一道數(shù)學(xué)錯(cuò)題里的思維奔流

文 李保偉（浙江麗水市文元集團(tuán)文元小學(xué)）

一次，我布置的家庭作業(yè)中有一道這樣的題：求以5為軸的旋轉(zhuǎn)體的體積。如下圖：

這道題應(yīng)該在孩子們的知識(shí)范圍內(nèi)，但沒想到在批改作業(yè)時(shí)還是發(fā)現(xiàn)有一小部分孩子做錯(cuò)了。孩子們錯(cuò)誤的原因并不是不懂得怎么求體積，而是誤讀了題目，沒能很好地理解“以5為軸”。他們受圖的影響，條件反射地將“5”當(dāng)成旋轉(zhuǎn)體（圓錐）的半徑來計(jì)算了。

為此，我便就這道題進(jìn)行了評(píng)講。通過操作演示，讓學(xué)生理解“以5為軸”表示“5”是旋轉(zhuǎn)體的高，“4”是旋轉(zhuǎn)體的底面半徑。

孩子都理解后，我隨機(jī)拋出了一個(gè)問題：那些做錯(cuò)了的同學(xué)所列的式子其實(shí)是表示以誰為軸的旋轉(zhuǎn)體體積？孩子們馬上明白了，這個(gè)直角三角形既可以“5”為軸旋轉(zhuǎn)，也可以以“4”為軸旋轉(zhuǎn)，從而得到不同的旋轉(zhuǎn)體（圓錐）。

“老師，可否以這個(gè)直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)？”一向思維敏捷的梓洋提出了自己的新思考。

我心中一陣竊喜，順勢說道：“如果以這個(gè)直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周后的旋轉(zhuǎn)體是怎樣的呢？請(qǐng)同學(xué)們和同桌討論一下，并畫出來哦。”

當(dāng)孩子畫出了這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的幾何圖后，大家紛紛在思考如何求它的體積。孩子發(fā)現(xiàn)這個(gè)旋轉(zhuǎn)體其實(shí)是由兩個(gè)等底但不等高的大小不一的圓錐組成的。而要求圓錐的體積，需要知道高和底面半徑等條件。可是，這些直接的條件好像都沒有。

在靜靜地思考與等待中，有個(gè)參加過思維輔導(dǎo)班的孩子說，要先求出這個(gè)直角三角形的斜線，需要用到勾股定理。這時(shí)，我又順勢說這是個(gè)不錯(cuò)的建議，但直角邊用“4”和“5”似乎不妥，干脆改為“3”和“4”，這樣就清楚地知道了斜邊應(yīng)該是“5”。如下圖：

根據(jù)三角形已有的條件又可以求出斜邊5所對(duì)應(yīng)的高是2.4，而2.4同時(shí)也是旋轉(zhuǎn)體的半徑。如下圖：

孩子們通過畫圖發(fā)現(xiàn)：2.4同時(shí)也是旋轉(zhuǎn)體的半徑（也就是上下兩個(gè)圓錐體共同的半徑）?，F(xiàn)在半徑知道了是2.4，可上下兩個(gè)圓錐各自的高還不知道，還好我們知道兩個(gè)圓錐高的和是5。

在靜靜地思索中，有個(gè)孩子提出了自己的解題思路：先假設(shè)兩個(gè)圓錐的高分別為h1、h2，并列式如下：

這個(gè)式子一出來，孩子們恍然大悟，這樣的兩個(gè)等底不同高的圓錐組合體體積其實(shí)就是底面積×兩個(gè)圓錐的高之和×1/3，也就是說還可以把這組合體轉(zhuǎn)化成高為5、底面半徑為2.4的圓錐。

于是，大家便很快地列出了新的算式：

既然可以將兩個(gè)等底的圓錐的高看成一個(gè)圓錐的高之和，那么如果求兩個(gè)等底等高的圓錐和圓柱組合體，我們可否從多個(gè)角度去看去用多種方法求呢？

這道題至此也就告一段落了。

風(fēng)起山東，演繹美

應(yīng)北京師范大學(xué)老教授協(xié)會(huì)之邀，我去山東淄博參加了“中國教育夢——思維導(dǎo)圖融入學(xué)科教學(xué)實(shí)踐分享會(huì)”，并在活動(dòng)中執(zhí)教一節(jié)思維導(dǎo)圖應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的示范課。

當(dāng)時(shí)我報(bào)給主辦方的是一節(jié)六年級(jí)的分?jǐn)?shù)復(fù)習(xí)課“五分之四的聯(lián)想”，之前在全國各地上過幾次，反響還是不錯(cuò)的。只是到活動(dòng)前兩天，我才了解到淄博使用的青島版教材是“五四”制的，小學(xué)只有五年級(jí)，我之前報(bào)的課題是六年級(jí)的內(nèi)容——這就意味著我必須換課題了。

可時(shí)間這么緊迫，怎么辦？這時(shí)我萌發(fā)了把“直角三角形”的“轉(zhuǎn)”這道題用思維導(dǎo)圖串起來設(shè)計(jì)成一節(jié)課去試試的想法。于是，再次修改之前的“思維導(dǎo)圖”。這次調(diào)整把原來設(shè)想的“直角三角形”的“移”改為了思考兩塊“直角三角形”怎么“旋轉(zhuǎn)”的問題。由于忙著制作教具和課件，再說學(xué)校的六年級(jí)只有自己教的兩個(gè)班，所以重新調(diào)整后的設(shè)計(jì)也沒有去試教。從某種意義上說，在山東淄博，我上的這節(jié)課是一節(jié)“裸課”。

我就是按這幅重新設(shè)計(jì)的思維導(dǎo)圖的結(jié)構(gòu)圓滿完成了整節(jié)課的教學(xué)?，F(xiàn)場的聽課老師反響很大，紛紛說：沒想到課還可以這么設(shè)計(jì)這么上。而這一切都是虧了“思維導(dǎo)圖”這種結(jié)構(gòu)化、發(fā)散性的思維工具。

不斷挖掘，創(chuàng)造美

山東上完課回校后，我不斷在沉思著：這節(jié)課只能這樣設(shè)計(jì)嗎？本課后半段設(shè)計(jì)有沒有更好的調(diào)整策略？

當(dāng)與同事辛鋒老師交流時(shí)，他一語給了我靈感：可不可以思考繞某個(gè)頂點(diǎn)水平旋轉(zhuǎn)一周？

真好！于是，我?guī)е@樣的思路來檢驗(yàn)孩子們，沒想到兩個(gè)班的孩子在我的啟發(fā)下很快就想到了這種旋轉(zhuǎn)方式，不但迅速畫出了分別繞頂點(diǎn)A、B、C的三種旋轉(zhuǎn)體的幾何圖，而且還知道計(jì)算出他們體積的思路。

于是，我和孩子再一次回顧新的設(shè)計(jì)，發(fā)現(xiàn)是從“沿邊旋轉(zhuǎn)”和“繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”兩種情況來思考三角形的旋轉(zhuǎn)體的。于是便將原來只是考慮“沿邊旋轉(zhuǎn)”的三條分支概括為“沿邊轉(zhuǎn)”，去掉了“兩個(gè)直角三角形”的旋轉(zhuǎn)情況，加入“繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”的三種情況。于是，整個(gè)設(shè)計(jì)調(diào)整為“沿邊轉(zhuǎn)”和“繞點(diǎn)轉(zhuǎn)”這兩條大分支。

這樣的設(shè)計(jì)把一個(gè)“直角三角形”的旋轉(zhuǎn)挖掘得更加充分了。正當(dāng)我和孩子們“思”得其樂、樂在“思”中時(shí)，一個(gè)孩子提出了他的想法：既然直角三角形可以用“轉(zhuǎn)”形成這么多種旋轉(zhuǎn)體，那長方形、正方形等平面圖形可不可以用“轉(zhuǎn)”得到旋轉(zhuǎn)體呢？于是，我們又開始了“轉(zhuǎn)”的思維導(dǎo)圖研究。且看孩子們的作品吧。

這個(gè)孩子想到長方形、直角三角形、直角梯形、正方形的不同旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)體。見下圖：

這又是兩個(gè)學(xué)霸級(jí)人物，自主按“三角形”“直角梯形”“四邊形（再分平行四邊形、長方形、正方形）”“圓”來進(jìn)行不同情況的旋轉(zhuǎn)想象，不僅能畫出幾何圖，還能嘗試計(jì)算。見下圖：

“轉(zhuǎn)”出門道，放飛美

想象力沒有天花板，這個(gè)孩子的空間想象力已經(jīng)完成超越了小學(xué)的水平了。見下圖：

當(dāng)孩子們用“轉(zhuǎn)”為主題的思維導(dǎo)圖來概括有關(guān)圓柱和圓錐的知識(shí)后，似乎著了魔似的。六（2）班的孩子紛紛問我：李老師，還有什么主題的思維導(dǎo)圖可以畫？我反問他們一句：你們覺得呢？那就以“切”為主題畫一幅有關(guān)圓柱圓錐的思維導(dǎo)圖吧。見下圖：

當(dāng)孩子們把思維導(dǎo)圖交上來，我進(jìn)行點(diǎn)評(píng)時(shí)，有些孩子的思維又一次被拔節(jié)，覺得可以把“削”也融入“切”進(jìn)去。我靈機(jī)一動(dòng)：如果要考慮切和削，這都和什么有關(guān)？都和“刀”有關(guān)。所以，在六（1）班，我們便改成以“刀”為主題的思維導(dǎo)圖了。見下圖：

通過一系列的推演和深化，當(dāng)初家庭作業(yè)中的一個(gè)小小的誤讀，演化出無限的數(shù)學(xué)之美。對(duì)于我來說，培養(yǎng)孩子們獨(dú)立思考和邏輯推演的能力，遠(yuǎn)勝過單純傳授一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。數(shù)學(xué)之美，美在邏輯、美在系統(tǒng)化、美在思考、美在理性。很高興孩子在這么小就能通過這樣一個(gè)小小的課題去探索無限的數(shù)學(xué)之美。

在這個(gè)過程中，思維導(dǎo)圖是一個(gè)有效思維圖形工具，運(yùn)用圖文并重的技巧，開啟大腦的無限潛能。思維導(dǎo)圖以放射性思考模式為基礎(chǔ)的收放自如方式，除了提供一個(gè)正確而快速的學(xué)習(xí)方法與工具外，還可以成倍地提高學(xué)習(xí)知識(shí)速度和效率，幫助孩子們更快地學(xué)習(xí)新知識(shí)與復(fù)習(xí)整合舊知識(shí)。希望孩子們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中，也可以維持這樣的探索精神，勇敢地去探索數(shù)學(xué)的形與美。