矩的概念在圖像處理中的意義

徐亞超　賈兆棟

摘 要： 本文論述了矩的概念在圖像處理中的意義，首先分析了矩的物理意義，進(jìn)而分析演算了其數(shù)學(xué)意義，最終進(jìn)一步理解矩的圖像意義。分析表明，矩在數(shù)字圖像處理和模式識(shí)別中的普遍應(yīng)用均有其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈锢砗x和數(shù)學(xué)邏輯。

關(guān)鍵詞： 矩 物理學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué) 圖像處理 模式識(shí)別

0引言

機(jī)器視覺技術(shù)的發(fā)展是智能化世界到來(lái)的強(qiáng)大推手，而機(jī)器視覺研究的重點(diǎn)之一是模式識(shí)別，高效的提取圖像中的特征信息是模式識(shí)別的重點(diǎn)研究課題。本文首先闡述了矩的物理意義，進(jìn)而分析演算了其數(shù)學(xué)意義，最后論述了矩在圖像處理中的科學(xué)意義。

1物理中的矩

在力學(xué)中，矩是表示距離和物理量乘積的物理量，表征物體的空間分布。原則上任何物理量和距離相乘都會(huì)產(chǎn)生力矩，質(zhì)量，電荷分布等。單個(gè)點(diǎn)的力矩：，多個(gè)點(diǎn)則是積分的空間密度：，如果點(diǎn)表示質(zhì)量，則第零矩是總質(zhì)量，一階矩是重心，二階矩是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2數(shù)學(xué)中的矩

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，矩表征隨機(jī)量的分布。如一個(gè)“二階矩”在一維上可測(cè)量其“寬度”，在更高階的維度上由于其使用于橢球的空間分布。其他矩用來(lái)描述諸如與均值的偏差分布情況（偏態(tài)），或峰值的分布情況（峰態(tài)）。實(shí)數(shù)域的實(shí)函數(shù)相對(duì)于值c的n階矩為：，如果點(diǎn)表示概率密度，則第零階矩表示總概率（即1），1，2，3階矩依次為以下三項(xiàng)。數(shù)學(xué)中的概念與物理學(xué)中矩的概念密切相關(guān)。

隨機(jī)變量的期望定義為其一階原點(diǎn)矩。在方差等定義中，期望也成為隨機(jī)變量的“中心”。隨機(jī)變量的方差定義為其二階中心矩：。

歸一化n階中心矩或者說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)矩，是n階中心矩除以標(biāo)準(zhǔn)差，歸一化n階中心矩：，這些歸一化矩是無(wú)量綱值，表示獨(dú)立于任何尺度的線性變化的分布。

隨機(jī)變量的偏態(tài)定義為其三階中心矩。需要注意，任何對(duì)稱分布偏態(tài)為0，歸一化三階矩被成為偏斜度，向左偏斜具有負(fù)偏度，向右偏斜分布具有正偏度。一般隨機(jī)變量的峰度定義為其四階中心矩與方差平方的比值再減3。峰度表示分布的波峰和尾部與正態(tài)分布的區(qū)別，完全符合正態(tài)分布的數(shù)據(jù)峰度值為0?；旌暇厥嵌鄠€(gè)變量的矩，比如協(xié)方差，協(xié)偏度，協(xié)峰度。構(gòu)建為中心轉(zhuǎn)換。

3圖像的“不變矩”

在圖像處理中，圖像矩是圖像像素強(qiáng)度的某個(gè)特定加權(quán)平均（矩）。通過(guò)圖像矩得到的圖像的簡(jiǎn)單屬性包括面積（或總強(qiáng)度），其質(zhì)心和關(guān)于其方向信息。中心矩在數(shù)字圖像處理中可以改寫為：

。

矩不變量不變量本身的唯一矩是中心矩。 通過(guò)構(gòu)造，任意階中心矩相對(duì)于平移都是不變的。相對(duì)平移和尺度的不變量可以通過(guò)適當(dāng)?shù)目s放零階中心矩陣從中心矩構(gòu)建：，平移不變量?jī)H僅在中心矩時(shí)直接跟隨使用。我們經(jīng)常提到的Hu矩七個(gè)不變矩的構(gòu)造即是平移、放縮和旋轉(zhuǎn)不變的。

4結(jié)語(yǔ)

一階矩與形狀有關(guān)，二階矩顯示曲線圍繞直線平均值的擴(kuò)展程度，三階矩則是關(guān)于平均值的對(duì)稱性的測(cè)量。不變矩是圖像的統(tǒng)計(jì)特性，滿足平移、伸縮、旋轉(zhuǎn)均不變的不變性。由三階矩以下矩構(gòu)成的七個(gè)矩不變量具有平移、旋轉(zhuǎn)和尺度不變性等等。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：一作：徐亞超（1992—），漢，籍貫山東泰安，研究生，山東科技大學(xué)，研究方向：機(jī)器視覺與模式識(shí)別。

二作：賈兆棟（1990—），漢，籍貫山東泰安，研究生，山東科技大學(xué)，研究方向：機(jī)器視覺與模式識(shí)別。