王卓然，何小妹

(中國航空工業(yè)集團(tuán)公司北京長城計量測試技術(shù)研究所，北京 100095)

0 引言

在航空發(fā)動機(jī)葉片的測量中，常用坐標(biāo)測量機(jī)來完成葉片型面的測量［1］。葉片型面測量的實質(zhì)是對復(fù)雜曲面的測量，在測量過程中采用矢量化測量，即沿著法矢方向進(jìn)行接觸式測量。坐標(biāo)機(jī)得到的葉片點(diǎn)云對應(yīng)測頭球心的坐標(biāo)，但與實際需要的接觸點(diǎn)坐標(biāo)之間存在誤差。該誤差的引入對后續(xù)擬合等數(shù)據(jù)處理存在影響。因此，需要進(jìn)行測頭半徑補(bǔ)償，以抵消實際軌跡與測量軌跡之間的差異。

目前，坐標(biāo)測量機(jī)廣泛采用一種二維在線自動補(bǔ)償方法，即在測量時，將測量點(diǎn)和測頭半徑的關(guān)系都簡單處理成存在偏移，從而自動完成數(shù)據(jù)的測頭半徑補(bǔ)償［2］。對一些由規(guī)則形狀組成的表面的測量，如平面等，該補(bǔ)償方法是準(zhǔn)確的。但對于復(fù)雜曲面，如發(fā)動機(jī)葉片曲面，測量方向和測量點(diǎn)的法矢有可能不一致，用此補(bǔ)償方法進(jìn)行補(bǔ)償會造成補(bǔ)償誤差［3］。另外，還可根據(jù)已知的解析函數(shù)表達(dá)式，利用對函數(shù)表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)，得出各測量點(diǎn)處的法向矢量［4］。但是由于在實際葉片測量中，葉片曲面較為復(fù)雜，且函數(shù)表達(dá)式多數(shù)為未知量，所以此方法并不適用于葉片測量中的測頭半徑補(bǔ)償［5］。

為了彌補(bǔ)現(xiàn)有方法存在的計算過程繁瑣、效率低下的缺點(diǎn)，并解決在復(fù)雜曲面補(bǔ)償中存在的內(nèi)部程序處理時間較長和補(bǔ)償精度不理想等問題，本文在現(xiàn)有算法的基礎(chǔ)上，提出了一種快速測頭半徑補(bǔ)償算法。該算法能夠在保證補(bǔ)償精度的情況下，最大限度地提升計算效率，從而更高效地應(yīng)用于實際測量中。

1 測頭半徑的引入誤差

為分析測頭半徑補(bǔ)償原理，首先闡述測頭半徑引入誤差的原因。在測量葉片時得到的球心軌跡與葉片曲面的表面距離為測頭半徑。測量過程中，球心與接觸面軌跡如圖1所示。測頭與被測葉片曲面接觸時，球心在被測點(diǎn)的法線上，而被測點(diǎn)一定在球心軌跡面經(jīng)過球心點(diǎn)的法線上。

圖1 球心與接觸面軌跡示意圖Fig．1 Trajectory of center of the sphere and the contact surface

坐標(biāo)測量機(jī)在對曲線、曲面進(jìn)行測量時，所給出的是測頭球心的軌跡，并不是實際接觸點(diǎn)的坐標(biāo)。所以，此時得到測量結(jié)果與實際存在偏差。在對類似航空發(fā)動機(jī)葉片的精確測量中，該誤差是無法忽略的。通過對測頭半徑的補(bǔ)償，得到更精準(zhǔn)的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，為之后的曲面擬合等高精度數(shù)據(jù)處理打下基礎(chǔ)。

2 測頭半徑誤差補(bǔ)償

2．1 測頭半徑補(bǔ)償原理

為實現(xiàn)測頭半徑補(bǔ)償，必須知道被測曲面與測頭接觸點(diǎn)處的法矢。所以，測頭半徑補(bǔ)償?shù)暮诵膯栴}就是確定被測曲面接觸點(diǎn)處的法矢。

補(bǔ)償原理是根據(jù)數(shù)學(xué)方法，求取測頭中心點(diǎn)坐標(biāo)沿測量方向的法矢量。在得到的法矢量的基礎(chǔ)上，通過增加或減少測頭半徑的長度，得到實際測量點(diǎn)處的坐標(biāo)。具體用公式可以表述為:以接觸點(diǎn)處的法矢n近似代替被測葉片曲面實際接觸點(diǎn)處被測曲面的法矢。實際接觸點(diǎn)qi，j的計算公式為:

式中:r為測頭半徑，被測曲面為凸曲面時，取“+”號;被測曲面為凹曲面時，取“－”號。在此方法中，選取符號為“－”。

2．2 曲線補(bǔ)償

實際的葉片型面測量中，往往采用掃描方式。具體過程為:將測頭移動至初始測量點(diǎn)，保持某一坐標(biāo)值不變(比如z軸)，移動測頭使其在相應(yīng)平面(XOY)內(nèi)掃描直至邊界點(diǎn)。然后，通過改變z軸坐標(biāo)，按同樣掃描方法掃描不同高度的曲線，直至遍布整個待測曲面。

曲線補(bǔ)償具體過程如下。

在葉片測量中，坐標(biāo)機(jī)得到曲線上的n個測量點(diǎn)。將曲線上得到的3個連續(xù)測量點(diǎn)設(shè)為P1、P2、P3，從而得到 3 個點(diǎn)坐標(biāo)，分別為 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)。測頭半徑補(bǔ)償原理如圖2所示。

圖2 測頭半徑補(bǔ)償原理圖Fig．2 Pinciple of probe radius compensation

由于坐標(biāo)機(jī)在對葉片測量的過程中得到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)量很大，所以3個連續(xù)點(diǎn)的曲線段很小，可以理解為一段小圓弧上的臨近點(diǎn)。P1、P2、P3滿足圓方程:

式中:(x，y)為接觸點(diǎn)坐標(biāo)。

對該方程進(jìn)行求解，得到P1、P2、P3所在小圓弧的圓心坐標(biāo)O(m，n)和圓的半徑r。連接P2點(diǎn)和O點(diǎn)，線段P2O為P1、P2、P3所在小圓弧的法向線段。以P2為圓心，作一個半徑等于測頭半徑R的圓，與線段P2O相交于點(diǎn)。

2．3 曲面補(bǔ)償

根據(jù)空間內(nèi)不共面的4個點(diǎn)，能確定一個球，且該球面唯一。在坐標(biāo)機(jī)測量點(diǎn)P的周圍一個非常小的區(qū)域內(nèi)，可以近似地認(rèn)為這一小塊曲面是一個球面。在這個確定的球面上，所有點(diǎn)的法矢量都可以認(rèn)為是球面上點(diǎn)與球心連線的方向。所以，這里根據(jù)被測量曲面上不共面的4個點(diǎn)來求解此微小區(qū)域的法矢。由于在葉片測量中，點(diǎn)云數(shù)據(jù)量密集，所以可以認(rèn)為所選4個相鄰點(diǎn)無限趨近。此時，所確定的球面法矢也可以認(rèn)為是測量點(diǎn)處法矢。以下從數(shù)學(xué)的角度來闡述該方法的實現(xiàn)過程。

測量得到不同z值下的點(diǎn)云數(shù)據(jù)。根據(jù)測量的方向，把數(shù)據(jù)視為一個i行j列的數(shù)組。若要對其中某點(diǎn)Pi，j進(jìn)行補(bǔ)償，則可以取 Pi，j－1、Pi，j、Pi，j+1、Pi+1，j4 個點(diǎn)。曲面補(bǔ)償原理如圖3所示。

圖3 曲面補(bǔ)償原理圖Fig．3 Principle of curved surface compensation

當(dāng)選取4點(diǎn)構(gòu)成的曲面趨近于無限小時，將其近似認(rèn)為一個球面。將4個點(diǎn)構(gòu)成球面的球心坐標(biāo)設(shè)為Oi，j，確定的法矢為 Pi，j、Oi，j這 2 點(diǎn)的連線。根據(jù)法矢方向，將測量點(diǎn)在空間內(nèi)移動一個測頭半徑的長度，以解算實際點(diǎn)坐標(biāo)。法矢量為:

通過對上述數(shù)值進(jìn)行單位化處理，即可得到被測點(diǎn)的單位法向矢量。補(bǔ)償后，所求得的實際接觸點(diǎn)Pi，j的坐標(biāo)為:

式中:O(x0，y0，z0)為球心點(diǎn)坐標(biāo)。

根據(jù)補(bǔ)償后的點(diǎn)擬合而成的曲面，即為被測葉片的實際曲面。

3 測頭半徑補(bǔ)償仿真試驗

判斷測頭半徑補(bǔ)償方法是否較其他方法存在優(yōu)勢，主要從補(bǔ)償精度和補(bǔ)償所耗時間兩個方面入手。補(bǔ)償精度主要指補(bǔ)償后數(shù)據(jù)的真實度。補(bǔ)償所耗時間則是在需要補(bǔ)償大量點(diǎn)云數(shù)據(jù)的情況下，補(bǔ)償程序的運(yùn)行時間。理想的情況是在耗費(fèi)很少運(yùn)行時間的同時保證補(bǔ)償?shù)母呔?。但是，在實際測量中，高精度往往意味著耗費(fèi)較長的時間。

為了對該方法進(jìn)行精度分析，在Matlab中編寫程序，以實現(xiàn)本文所提出的補(bǔ)償方法。利用本文提出的補(bǔ)償方法，進(jìn)行測頭半徑補(bǔ)償?shù)姆抡嬖囼灐?/p>

仿真試驗具體過程為:從坐標(biāo)機(jī)測量得到點(diǎn)云數(shù)據(jù)中截取121個連續(xù)點(diǎn)。測量使用的坐標(biāo)機(jī)測頭半徑為0．2 mm。運(yùn)行程序得到實際接觸葉片曲面的點(diǎn)坐標(biāo)。求出每一個補(bǔ)償?shù)玫降膶嶋H接觸點(diǎn)與理論值的差值。將坐標(biāo)機(jī)測量點(diǎn)進(jìn)行仿真，得到的實際接觸點(diǎn)坐標(biāo)與接觸點(diǎn)坐標(biāo)理論值 Q(rn，sn，tn)，并進(jìn)行比對，n=1，2，…，120。分別求，并求出最大值。此時，根據(jù)測量原理，z'值不變。補(bǔ)償結(jié)果為:x=rn－=0．000 677 696，y=(sn－)max=8．248 79e-05。

通過比較2種方法的補(bǔ)償結(jié)果，可以看出，本文所提出的快速補(bǔ)償方法與其他算法的誤差非常小，幾乎可以忽略不計，從而驗證了本方法能夠保證精度。

補(bǔ)償所耗時間可以用方法的計算量來表征，計算量越大，補(bǔ)償耗時越多;反之亦然［6-9］。在本文所述方法中，補(bǔ)償數(shù)據(jù)的計算主要有求解圓或球的特征點(diǎn)、與直線的交點(diǎn)組成，根據(jù)點(diǎn)云數(shù)據(jù)的具體數(shù)目來決定循環(huán)的次數(shù)，得到總的計算量。本文方法即使在大量點(diǎn)云數(shù)據(jù)的情況下，計算量也是非常少的。

如果在實際測量中需要更高的精度，可以提高點(diǎn)云數(shù)據(jù)的采集密度，通過更密集的數(shù)據(jù)來獲取更高的精度;同時，也可以通過插補(bǔ)點(diǎn)的方法來得到更高的精度，但插補(bǔ)過程會占用一定時間。

綜上所述，本文所提出方法能夠在補(bǔ)償耗時較少，即補(bǔ)償效率盡可能高的情況下，保持很好的補(bǔ)償精度。在實際葉片測量的測頭半徑補(bǔ)償中，本文所提出的方法由于計算時間較少，對于提高葉片測量的效率具有重要意義。而與常用的存在原理誤差的在線補(bǔ)償法相比，本文方法的精度有顯著提高，所以廣泛適用于航空發(fā)動機(jī)葉片測量的坐標(biāo)機(jī)測頭半徑補(bǔ)償。

4 結(jié)束語

本文所提出的半徑補(bǔ)償方法，能夠有效解決現(xiàn)有方法無法同時保證精度與補(bǔ)償時間的問題。通過仿真試驗結(jié)果可知，本文方法在計算速度快的同時，能夠保證精度。該方法在葉片測量中具有很強(qiáng)的實用性，并對下一步葉片曲線、曲面擬合的精確度的提升具有重要意義，可以廣泛應(yīng)用于發(fā)動機(jī)葉片或其他復(fù)雜零件的測量。