線路里程、偏距與坐標(biāo)互算方法及其計算機(jī)實(shí)現(xiàn)

吳 坤 李 繼

(林同棪國際工程咨詢(中國)有限公司，401121，重慶//第一作者，高級工程師)

線路里程、偏距與坐標(biāo)互算在軌道交通設(shè)計中經(jīng)常遇到。線路專業(yè)經(jīng)常需要把線路中心線周邊一系列點(diǎn)提供給地勘單位進(jìn)行鉆孔勘探。待勘點(diǎn)由建筑、結(jié)構(gòu)等專業(yè)確定。由于建筑、結(jié)構(gòu)等專業(yè)制圖比例并非1∶1 000，且不一定在原位制圖，所以只能將待勘點(diǎn)以里程、偏距的形式提供給線路專業(yè)。而在線路敷設(shè)前期，地勘單位無法以里程、偏距放樣，線路專業(yè)需將待勘點(diǎn)信息轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)，以便勘探定位。同理，地勘單位返回的勘探結(jié)果以坐標(biāo)表示點(diǎn)信息，線路專業(yè)需將其轉(zhuǎn)化為里程、偏距形式反饋給各專業(yè)。

傳統(tǒng)做法是線路專業(yè)將各專業(yè)提供的待勘點(diǎn)里程偏距信息繪制于圖紙上，然后再一一查詢坐標(biāo)，填寫表格；對于地勘單位返回的勘測結(jié)果，處理方式類似。線路專業(yè)需將待測點(diǎn)繪制在圖紙上，然后量出對應(yīng)的里程、偏距，填寫表格。此過程工作量十分巨大，且極易出錯。而國內(nèi)主流軌道交通線路設(shè)計軟件均無線路里程、偏距與坐標(biāo)互算功能。因此，十分有必要開發(fā)一款線路里程、偏距與坐標(biāo)互算的軟件。

通過程序互算里程、偏距與坐標(biāo)，無法借助于圖形進(jìn)行直觀判斷，傳統(tǒng)基于圖形的測量算法無法應(yīng)用。本文結(jié)合軌道交通線路基本知識，借助解析幾何手段和微分思想，著重研究線路里程、偏距與坐標(biāo)互算的計算機(jī)算法。

1 基于待求點(diǎn)坐標(biāo)的里程與偏距計算方法

無論已知線路里程、偏距計算點(diǎn)坐標(biāo)還是已知點(diǎn)坐標(biāo)計算里程、偏距，都必須已知線路數(shù)據(jù)。所謂線路數(shù)據(jù)是指線路的起點(diǎn)坐標(biāo)、終點(diǎn)坐標(biāo)、各交點(diǎn)坐標(biāo)、各曲線半徑、緩和曲線長和斷鏈信息等。本文討論的所有內(nèi)容均建立在線路數(shù)據(jù)已知的基礎(chǔ)上。

1.1 線路還原

線路還原是指通過已有的線路信息：起點(diǎn)坐標(biāo)、終點(diǎn)坐標(biāo)、交點(diǎn)坐標(biāo)、曲線半徑、緩和曲線長、斷鏈等線路信息，計算出線路上每個直緩(或直圓)點(diǎn)、緩直(或圓直)點(diǎn)的坐標(biāo)和里程。這樣，線路被分成若干段，每一段只包含單一的直線或曲線，方便后面進(jìn)行里程和偏距的計算。計算方法可以查找道路勘測設(shè)計相關(guān)的書籍，這里不作討論。

1.2 待求點(diǎn)位置的判斷

線路已分成單純的直線或曲線段，為了計算方便且精確，首先判斷點(diǎn)的投影在線路的哪一段直線或曲線上。

如圖1所示，圖中有一個待求點(diǎn)P和線路的3個直線段，分別是A段、B段、C段。P′為P點(diǎn)在線路上的投影。為了判斷P點(diǎn)投影所在位置，用待求點(diǎn)P為頂點(diǎn)，3個直線段分別為對邊做三角形，判斷P點(diǎn)投影落在其中某一直線段上，圖1中，P點(diǎn)投影落在B段直線上，則∠B1、∠B2均為銳角。

圖1 待求點(diǎn)投影位置判斷圖(直線段)

用計算機(jī)計算時，先判斷待求點(diǎn)是否落在線路直線段上。如果找到待求點(diǎn)投影落在某一直線段上，即終止計算，進(jìn)行下一步計算。如果待求點(diǎn)投影沒有落在直線段上，繼續(xù)判斷待求點(diǎn)投影是否落在曲線段上。

如圖2所示，圖中有待求點(diǎn)P和線路的2段曲線，分別是曲線M和曲線N。為確定待求點(diǎn)在哪一段曲線上，用待求點(diǎn)為頂點(diǎn)，以曲線為對邊做扇形。計算扇形半徑與曲線兩端點(diǎn)處切線所形成的夾角，即圖中的∠A2′與∠B1′。待求點(diǎn)投影落在A段直線和曲線M的交界位置時，∠A2=∠A2′=90°，待求點(diǎn)投影離開A段直線稍向曲線M移動微小距離d，都會導(dǎo)致∠A2′<90°。同理，待求點(diǎn)投影離開B段直線稍向曲線M移動微小距離d′，都會導(dǎo)致∠B1′<90°。由此可知，待求點(diǎn)投影落在某一段曲線上的充要條件是：該點(diǎn)與曲線形成的扇形半徑與曲線兩端點(diǎn)處切線所形成夾角為銳角。

圖2 待求點(diǎn)投影位置判斷圖(曲線段)

需要說明的是，當(dāng)待求點(diǎn)投影剛好落在直線與曲線的交點(diǎn)上時，既可以認(rèn)為該投影落在直線上，也可以認(rèn)為該點(diǎn)投影落在曲線上。為方便計算，本文將投影認(rèn)定為落在直線段上。

1.3 待求點(diǎn)偏距和投影里程的計算

如果待求點(diǎn)投影落在直線段上，可以利用該點(diǎn)與直線段圍成的三角形求解。如圖3所示，三角形的3個頂點(diǎn)分別為：待求點(diǎn)P以及B1、B2，其中B1為緩直點(diǎn)(或圓直點(diǎn))，B2為直緩點(diǎn)(或直圓點(diǎn))。此兩點(diǎn)的坐標(biāo)已經(jīng)在線路還原步驟中計算得出。利用余弦定理和射影定理，可以求解投影點(diǎn)P′距B1緩直點(diǎn)(或圓直點(diǎn))的距離D和線段PP′的長度L，B1緩直點(diǎn)(或圓直點(diǎn))的里程加上D即為待求點(diǎn)投影的里程，L即為待求點(diǎn)偏距。

如果待求點(diǎn)投影落在第n個曲線段上，需要先把曲線離散成散點(diǎn)，并計算出每一個點(diǎn)的坐標(biāo)。離散精度根據(jù)工程需要設(shè)置，一般取1.0 mm或0.5 mm，精度設(shè)為d。曲線上各點(diǎn)坐標(biāo)的計算方法成熟，此處不贅述。分別計算曲線離散點(diǎn)與待求點(diǎn)的距離，距離最小的曲線離散點(diǎn)即是待求點(diǎn)的投影點(diǎn)，最小距離即是待求點(diǎn)的偏距。設(shè)該離散點(diǎn)的順序號為i，曲線起點(diǎn)里程為直緩點(diǎn)(或直圓點(diǎn))，則待求點(diǎn)投影的里程可以表示為：直緩點(diǎn)里程+id(或直圓點(diǎn)里程+id)。

以某條1 km長的曲線為例，按1 mm為精度離散，離散點(diǎn)有1×106個，離散點(diǎn)坐標(biāo)全部按雙精度形存儲，其占用內(nèi)存為2×1×106×8字節(jié)，約15.2 M，在計算機(jī)硬件突飛猛進(jìn)的今天，15.2M的內(nèi)存對計算機(jī)運(yùn)行不會造成明顯影響。

圖3 偏距和投影里程計算圖

1.4 待求點(diǎn)在線路左右側(cè)的判定

當(dāng)待求點(diǎn)投影落在直線段時，可以利用線路與某一基準(zhǔn)線的夾角來判斷待求點(diǎn)在線路的左側(cè)或右側(cè)，如圖4所示。

圖4 待求點(diǎn)位置判定圖(直線段)

圖5 待求點(diǎn)位置判定圖(曲線段)

2 基于里程與偏距的待求點(diǎn)坐標(biāo)計算方法

已知里程與偏距計算該點(diǎn)坐標(biāo)比較容易，除了知道待求點(diǎn)的里程與偏距外，還需要判斷待求點(diǎn)處于線路前進(jìn)方向的左側(cè)還是右側(cè)。

2.1 線路還原

線路還原的方法與作用同前文，此處不再贅述。

2.2 判斷待求點(diǎn)投影所處位置

首先判斷待求點(diǎn)投影在線路的直線段還是曲線段上，以便采取不同的計算方法。由于里程已知，通過待求點(diǎn)里程與直緩(直圓)、緩直(圓直)點(diǎn)的相對位置，即可輕松判斷待求點(diǎn)投影位置。設(shè)待求點(diǎn)里程為H，若緩直點(diǎn)里程Hhz n(圓直點(diǎn)里程Hyz n)

2.3 待求點(diǎn)坐標(biāo)計算

當(dāng)待求點(diǎn)投影P′落在直線上時，設(shè)該段線路前一個交點(diǎn)的交點(diǎn)號為n。利用交點(diǎn)n的曲線末端點(diǎn)緩直點(diǎn)(或圓直點(diǎn))和交點(diǎn)n+1曲線起端點(diǎn)直緩點(diǎn)(或直圓點(diǎn))的坐標(biāo)，求出線路前進(jìn)方向與X軸正向夾角α，角度范圍0～2π。具體求法參考平面解析幾何，不在此文討論范圍。

偏距已知，設(shè)為L。角α取值范圍不同，待求點(diǎn)位于線路左、右側(cè)不同，待求點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式則不同。設(shè)投影點(diǎn)坐標(biāo)為P′(x′,y′)，待求點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y)，則有如表1所示的坐標(biāo)關(guān)系表達(dá)式。

表1 待求點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式

化簡表1中表達(dá)式，可得通用表達(dá)式，見表2。

表2 待求點(diǎn)通用坐標(biāo)表達(dá)式

當(dāng)待求點(diǎn)投影P′落在曲線上，其計算理論與已知坐標(biāo)求里程和偏距時，與待求點(diǎn)投影P′落在直線上的計算理論相類似，不再贅述。

3 斷鏈的處理

若線路中含有斷鏈，計算里程、偏距和坐標(biāo)時要受到斷鏈影響。斷鏈主要有長鏈和短鏈兩種。斷前里程大于斷后里程時為長鏈，斷前里程小于斷后里程時為短鏈。其中長鏈具有重復(fù)里程。

3.1 斷鏈數(shù)據(jù)信息

當(dāng)線路中存在斷鏈時，計算必須加入斷鏈信息。斷鏈主要信息為斷前里程與斷后里程。為方便計算機(jī)計算，可在錄入斷鏈的同時錄入斷鏈所處的交點(diǎn)區(qū)間。一般情況下，斷鏈全在直線上，且斷鏈影響范圍內(nèi)不會再出現(xiàn)斷鏈時，此處可以不考慮斷鏈在曲線上和斷鏈重疊的情況。當(dāng)線路中存在長鏈時，若是已知里程、偏距求坐標(biāo)的待求點(diǎn)剛好在斷鏈影響范圍內(nèi)，則該待求點(diǎn)里程存在兩種可能性。錄入已知條件時，需要錄入該待求點(diǎn)里程是否為長鏈的重復(fù)里程。

3.2 基于待求點(diǎn)坐標(biāo)計算線路里程與偏距時的斷鏈處理

首先不考慮斷鏈，用第1節(jié)介紹的方法求出里程與偏距，其中只有里程受到斷鏈影響。設(shè)不考慮斷鏈求出的里程為H，最終里程為Ht，H所處的直線段前一個交點(diǎn)為交點(diǎn)n。把里程H與交點(diǎn)n以前的所有斷鏈長度做代數(shù)和，求出H′。若H′所處直線段無斷鏈，則H′=Ht；若H′所處直線段有斷鏈，需再判斷H′是否在本段直線上的斷鏈的影響范圍內(nèi)。若在，與斷鏈長度做代數(shù)和得出Ht；若不在，H′=Ht。設(shè)斷前里程為Dq,斷后里程為Dh，可得以下公式：

式中：

Dqi——第i個斷鏈的斷前里程；

Dhi——第i個斷鏈的斷后里程；

Dqn——第n個斷鏈的斷前里程；

Dhn——第n個斷鏈的斷后里程。

3.3 基于待求點(diǎn)里程與偏距計算該點(diǎn)坐標(biāo)時的斷鏈處理

首先，不考慮該已知里程H為長鏈重復(fù)里程，求出真實(shí)里程H′。若該點(diǎn)是長鏈重復(fù)里程，在H′基礎(chǔ)上加上長鏈長度即為真實(shí)里程。

4 成果應(yīng)用

通過上文的研究，得出線路里程、偏距與坐標(biāo)互算的新算法。此算法脫離了圖形，采用了全數(shù)字計算方式，使得計算機(jī)實(shí)現(xiàn)成為可能。

基于研究成果，筆者以VC++為例，實(shí)現(xiàn)了線路里程、偏距與坐標(biāo)互算程序。該程序可以實(shí)現(xiàn)里程、偏距與坐標(biāo)的互算，支持Excel導(dǎo)入基本數(shù)據(jù)和計算結(jié)果導(dǎo)出Excel。經(jīng)大量工程驗證，該程序完全滿足工程精度要求，且大大提高了工作效率。以筆者曾經(jīng)就職的設(shè)計院為例，該程序可以在10 min內(nèi)完成原來1～2 d的工作，深受好評。

圖6和圖7展示了程序界面與計算成果。

圖6 程序界面

圖7 計算成果輸出