基于決策者無(wú)差異偏好的變動(dòng)靶心廣義灰靶決策方法

馬金山

（河南理工大學(xué) 能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南 焦作 454000）

0 引言

灰靶決策方法僅僅依靠決策方案間的比較由各指標(biāo)屬性的最優(yōu)值確定靶心，并計(jì)算各決策方案到靶心的距離，以靶心距越小方案越優(yōu)[1]。當(dāng)前多屬性灰靶決策方法的應(yīng)用比較廣泛，眾多學(xué)者基于多屬性灰靶決策方法做了諸多的改進(jìn)。這些改進(jìn)有的是權(quán)重方面的[2-4]，有的是數(shù)據(jù)類(lèi)型方面的[4-9]，有的是群決策方面的[10,11]，有的則是引入了其他的理論和方法[12-14]。文獻(xiàn)[8,15]則提出了不同于傳統(tǒng)灰靶決策的廣義灰靶決策方法，其中文獻(xiàn)[15]以廣義灰靶決策方法為基礎(chǔ)研究了在多屬性灰靶決策中存在著決策者的理想偏好和選擇偏好的情況下，決策方案的結(jié)果受變動(dòng)靶心產(chǎn)生的靶心距的影響情況，并據(jù)此得出了一些有意義的結(jié)論。而文獻(xiàn)[16]在此基礎(chǔ)上又引入了負(fù)靶心的情況，進(jìn)一步深化了研究的結(jié)果。但前述研究在分析決策者的偏好所確定的靶心時(shí)，未考慮決策屬性存在適中值的情況。而在實(shí)際的多屬性決策時(shí)也經(jīng)常存在著適中值屬性的情況。為此，本文研究廣義灰靶決策方法中存在著適中值屬性時(shí)決策者的無(wú)差異偏好對(duì)決策方案的影響。

1 方案設(shè)計(jì)

1.1 基本概念

定義1：設(shè)有多屬性決策問(wèn)題，決策方案集為S=(S1，S2，…，Sn)，屬性集為 A=(A1，A2，…，Am)，方案 Si對(duì)屬性 Aj的效果測(cè)度為 Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)，其中設(shè)效益型指標(biāo)屬性的集合為J+，成本型指標(biāo)屬性的集合為J-,適中值型指標(biāo)屬性的集合為JM。

定義2：基于灰靶決策的基本思想，但具體的實(shí)施過(guò)程與傳統(tǒng)方法有所不同的灰靶決策方法稱(chēng)為廣義灰靶決策方法。廣義灰靶決策方法與傳統(tǒng)灰靶決策方法相比表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是不需要首先對(duì)效果測(cè)度Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)進(jìn)行極性的變換及歸一化處理；二是靶心距的計(jì)算方法也有別于傳統(tǒng)的灰靶決策方法[8,15]。

定義3：稱(chēng)由決策方案各效果測(cè)度Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)所確定的靶心為Ca=(，…，)，其中(j=1，2，…，m)滿(mǎn)足：

其中Saj為由客觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)或決策方案的特征所決定的適中值型指標(biāo)屬性靶心值。

定義4：決策者希望某一適中值屬性A(A ∈JM)指標(biāo)

jj在其附近變動(dòng)一定的范圍內(nèi)為不受影響的偏好，稱(chēng)為適中值屬性的無(wú)差異偏好域，記為，即有：

即適中值偏好由一個(gè)確定的實(shí)數(shù)拓展為在一定范圍內(nèi)變動(dòng)的區(qū)間，在該區(qū)間內(nèi)均認(rèn)為所有指標(biāo)值無(wú)差異，其中rj為上下變動(dòng)的范圍值，和分別為下限值和上限值。

定義5：設(shè)由決策方案各效果測(cè)度Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)所確定的靶心為 Ca=(C…，，決策者對(duì)屬性Ak(k ∈{1 ，2，…，m} ) 的偏好值為(k∈{1，2，…，m})，則融入決策者偏好的靶心（域）為C0=(，…，)，其中(k=1，2，…，m)滿(mǎn)足下式：

1.2 靶心距的計(jì)算[15]

設(shè)決策方案效果測(cè)度 Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)融入決策者屬性偏好的灰靶靶心（域）已經(jīng)確定為，則采取如下步驟求解靶心距：

（1）針對(duì)屬性 Aj( j =1，2，…，m )下的各方案指標(biāo)值Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)分別與單指標(biāo)靶心（域）(j=1，2，…，m )進(jìn)行比較，則可以得到比較后的新的指標(biāo)測(cè)度Iij：

（2）分別計(jì)算屬性Aj( j =1，2，…，m )下的經(jīng)過(guò)預(yù)處理的各方案指標(biāo)值Iij(i = 1，2，…，n，j=1，2，…，m) 與靶心（域）( j =1，2，…，m) 的單指標(biāo)靶心距。

（3）由于各個(gè)屬性下所求的單指標(biāo)靶心距rij不具有可比性，因此這里必須在各個(gè)屬性Aj下分別對(duì)靶心距進(jìn)行歸一化處理，使之具有可比性。歸一化采用線(xiàn)性的方式，能夠較好地保持各自的特征。

（4）若已知各屬性 Aj( j =1，2，…，m )的指標(biāo)權(quán)重為ωj，則綜合靶心距由下式求出。

1.3 決策步驟

（1）確定決策者的屬性偏好；

（2）計(jì)算各方案指標(biāo)為非一致規(guī)范化的初始靶心；

（3）結(jié)合決策者的屬性偏好，求得融合了決策者屬性偏好的單指標(biāo)靶心（域）；

（4）結(jié)合各單指標(biāo)靶心（域）對(duì)原決策指標(biāo)值（或效果測(cè)度）進(jìn)行預(yù)處理；

（5）計(jì)算預(yù)處理后的各決策方案指標(biāo)值與靶心（域）的單指標(biāo)靶心距；

（6）確定各屬性的指標(biāo)權(quán)重；

（7）綜合各歸一化單指標(biāo)的靶心距，并依據(jù)綜合靶心距由小到大的順序進(jìn)行決策。

2 基于適中值屬性的規(guī)范化對(duì)決策方案的影響

2.1 參數(shù)設(shè)定

圖1是針對(duì)決策方案指標(biāo)屬性存在著適中值，而靶心由決策者的無(wú)差異屬性偏好所決定的情況。圖1中為由決策方案或客觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)所確定的屬性為適中值的單指標(biāo)靶心指標(biāo)，而和分別為決策者無(wú)差異偏好所決定的靶心指標(biāo)域的下限和上限。d1、d2、d3分別是不同方案下各指標(biāo)S1j、S2j、S3j到靶心Cja的靶心距，而 D1、D2、D3分別是不同方案下各指標(biāo)S1j、S2j、S3j到?jīng)Q策者無(wú)差異偏好靶心域界限或的靶心距，rda是與或之間的距離。顯然由于決策者無(wú)差異偏好靶心域縮小了各指標(biāo)與靶心的距離，使得各指標(biāo)針對(duì)決策者無(wú)差異偏好的靶心距變小。

圖1 決策者無(wú)差異屬性偏好對(duì)決策方案的影響

下面來(lái)分析說(shuō)明決策者無(wú)差異的屬性偏好所決定的靶心域?qū)Q策方案的影響。設(shè)在屬性Aj下方案Si的效果測(cè)度為 Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)，其中兩個(gè)方案的指標(biāo)值Si0j和S(i0+1)j與由決策方案所確定的單一屬性靶心的靶心距為di0和di0+1，不妨設(shè)di0＜di0+1。在屬性Aj下，由決策者屬性偏好所確定的單指標(biāo)靶心域界限值為或，則 Si0j和 S(i0+1)j到或的靶心距為Di0和Di0+1。決策者無(wú)差異偏好靶心域界限或和決策方案樣本值靶心之間的距離為rda。

式（8）和式（9）di中和 Di分別代表一般意義上引入決策者無(wú)差異偏好靶心域前后的各方案單指標(biāo)的靶心距。

2.2 基于適中值屬性的決策者無(wú)差異偏好對(duì)決策方案的影響

2.2.1 決策方案指標(biāo)值均在無(wú)差異偏好靶心域的范圍之外

設(shè) Si0j和 S(i0+1)j均在的同側(cè)（二者在不同側(cè)的分析結(jié)果是相同的）。則由式（9）可得：

由式（8）和式（9）的對(duì)比可知：

當(dāng)rda=0時(shí)，ΔZa=ΔZd，即不存在無(wú)差異偏好的區(qū)間。

當(dāng)rda＞0時(shí)，ΔZa＜ΔZd，即決策者無(wú)差異屬性偏好所決定的靶心域使得方案指標(biāo)間的差異變大。

2.2.2 決策方案指標(biāo)值均在無(wú)差異屬性偏好靶心域的范圍之內(nèi)

若Si0j和S(i0+1)j在引入決策者的無(wú)差異偏好時(shí)均處Di0+1=0。則可得：

由公式（11）和式（12）可知 ΔZd＜ΔZa，即當(dāng)決策方案指標(biāo)均落入決策者的無(wú)差異偏好區(qū)間時(shí)，決策方案指標(biāo)之間的差異變小。

2.2.3 決策方案指標(biāo)值部分落入決策者的無(wú)差異偏好區(qū)間

若Si0j和S(i0+1)j在引入決策者的無(wú)差異偏好后，一個(gè)落入?yún)^(qū)間[，]之內(nèi)，另一個(gè)落在該區(qū)間之外，此處設(shè)S(i0+1)j始終落在區(qū)間[，]之外，而引入決策者的無(wú)差異偏好后，Si0j落入?yún)^(qū)間[，]之內(nèi)。

未引入決策者無(wú)差異的偏好之前的決策方案指標(biāo)的靶心距之差見(jiàn)公式（8）所示。而引入決策者無(wú)差異偏好的靶心域后，可得公式（13）。

由于引入決策者的無(wú)差異偏好靶心域后，Si0j落入?yún)^(qū)間[，]之內(nèi)，所以可得Di0=0。因此，由公式（13）可以得到：

此時(shí)應(yīng)討論di0與rda之間的關(guān)系。

（1）當(dāng) di0=rda時(shí)，由公式（8）與公式（14）可得 ΔZa＜ΔZd，即Si0j剛好位于決策值偏好的無(wú)差異偏好區(qū)間的邊界，此時(shí)使得方案指標(biāo)間的差異變大。

（2）當(dāng) di0＜rda時(shí)，則由式（8）與式（14）很難準(zhǔn)確地判斷ΔZa與ΔZd之間的關(guān)系。其不定性表現(xiàn)為：

2.2.4 決策者無(wú)差異偏好所決定的靶心域?qū)Q策方案的影響

（1）適中值屬性引入決策者的無(wú)差異偏好靶心域后，如決策方案指標(biāo)均落入無(wú)差異偏好的區(qū)間后，則方案指標(biāo)間的差異變小。

（2）適中值屬性引入決策者的無(wú)差異偏好靶心域后，若決策指標(biāo)均未落入?yún)^(qū)間內(nèi)，或僅某一指標(biāo)值恰好處于無(wú)差異偏好區(qū)間的邊界處時(shí)，方案指標(biāo)間的差異變大。

（3）適中值屬性引入決策者的無(wú)差異偏好靶心域后，若某一指標(biāo)落入無(wú)差異區(qū)間內(nèi)，而另一指標(biāo)則落入無(wú)差異區(qū)間外時(shí)，如無(wú)更詳細(xì)的信息，則無(wú)法判斷其指標(biāo)之間的影響。

3 算例分析

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

某業(yè)主從滿(mǎn)足其基本需求的承建商中選擇最合適的方案，分別從主要設(shè)備費(fèi)（萬(wàn)元）、工期（天）、單層建筑面積（m2）以及層高（m）等方面進(jìn)行綜合評(píng)比，以A1～A4表示。其中主要設(shè)備費(fèi)及層高為適中值指標(biāo)，工期為成本型指標(biāo)，而單層建筑面積為效益型指標(biāo)。共有5個(gè)方案可供選擇，用S1～S5表示。若業(yè)主認(rèn)為比較合適的主要設(shè)備費(fèi)為180萬(wàn)元，費(fèi)用范圍變動(dòng)10%以?xún)?nèi)為無(wú)差異；而比較合適的建筑的層高為3.0m，變動(dòng)范圍在5%以?xún)?nèi)為無(wú)差異；若業(yè)主偏好的最短工期為250天，則對(duì)這些承建商做出選擇評(píng)比（見(jiàn)表1）。

表1 承建商建筑方案表

3.2 計(jì)算過(guò)程及結(jié)果

（1）首先計(jì)算由決策方案所確定的靶心

根據(jù)已有的廣義灰靶決策方法的靶心確定方法，可以得到由決策方案自身或客觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)所確定的靶心為（180，260，1200,3.0）。

（2）確定融入決策者偏好的靶心（域）

結(jié)合決策者屬性偏好依據(jù)相應(yīng)的方法，可以得到融入決策者偏好的靶心（域）為（[162,198]，250，1200,[2.85,3.15]）。

（3）基于決策者偏好所確定的靶心（域）對(duì)原始指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

原始方案的指標(biāo)數(shù)據(jù)結(jié)合決策者的偏好處理后，見(jiàn)表2所示。

表2 處理后的指標(biāo)值

（4）計(jì)算所有指標(biāo)的靶心距

根據(jù)最終確定的融入決策者偏好的靶心（域），可以計(jì)算出所有指標(biāo)與融入決策者偏好的各單指標(biāo)靶心距見(jiàn)表3所示。

表3 各單指標(biāo)的靶心距

（5）各單指標(biāo)靶心距的無(wú)量綱化處理

若給定的各決策方案指標(biāo)屬性的權(quán)重為（0.2,0.3,0.4,0.1)，則各方案的歸一化綜合靶心距為（0.1871，0.2445，0.1660，0.1798，0.2226）。所以各方案的排序?yàn)椋篠3? S4? S1? S5? S2。見(jiàn)表4和表5。

表4 線(xiàn)性規(guī)范化后的靶心距

表5 線(xiàn)性規(guī)范化后的靶心距

3.3 對(duì)比分析

為了說(shuō)明決策者的偏好對(duì)決策方案的影響，采用無(wú)決策者的偏好時(shí)的靶心所求得的綜合靶心距來(lái)進(jìn)行對(duì)比。此處各方案指標(biāo)屬性的權(quán)重仍為（0.2,0.3,0.4,0.1)。決策方案自身所確定的靶心為（180，260，1200,3.0）。則各綜合集成的歸一化靶心距為（0.1489，0.2693，0.1629，0.1770，0.2419）。則可以得到各方案的排序?yàn)椋篠1?S3?S4?S5?S2。表5是決策方案是否考慮決策者偏好的靶心時(shí)的綜合靶心距及其方案排序的對(duì)比情況。

由表5的對(duì)比情況可知，有無(wú)決策者的偏好所決定的靶心對(duì)決策方案的排序有著明顯的影響。

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)決策方案存在著決策者無(wú)差異屬性偏好的變動(dòng)靶心廣義灰靶決策方法的研究，可以得到如下結(jié)論：

（1）在廣義灰靶決策中，決策者的無(wú)差異屬性偏好所決定的適中值屬性靶心域依據(jù)指標(biāo)值的不同對(duì)決策方案產(chǎn)生不同的影響。

（2）本文考慮的適中值屬性的決策者的無(wú)差異偏好的靶心域?yàn)閷?duì)稱(chēng)性的，而實(shí)際的決策過(guò)程中也可能存在著非對(duì)稱(chēng)性的無(wú)差異偏好區(qū)間，其影響的程度更為復(fù)雜。

（3）由于研究中所涉及的決策者的無(wú)差異偏好僅為部分指標(biāo)屬性，且綜合靶心距的集成受多種因素影響，所以綜合后對(duì)總體的各方案的影響變化存在著不確定性。