì)遙感圖像地形結(jié)構(gòu)-巖性組分分解的特征研究發(fā)現(xiàn)多重分形譜可以有效地區(qū)分巖石類(lèi)型[5]；陳颙院士在1994年刊登了<分形幾何與地球科學(xué)>系列講義，陳颙院士將分形理論與地球科學(xué)各領(lǐng)域的研究進(jìn)行綜合分析和介紹，并提出了分形的計(jì)算可信度，數(shù)學(xué)描述的嚴(yán)謹(jǐn)性，分形重構(gòu)的三個(gè)分形研究重大問(wèn)題，陳颙院士對(duì)于分形研究與地球科學(xué)的分析直至今天仍然有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。綜上可知，在地學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，分形理論對(duì)于地學(xué)研究的特征定量化和分析預(yù)測(cè)上取得了豐富的成果，而在與分形聯(lián)系最為直接的地貌學(xué)中分形理論也成為了重要的分析工具，并被視為地貌定量化研究的有效手段。

1 分形理論的地貌學(xué)意義

地貌具有典型的分形特征，不規(guī)則，具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，對(duì)于地貌的測(cè)量和刻畫(huà)會(huì)隨著尺度的變化其物理量也隨之變化，所以地貌是典型的多尺度系統(tǒng)，分形理論作為描述多尺度系統(tǒng)的有效工具，自然也在地貌學(xué)中得到廣泛應(yīng)用。分形理論在地貌學(xué)研究中的作用大致可分為四個(gè)類(lèi)型：①描述地貌形態(tài)特征，以分維作為地貌的階段性、區(qū)域性、類(lèi)型等劃分的指標(biāo)；②以分形理論來(lái)進(jìn)行地貌發(fā)育的內(nèi)、外動(dòng)力因素特征的描述；③以分形理論來(lái)建立地貌模型，首先是以分形法則進(jìn)行一般地貌景觀形態(tài)的數(shù)學(xué)生成，進(jìn)而將這種地貌生成的分形數(shù)學(xué)法則運(yùn)用于地貌發(fā)育演化機(jī)制的模擬，即由形態(tài)模型發(fā)展至過(guò)程模型；④以分形方法來(lái)描述地貌事件的時(shí)序特征[6]。

2 分形理論在地貌學(xué)中的應(yīng)用研究進(jìn)展

我國(guó)學(xué)者將分形理論與地貌學(xué)結(jié)合的應(yīng)用從上世紀(jì)90年代便如火如荼地展開(kāi)；張捷，包浩生在分形地貌學(xué)研究綜述及展望中提出了分形地貌研究的五個(gè)問(wèn)題：①地貌分形段特征的內(nèi)在成因機(jī)制研究；②地貌分維值與地貌過(guò)程的關(guān)系研究；③地形分形的尺度范圍（即無(wú)標(biāo)度區(qū)間）與主要地貌過(guò)程的尺度范圍的關(guān)系；④分形地貌模型研究的深化；⑤地貌現(xiàn)象中的時(shí)間和空間分形規(guī)律應(yīng)用于地貌過(guò)程的預(yù)測(cè)的可行性研究[6]。在這五個(gè)問(wèn)題中近些年的分形地貌方面的研究主要集中第一和第二個(gè)問(wèn)題上，即通過(guò)分形維數(shù)的計(jì)算探討其地貌學(xué)方面的意義，改變計(jì)算方法探討地貌分維值的變化問(wèn)題。

2.1 分形地貌的機(jī)制研究

機(jī)制問(wèn)題的突破和完善是一種科學(xué)方法能夠較快推廣的基礎(chǔ)，因此在早期的研究中，地貌分形的成因機(jī)制成為熱點(diǎn)。在分形地貌的內(nèi)在機(jī)制研究中，地貌發(fā)育與分維值的關(guān)系更是成為了重點(diǎn)。胡章喜，沈繼方研究了巖溶形態(tài)系統(tǒng)的分形特征，發(fā)現(xiàn)巖溶形態(tài)系統(tǒng)具有廣泛的分形特征，認(rèn)為地表巖溶峰體形態(tài)的分維與巖溶發(fā)育控制條件之間存在有機(jī)聯(lián)系，并提出分維是建立巖溶形態(tài)與發(fā)育條件聯(lián)系的橋梁[7]；李后強(qiáng)，艾南山研究了Horotn比率與流域地貌發(fā)育階段的關(guān)系，并給出了定量劃分流域發(fā)育階段的新參數(shù)[8]；何隆華，趙宏對(duì)全國(guó)14個(gè)大流域和67個(gè)小流域進(jìn)行計(jì)盒維數(shù)的計(jì)算，認(rèn)為水系的分維反映了水系所處的流域地貌侵蝕發(fā)育階段，并把劃分流域地貌發(fā)育階段的臨界值定為1.6[9]；而在梁虹，盧娟對(duì)于喀斯特流域水系分形的研究中指出，流域較大的常流水系分維值一般較小，而熵值卻較大，但分維值較小的非喀斯特干谷水系和喀斯特地下水系，其熵值卻較小；分維值較大的喀斯特干谷水系也同樣有較小的熵值；因此認(rèn)為僅以水系分維值的大小就判定流域地貌的發(fā)育演化階段的觀點(diǎn)還需進(jìn)一步研究[10]；曹華盛，李進(jìn)林在對(duì)三峽庫(kù)區(qū)水系形態(tài)分形特征的研究中沿用了何隆華，趙宏的對(duì)于流域地貌侵蝕發(fā)育階段的結(jié)論，利用計(jì)盒維數(shù)計(jì)算三峽庫(kù)區(qū)地貌的的分維值，將三峽庫(kù)區(qū)地貌發(fā)育的階段定為幼年期[11]。由上述研究可知，對(duì)于分形地貌的表征意義和機(jī)制研究出現(xiàn)了不同的觀點(diǎn)，在分形地貌應(yīng)用最為廣泛的流域地貌的研究中，對(duì)于分形與地貌侵蝕階段的結(jié)合理論還值得商榷，而巖溶形態(tài)發(fā)育及其它地貌發(fā)育與分形維數(shù)的關(guān)系還亟待更多的研究發(fā)現(xiàn)。茍嬌嬌等基于DEM數(shù)據(jù)采用計(jì)盒、關(guān)聯(lián)維2種方法研究了黃土高原溝谷節(jié)點(diǎn)的分形特征，其結(jié)果顯示CJS分形特征與黃土地貌的發(fā)育相關(guān)，不同地貌類(lèi)型呈現(xiàn)出不同的分形維數(shù)；但2種分形方法度量出的分維值差異均能與地貌類(lèi)型保持對(duì)應(yīng)，分形維數(shù)排序?yàn)椋狐S土梁峁?fàn)钋鹆隃羡?gt;黃土破碎塬>黃土梁狀丘陵溝壑>黃土塬>黃土山地>黃土峁梁狀丘陵溝壑>黃土風(fēng)蝕沙丘；其聚類(lèi)分析結(jié)果表明22個(gè)樣區(qū)可劃分為4個(gè)類(lèi)型，大致對(duì)應(yīng)劇烈侵蝕區(qū)、強(qiáng)烈侵蝕區(qū)、中度侵蝕區(qū)、輕度侵蝕區(qū)；研究表明了分形方法能較好的刻畫(huà)黃土高原不同地貌溝谷節(jié)點(diǎn)特征，并能一定程度上反映溝谷侵蝕狀況[12]。

2.2 分形維數(shù)與地貌形態(tài)表征關(guān)系

在分形維數(shù)表征地貌發(fā)育階段的理論存在爭(zhēng)議的情況下，分形維數(shù)在地貌表征意義上開(kāi)始回歸到分形地貌研究的開(kāi)始，也即是用分形維數(shù)表征地貌形態(tài)的復(fù)雜性，不均勻性等特征，再與地貌營(yíng)力作用的方式、強(qiáng)度等因素相對(duì)應(yīng)進(jìn)行分析，這種研究思路也逐漸成為近年來(lái)分形地貌研究的主流，在各種不同的地貌類(lèi)型的研究中也將分形維數(shù)方法作為描述形態(tài)特征定量化的方法進(jìn)行嘗試。單一的分形維數(shù)計(jì)算方法方法具有使用便捷，結(jié)果簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)，對(duì)形態(tài)特征的刻畫(huà)和簡(jiǎn)化具有優(yōu)勢(shì)，因此，在分形地貌研究中，單一的分形維數(shù)計(jì)算方法應(yīng)用最為廣泛，并始終有其特殊的研究?jī)r(jià)值。徐健華等將分形維數(shù)引入到沙漠化和風(fēng)沙地貌的形態(tài)研究中，其研究表明作為風(fēng)沙地貌的物質(zhì)基礎(chǔ)沙粒和幾何實(shí)體沙丘均具有分形特征，而且提出風(fēng)沙流結(jié)構(gòu)不但是分形，而且是多重分形，其分維值與風(fēng)速有著極大的關(guān)系，該研究還表明沙漠化過(guò)程具有多重分形特征，如果用降水和風(fēng)速為標(biāo)度度量沙漠化過(guò)程，都表現(xiàn)出某種不規(guī)則性[13]。許模等運(yùn)用半徑法、越度長(zhǎng)度和網(wǎng)格法對(duì)喀斯特地貌進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，其結(jié)果表明：洼地形態(tài)分布具有明顯的分形特征，有兩個(gè)標(biāo)度區(qū)，半徑維數(shù)分別為1.87和0.6，洼地密度從中心向外遞減；地形等高線具有自相似性分形特征[14]。該研究表明喀斯特微地貌存在明顯的分形現(xiàn)象；蔡凌雁等利用計(jì)盒維數(shù)法計(jì)算陜北黃土高原不同地貌類(lèi)型的河網(wǎng)分形維數(shù)，研究其空間分布特征，其結(jié)果表明：陜北黃土高原不同地貌類(lèi)型分形結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度各異，表現(xiàn)出不同大小的水系分維值和穩(wěn)定性系數(shù)，其中，黃土峁?fàn)?、梁狀丘陵溝壑區(qū)地貌結(jié)構(gòu)最為復(fù)雜，分維值最大，穩(wěn)定性系數(shù)最小。黃土殘塬、黃土塬區(qū)分維值次之。黃土—風(fēng)沙過(guò)渡區(qū)地形結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，地勢(shì)相對(duì)平坦，分維值最低，穩(wěn)定性程度最高[15]。該研究表明計(jì)盒維數(shù)作為使用最為便捷和廣泛的單一分形方法在黃土高原地貌的形態(tài)刻畫(huà)上同樣具有較好的效果，能夠?qū)⒉煌孛差?lèi)型的特征明顯的區(qū)隔開(kāi)來(lái)；王濤等利用計(jì)盒維數(shù)和回歸分析方法研究了膠東半島丘陵區(qū)沖溝溝長(zhǎng)的形態(tài)特征，其結(jié)果表明溝長(zhǎng)分維數(shù)與溝長(zhǎng)分形曲折度可用來(lái)表征河流溝谷地貌形態(tài)特征，并且這兩個(gè)參數(shù)所構(gòu)建的單因子模擬模型相較于坡度、剖面曲率、地表粗糙度構(gòu)建的單因子模擬模型具有更高的精度[16]。

2.3 多重分形與地貌形態(tài)表征關(guān)系

多重分形能夠展現(xiàn)分形體更多的細(xì)節(jié)，從數(shù)學(xué)定義上利用概率分布函數(shù)描述了分形體內(nèi)部物理量之間的差別，因此多重分形是更為精確和準(zhǔn)確地刻畫(huà)分形體的方法。在分形地貌研究中，多重分形方法也被視為對(duì)地貌形態(tài)更為精確的表征方法。李錳等在天山地區(qū)地貌系統(tǒng)的分形維數(shù)研究中指明，地貌形態(tài)并不是完全隨機(jī)的，而是一種確定性隨機(jī)；不同標(biāo)度區(qū)間的分維值表征了內(nèi)外營(yíng)力作用的方式，強(qiáng)度和空間尺度；單一作用機(jī)制形成單一標(biāo)度特性（簡(jiǎn)單分形）的地貌形態(tài)，復(fù)雜作用機(jī)制形成大量子集交疊而成的不均勻復(fù)雜分形。據(jù)此，可以利用多重分形譜值域的寬窄定量分析各種無(wú)法截然分開(kāi)的地貌形態(tài)及作用機(jī)制的不均勻性和奇異程度[17]。陳旺等利用高程多重分形譜模型對(duì)典型喀斯特流域地貌形態(tài)進(jìn)行分析，指出多重分形理論構(gòu)建的高程多重分形譜模型能挖掘出更全面、更精細(xì)karst流域地貌形態(tài)信息，其中高程多重分形譜模型中的寬度定量表征出了karst流域地貌的起伏程度，多重分形譜最大、最小子集維數(shù)的差值定量表征了地貌形態(tài)的差異性，而且根據(jù)多重分形譜的參數(shù)隨DEM分辨率變化關(guān)系并結(jié)合廣義熵理論，確定了karst地貌形態(tài)研究的數(shù)據(jù)的空間分辨率最優(yōu)范圍在（0-15]之間[18]；王民等利用多重分形對(duì)大理河流域地貌進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)大理河流域地貌形態(tài)變化自上游向下游趨于復(fù)雜，而且大理河右岸地貌復(fù)雜程度相對(duì)較大[19]；曹建軍等利用多重分形方法研究了黃土高原不同地貌類(lèi)型區(qū)溝沿線的形態(tài)特征，結(jié)果表明多重分形譜的變化（用2個(gè)多重分形譜參數(shù)△Χ和△f（α）定量表征）較準(zhǔn)確地反映了不同黃土地貌類(lèi)型區(qū)溝沿線地形起伏特征及發(fā)展趨勢(shì)[20]；這些分形方法都是基于多重分形的數(shù)學(xué)定義進(jìn)行計(jì)算的，該方法在實(shí)際操作中較為繁瑣且難度較大，因此對(duì)于多重分形算法的轉(zhuǎn)換成為了分形算法研究的一條道路。龍毅等以陜西省典型黃土地貌樣區(qū)為實(shí)驗(yàn)區(qū)，運(yùn)用元分維模型，以計(jì)算得到的元分維值作為特征指標(biāo)，研究樣區(qū)的地形復(fù)雜度問(wèn)題，元分維模型是龍毅提出的，他認(rèn)為在地貌區(qū)域中，某一地貌單元的相鄰空間在形態(tài)、結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)成因等方面通常具有更大的相似性，因而，在分形分析中，可以采用數(shù)字圖像分析中類(lèi)似“滑動(dòng)窗口”的方法來(lái)進(jìn)行。實(shí)驗(yàn)表明：以綏德和延川為代表的黃土峁?fàn)钋鹆隃羡謪^(qū)最為復(fù)雜，以宜君和甘泉為代表的梁狀丘陵溝壑區(qū)居中，而以淳化為代表的黃土塬區(qū)和以神木為代表的風(fēng)沙黃土過(guò)渡區(qū)最為平緩。實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步證明了擴(kuò)展分形方法在黃土地貌研究中的可行性[21]。元分維模型可以看作多重分形方法的一種特殊的計(jì)算方法，可以視為結(jié)合地理學(xué)的多重分形方法的創(chuàng)新，并在之后得到了更廣泛的應(yīng)用；石峰等采用元分維模型計(jì)算了滇西南地區(qū)的二維分形參數(shù)，其研究還將巖性、氣候因素和構(gòu)造活動(dòng)與分維值結(jié)合分析，其結(jié)果顯示：分維值與構(gòu)造活動(dòng)因素相關(guān)性很好，在構(gòu)造活動(dòng)強(qiáng)烈區(qū)域分維值較低，在構(gòu)造活動(dòng)不強(qiáng)烈區(qū)域分維值較高[22]；朱永清等利用分形信息維數(shù)研究了該維數(shù)與像元尺度的關(guān)系，該研究表明：像元尺度對(duì)地貌分形信息維數(shù)的元標(biāo)度區(qū)間確定十分關(guān)鍵；跨流域地貌形態(tài)特征分形信息維數(shù)計(jì)算與評(píng)估應(yīng)以統(tǒng)一像元尺度為前提[23]。

3 分形計(jì)算方法

根據(jù)數(shù)學(xué)定義，可以簡(jiǎn)單地將分形分為分形和多重分形兩種分形計(jì)算方法，而兩種分形計(jì)算各有其數(shù)學(xué)定義。分形維數(shù)計(jì)算方法由分形維數(shù)的定義所得出，分形維數(shù)的定義可以分為豪斯道夫維數(shù)和廣義維數(shù)，而多重分形則利用多重分形譜曲線和分形維特征函數(shù)進(jìn)行描述。

3.1 豪斯道夫維數(shù)

豪斯道夫維數(shù)具有李普希茨變換的不變性，由此性質(zhì)定義了相同的分形幾何的集合，因此豪斯道夫維數(shù)即是分形維數(shù)的嚴(yán)格定義；但由于在實(shí)際運(yùn)算和操作中，豪斯道夫維數(shù)計(jì)算難以實(shí)現(xiàn)，便常用容量維數(shù)（即計(jì)盒維數(shù)）代替豪斯道夫維數(shù)，統(tǒng)稱(chēng)為分形維數(shù)。

3.2 容量維數(shù)

容量維數(shù)即是計(jì)盒維數(shù)，這是目前在分形研究中使用最為廣泛，也是最為便捷的方法。其原理可以理解為取邊長(zhǎng)為δ的小盒子，把分形覆蓋起來(lái)，由于分形內(nèi)部有各種層次的空洞和縫隙，所以有些小盒子是空的，有些小盒子覆蓋了分形的一部分，計(jì)數(shù)非空盒子數(shù)目，記作N（δ），縮小盒子尺寸δ，所得N（δ）增大，當(dāng)δ→0時(shí)，所得N（δ）即為容量維數(shù)；容量維數(shù)必須在符合標(biāo)度關(guān)系即：

若不存在這種標(biāo)度關(guān)系，就不能使用分維的概念。除了豪斯道夫維數(shù)與容量維數(shù)外，還有由容量維數(shù)算法所擴(kuò)充的信息維數(shù)，關(guān)聯(lián)維數(shù)等，而容量維數(shù)、信息維數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)都可以看作是廣義維數(shù)的特例。

3.3 多重分形直接計(jì)算法

用尺度為？啄的“盒子”對(duì)分形空間中的分形集進(jìn)行劃分，定義每個(gè)盒子里的奇異概率測(cè)度Pi（？啄）給定的q值，對(duì)于不同的尺度？啄，計(jì)算并繪制相應(yīng)的雙對(duì)數(shù)曲線，找出圖中的無(wú)標(biāo)度區(qū)，用最小二乘法計(jì)算出該段曲線的斜率，其絕對(duì)值即為給定的q值的廣義維數(shù)Dq。

4 問(wèn)題與討論

4.1 同形異維問(wèn)題與同維異形問(wèn)題

在分形理論運(yùn)用到地貌學(xué)之初，分形維數(shù)的臨界值問(wèn)題是研究的焦點(diǎn)之一，而隨著對(duì)于分形理論本身認(rèn)識(shí)的加深，試圖用臨界值對(duì)復(fù)雜地貌過(guò)程進(jìn)行詮釋的想法顯得不切實(shí)際，究其本源在于分形維數(shù)的嚴(yán)格計(jì)算如豪斯道夫維數(shù)的計(jì)算在實(shí)踐中幾乎不可能，其它如計(jì)盒維數(shù)和多重分形計(jì)算方法也難以做到對(duì)復(fù)雜地貌的分形特征完整描述；而同形異維問(wèn)題和同維異形問(wèn)題也成為了在分形地貌研究中的難點(diǎn)，眾多研究者針對(duì)這個(gè)問(wèn)題對(duì)分形算法本身和分形地貌研究的材料和數(shù)據(jù)進(jìn)行不斷地改進(jìn)和檢驗(yàn)，在材料尺度和分辨率選擇方面也取得了大量成果；陳旺，梁虹等運(yùn)用多重分形模型對(duì)喀斯特小流域的地貌形態(tài)信息進(jìn)行研究，其結(jié)果表明高程多重分形譜模型中的寬度定量表征出了喀斯特流域地貌的起伏程度，并且根據(jù)多重分形譜的參數(shù)隨DEM分辨率變化關(guān)系并結(jié)合廣義熵理論，確定了喀斯特地貌形態(tài)研究的數(shù)據(jù)的空間分辨率最優(yōu)范圍在（0-15]之間；對(duì)于某一具體的分形客體，該選擇哪一種分形維數(shù)，需要研究該客體的分形特征，每一種分形維數(shù)都有它的適用范圍，對(duì)有些對(duì)象可以適用，而對(duì)另一些就可能完全不適用。有時(shí)候?yàn)榱搜芯磕骋环中慰腕w，需要用到多種不同的分形維數(shù)[18]；陶象武在流域地貌形態(tài)分形空間變異特征研究中變指出地貌分形只具有統(tǒng)計(jì)意義，只適用在一定的范圍內(nèi)，范圍不同會(huì)計(jì)算出或大或小的分維值[24]，并在其研究中將不同像元尺度，不同無(wú)標(biāo)度區(qū)間下的分維值進(jìn)行分析，其結(jié)果表明相同的像元長(zhǎng)度下，不同的無(wú)標(biāo)度區(qū)間，分維值不同；不同的像元長(zhǎng)度，相同的無(wú)標(biāo)度區(qū)間，分維值不相同[24]。范勇在線狀地貌分形研究綜述中指出計(jì)算方法不同分維值有差異，圖源比例尺不同分維值有差異[25]。分維計(jì)算的不確定性使得分形理論的應(yīng)用受到限制。

4.2 分形理論自身的局限

分形維數(shù)作為唯一一個(gè)刻畫(huà)地理事物的性狀特征的量，過(guò)于單一，分形理論本身是從形態(tài)的角度探討不規(guī)則事物尺度變換下的不變性，是從具有隨機(jī)性的復(fù)雜事物中找尋其確定性，其優(yōu)勢(shì)在于對(duì)事物本身特征的簡(jiǎn)化和凝練，使得分形維數(shù)可以作為特征值對(duì)事物進(jìn)行描述和機(jī)制分析，作為特征量可以將事物區(qū)隔開(kāi)（具有計(jì)算方法和材料尺度的限定前提）；將分形維數(shù)視為描述地理事物的性質(zhì)特征的量，僅以這個(gè)特征量將事物定量化表達(dá)是明顯單薄的，并不能反映事物的完整信息；在地貌學(xué)的研究中，從宏觀角度看分形維數(shù)可以作為量化特征，但這樣是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，分析理論與混沌理論、耗散結(jié)構(gòu)論都有密切的關(guān)系，然而這些理論的研究難度和現(xiàn)有的研究能力是不匹配的，尤其是涉及到物理機(jī)制；因此，除了這些理論之外，分形理論需要跟現(xiàn)有的已經(jīng)成熟的方法理論相結(jié)合。

4.3 分形地貌物理機(jī)制問(wèn)題

分形反映出物理現(xiàn)象的多尺度性、臨界性、奇異性、間歇性、不可微等特征，而且由于自我復(fù)制而產(chǎn)生的分形層次結(jié)構(gòu)使分形具有長(zhǎng)程相關(guān)性和記憶性[26]。分形地貌研究早期更多集中在對(duì)于臨界性的研究，地貌發(fā)育過(guò)程與分形理論的關(guān)系更是關(guān)注的重點(diǎn)，但由于上文所述分形地貌已經(jīng)被證明更多的意義在于統(tǒng)計(jì)上，這是由分形計(jì)算本身存在的問(wèn)題，以及地貌系統(tǒng)本身的復(fù)雜性所共同決定的；所以近年來(lái)分形地貌對(duì)于地貌學(xué)方面的物理意義更多地體現(xiàn)在了多尺度性上，更多的研究放在了對(duì)于地貌形態(tài)特征的描述上面。

5 展望

5.1 探討研究尺度對(duì)分形維數(shù)的影響

地貌分形并不是數(shù)學(xué)分形，分形地貌的研究受到研究材料、分形算法的制約，所以必然是存在尺度差異的，也必然算法結(jié)果的差異；在尺度差異和算法差異中探討分形維數(shù)的變化顯得十分必要，這方面的研究有助于對(duì)地貌形態(tài)特征的認(rèn)識(shí)更加深入和具體化，有助于提高分形地貌研究的實(shí)用價(jià)值；而近年來(lái)的研究中較少有分析研究尺度對(duì)分形維數(shù)的影響，因此，在以后分形地貌的研究需要多尺度的研究材料、多種分形算法的結(jié)合，以這種結(jié)合促進(jìn)對(duì)地貌形態(tài)分形特征的深入理解具有重要的研究?jī)r(jià)值。

5.2 實(shí)踐中將分形理論與小波分析等理論進(jìn)行綜合研究

小波分析與分形理論本身便具有極強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，小波變換具有標(biāo)度不變性，這和分形的特征相一致。小波變換比傅里葉變換多了一個(gè)時(shí)間位置參數(shù)，可以用來(lái)判別函數(shù)的突變點(diǎn)[26]。在進(jìn)行分形計(jì)算的時(shí)候可以考慮使用小波變換求取分維值，將二者結(jié)合進(jìn)行圖像分類(lèi)應(yīng)用等，在相關(guān)的遙感影像的研究中已經(jīng)使用過(guò)二者結(jié)合的方法并取得不錯(cuò)的效果[26]；除了小波分析，其它的的動(dòng)力學(xué)理論與分形理論在地貌學(xué)研究的結(jié)合更需要探索，分形地貌絕不僅僅是簡(jiǎn)單的分形幾何問(wèn)題，將分形動(dòng)力學(xué)與地貌學(xué)的動(dòng)力形成機(jī)制結(jié)合是分形地貌學(xué)研究的核心問(wèn)題，分形幾何能夠反映地貌的宏觀形態(tài)機(jī)制，但內(nèi)在的動(dòng)力機(jī)制必須將地貌學(xué)的相關(guān)理論引入進(jìn)來(lái)，比如河流動(dòng)力學(xué)原理等等具體的地貌動(dòng)力學(xué)原理；將地貌的動(dòng)力學(xué)原理的與分形理論的綜合是揭示分形地貌動(dòng)力學(xué)機(jī)制的關(guān)鍵。

5.3 分形數(shù)值模擬模型的深入研究

以微地貌為對(duì)象，運(yùn)用分形數(shù)值模擬模型，結(jié)合地貌變化的動(dòng)力學(xué)機(jī)制進(jìn)行深入拓展。海岸地貌、黃土地貌、喀斯特地貌等地貌的微地貌變化過(guò)程的模擬均可作為分形數(shù)值模擬的研究對(duì)象，地貌變化的動(dòng)力學(xué)機(jī)制與分形理論的結(jié)合是分形地貌的難點(diǎn)，重點(diǎn)問(wèn)題，脫離動(dòng)力過(guò)程的分形地貌分析難以揭示地貌的分形特征和地貌的分形研究的具體意義；分形數(shù)值模擬模型的深入應(yīng)用是推進(jìn)分形地貌實(shí)踐的重要手段。

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