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      陽光下相靠近的影子形變現(xiàn)象的討論

      2018-11-06 12:54:28陳楚天
      物理通報(bào) 2018年11期
      關(guān)鍵詞:半影暗線暗區(qū)

      陳楚天

      [寧波市效實(shí)中學(xué)高三(2)班 浙江 寧波 315012]

      關(guān)鍵字:陽光 影子 形變 幾何光學(xué)

      陽光明媚的日子,如果仔細(xì)觀察,便會(huì)發(fā)現(xiàn)一種有趣的現(xiàn)象:當(dāng)一個(gè)影子很靠近另一個(gè)影子的時(shí)候,會(huì)發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)影子發(fā)生形變(如圖1所示,書角的影子發(fā)生明顯的形變),并以比相離較遠(yuǎn)時(shí)更快的趨勢接近另一個(gè)影子.主要表現(xiàn)如下:

      (1)這種有趣的現(xiàn)象在影子相距很近(即將相接)時(shí)才會(huì)發(fā)生(圖1,僅很靠近窗框影的書影的角發(fā)生了這一現(xiàn)象).

      (2)此時(shí),物移動(dòng)相同距離,影子移動(dòng)距離顯著大于相距較遠(yuǎn)時(shí).

      (3)若影子邊線不互相平行,還將伴有明顯形變(圖1,書影的角部發(fā)生形變,明顯偏離直角).

      (4)離屏近的物的影改變較大,離屏遠(yuǎn)的物的影幾乎不變(圖1,窗框影觀察不到明顯形變).

      圖1 書的直角影子(圖中左側(cè)影子)靠近窗框的直邊影子(圖中右側(cè)影子)的情形.其中書離屏近,窗框離屏遠(yuǎn)

      這一現(xiàn)象早已有人注意,但鮮有人給出正確分析.流行的解釋有兩種:

      一是認(rèn)為衍射使然.然而陽光的相干性并不太好,且陽光并非單色光,若是衍射使然,則不免發(fā)生色散,而實(shí)際觀察中屏上陽光只是整體變暗,并無色散.故仍應(yīng)從幾何光學(xué)入手來解釋.

      二是認(rèn)為半影疊加使然.誠然,兩個(gè)物的半影交疊區(qū)是會(huì)變暗.但這一現(xiàn)象出現(xiàn)在我們所討論的現(xiàn)象出現(xiàn)之前,不在本文討論范圍之內(nèi).我們觀察到并將在下文予以討論的是整個(gè)影區(qū)特別是全暗區(qū)域的扭曲變形,而非半影交疊區(qū)的簡單變暗(這并不能造成全暗區(qū)的變化).另外,此解釋也無法說明上面提到的(4)中體現(xiàn)出的不對稱性.

      其實(shí)如仔細(xì)觀察,更能發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象的另一表現(xiàn):

      (5)在本文所討論現(xiàn)象發(fā)生的同時(shí)可以觀察到離屏近的物上有離屏遠(yuǎn)的物的影.

      僅就這表現(xiàn)我們就可以判斷,這一現(xiàn)象是一物進(jìn)入另一物的半影區(qū)所造成的,由此也可解釋(4)中所體現(xiàn)出的不對稱性.

      下面我們作具體分析.

      現(xiàn)約定:

      (1)稱日心到地表某點(diǎn)的連線為陽光光軸,由于日地距離極大,對該點(diǎn)附近的點(diǎn),光軸方向可視為不變.

      (2)陽光可視為由多組平行光組成,它們相對光軸有旋轉(zhuǎn)對稱性.將陽光與光軸的夾角記為θ.記陽光中與光軸夾角最大者夾角為θ0,此即太陽對地半張角.

      (3)陽光完全照不到的區(qū)域稱為全暗區(qū),其邊界稱為全暗線.

      并進(jìn)行以下理想化處理:

      (1)遮擋物為兩個(gè)不透光且足夠大的半平面α和β;

      (2)α和β與光屏平面γ平行,與γ間距分別為a和b(a>b);

      (3)陽光正入射,即光軸垂直于γ.

      為解決這一問題,我們誠然可以計(jì)算γ上的光強(qiáng)分布,但計(jì)算繁復(fù)而無必要,我們只須考察全暗線的形狀即可.

      情形Ⅰ,α和β邊線平行時(shí),設(shè)參數(shù)如圖2所示.

      圖2 情形Ⅰ

      當(dāng)β未進(jìn)入α的半影區(qū),即d>(a-b)tanθ0時(shí),容易畫出其本影、半影區(qū),不難得出A左與B右為全暗區(qū),γ上影為α和β二者影的簡單相加,容易得到

      (1)

      (2)

      而當(dāng)β進(jìn)入α的半影區(qū),即d<(a-b)tanθ0時(shí),如圖3所示,可以發(fā)現(xiàn)光線*成為極限光線,A左側(cè),B′右側(cè)即成全暗區(qū).

      圖3 β進(jìn)入α半影區(qū)后的側(cè)視圖

      由圖示幾何關(guān)系有

      (3)

      (4)

      即變化趨勢變大.同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)A相對α位置并不改變,故(1)、(2)、(4)即得解釋.

      情形Ⅱ,α和β邊線成δ角時(shí)[δ∈(0,π)],設(shè)參數(shù)如圖4所示.

      圖4 情形Ⅱ,γ面上投影圖

      之前已經(jīng)說明,影區(qū)變化是由一個(gè)物體進(jìn)入另一個(gè)物體的影區(qū)產(chǎn)生的,故額外的全暗區(qū)一定在兩個(gè)物體半影區(qū)的交疊區(qū)M區(qū)(即圖中陰影區(qū)域)內(nèi).

      設(shè)一與光軸夾角為θ[θ∈(0,θ0)],在γ面上投影與la夾角為φ的光線n能照到該點(diǎn)上,則n與α,β所在平面的交點(diǎn)必在半徑分別為atanθ,btanθ的圓周上.為使n不被α,β遮擋,其交點(diǎn)必在α,β邊線之外.

      將所有圖形投影到γ面上,則得圖5.

      圖5 將所有圖形投影到γ面上得到的圖形

      由幾何關(guān)系

      (5)

      同時(shí)為使n可存在,應(yīng)有角度關(guān)系

      ∠1+∠2>π-δ

      (6)

      故有

      (7)

      式(7)表示的是一片包含C點(diǎn)即(0,0)點(diǎn)的區(qū)域(亮區(qū)),記該區(qū)域?yàn)棣?θ),其邊界為橢圓的一部分.可知Ω(θ)相互關(guān)于C點(diǎn)位似,位似比為tanθ.

      可知θ取最大值θ0時(shí),Ω(θ)范圍最大,故全暗線方程為

      (8)

      也可對式(8)兩側(cè)取余弦并移項(xiàng)平方,即可表達(dá)為另一形式

      式(9)表現(xiàn)的是一個(gè)以C為中心的與la,lb相切于A,B的橢圓.因受式(10)的限制,只能取A和B間部分,這與直接用式(8)作圖結(jié)果相同.記此結(jié)果表示的全暗線為E.

      按式(9)可算得A和B與O距離分別為btanθ0(cscδ+cotδ),atanθ0(cscδ+cotδ),并可使用MATLAB作出不同條件下曲線E的圖,如圖6所示.(為使我們能對角度大小有一直觀感受,下文δ在呈現(xiàn)時(shí)都改為采用角度制.)

      圖6

      最后,將理論計(jì)算得的E與實(shí)際拍攝結(jié)果進(jìn)行比較.圖7和圖8所示為不同條件下實(shí)拍、曲線E的理論計(jì)算以及計(jì)算結(jié)果和分層設(shè)色(將灰度值一定范圍內(nèi)的像素改賦一定的顏色)后的實(shí)拍圖比較的情況.

      圖7

      圖8

      可以發(fā)現(xiàn),拍攝圖片和理論計(jì)算的擬合程度非常好,同時(shí)a=b的極限情況下,E為一段圓弧,和我們?nèi)粘=?jīng)驗(yàn)相符;這更驗(yàn)證了本模型的正確性.

      至此,所有現(xiàn)象均得到了解釋.

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