劉佳玥, 李翠香
(河北師范大學 數(shù)學與信息科學學院, 河北 石家莊 050024)
自20世紀70年代以來,金融衍生產(chǎn)品在全球范圍內(nèi)迅猛發(fā)展,期權(quán)的定價問題越來越引起國內(nèi)外數(shù)學家及金融學家的重視。1900年,法國數(shù)學家Bachelier[1]首先提出了關(guān)于期權(quán)定價的問題。1973年,Black和Scholes[2]第一次提出了期權(quán)定價的Black-Scholes模型(以下簡稱B-S模型),并進一步得出了歐式看漲和看跌期權(quán)的價格公式。但是,B-S模型中的一些假設并不能完全反映實際市場中的某些現(xiàn)象,為了使期權(quán)的定價模型更加貼合實際市場,許多學者對B-S模型進行了擴展,比如,將常數(shù)參數(shù)擴展為關(guān)于t的確定函數(shù)。2008年,劉海媛等[3]研究了參數(shù)與時間有關(guān)的幾種新型期權(quán)的定價。近幾年,跳擴散模型下的期權(quán)定價成為了研究熱點。Merton[4]最早提出了期權(quán)定價的跳擴散模型。2012年,李翠香等[5]得到了基于隨機利率下跳-擴散過程的復合期權(quán)定價。2017年,耿延靜[6]研究了跳擴散模型下亞式期權(quán)的定價。袁國軍等[7]、鄧國和[8]、Ren Xue-min等[9]、Vipul Kumar Singh[10]也都得到了期權(quán)定價的重要結(jié)論。本文主要研究跳擴散模型下乘積期權(quán)的定價公式。
乘積期權(quán)是以兩個資產(chǎn)的價格或者股票指數(shù)的乘積作為標的物執(zhí)行的期權(quán)。資產(chǎn)價值為S1(t),S2(t),到期日為T,執(zhí)行價格為K的看漲與看跌乘積期權(quán)在到期日的收益分別為
c(S1(T),S2(T))=max(S1(T)S2(T)-K,0),
p(S1(T),S2(T))=max(K-S1(T)S2(T),0)。
乘積期權(quán)有兩個主要的應用,一個是外股本幣期權(quán),另一個是公司收入期權(quán)。2014年,Zhang P G[11]得到了普通歐式乘積期權(quán)的定價公式。
本文設(Ω,F,{Ft},Q)為帶有域流{Ft}的概率測度空間,其中Ω為樣本集合,F(xiàn)為Ω生成的σ域,Q為風險中性測度,{Ft}為本文所涉及到的隨機過程所生成的域流。假設乘積期權(quán)的資產(chǎn)價格Si(t)服從如下隨機微分方程(簡稱SDE):
(1)
首先介紹幾個重要的引理。
引理1[12](Ito’s引理) 設Xi(t)(i=1,2,…,n)是具有如下隨機微分形式的Ito’s過程:
dXi(t)=μi(t)dt+σi(t)dWi(t),i=1,2,…,n,
其中Wi(t)為布朗運動,若n元函數(shù)f(x1,x2,…,xn)具有二階連續(xù)偏導數(shù),則
引理2 若隨機變量X是測度Q下期望為μ、方差為σ2的正態(tài)分布變量,即X~N(μ,σ2),則
(2)
其中N(·)表示標準正態(tài)分布的累積函數(shù)。
由此引理2得證。
引理3 假設資產(chǎn)價格Si(t)(i=1,2)服從SDE(1),則
(3)
其中當Qi(T) 證明當Si(u)在[0,t]內(nèi)沒有發(fā)生跳躍時,則由引理1可知:當u∈(0,t)時, 兩邊從0到t積分得 假設只在T1∈[0,t]時刻發(fā)生了一次跳躍,則 因此 當跳躍次數(shù)為Qi(t)時,則 從而有 由此引理3得證。 定理1 設乘積期權(quán)的兩資產(chǎn)S1(t),S2(t)服從SDE(1),則到期日為T,執(zhí)行價格為K的看漲乘積期權(quán)在t時刻的價格為 [S1(t)S2(t)exp{M(t,T)}N(d1)-KN(d2)], 其中利率r(u)為關(guān)于時間u的確定函數(shù),u∈[t,T], 證明由風險中性定價原理可得 (4) 首先計算I2,令 則由引理3得 S1(T)S2(T)=S1(t)S2(t)exp{A(t,T)+Y(t,T)}。 (5) 由布朗運動及Possion過程的獨立增量性可知 得 由此得 ,T,λ1,m1)b(t,T,λ2,m2)KN(d2)。 (6) 下面計算I1。由式(5)及布朗運動和Possion過程的獨立增量性可知 由此得 ,T,λ1,m1)b(t,T,λ2,m2)S1(t)S2(t)exp{M(t,T)}N(d1)。 (7) 結(jié)合式(4)、(6)和(7)定理1得證。 定理2 設乘積期權(quán)的兩資產(chǎn)S1(t),S2(t)服從SDE(1),則到期日為T,執(zhí)行價格為K的看跌乘積期權(quán)在t時刻的價格為 [KN(-d2)-S1(t)S2(t)exp{M(t,T)}N(-d1)], 參數(shù)記號同定理1。 推論1 在SDE(1)中,當μi(t)=μi,σi(t)=σi均為常數(shù),λi=0時,乘積期權(quán)在t時刻的價格為 c0(S1(t),S2(t))=e-rτ[S1(t)S2(t)eμτN(d10)-KN(d20)], p0(S1(t),S2(t))=e-rτ[KN(-d20)-S1(t)S2(t)eμτN(-d10)], 其中 證明把μi(t)=μi,σi(t)=σi,λi=0代入定理1和定理2可得推論1。 注推論1正是文獻[11]中的結(jié)果。 本文假設資產(chǎn)價格服從帶跳的幾何布朗運動,利用Ito’s積分的性質(zhì)得到乘積期權(quán)的定價公式。因為這個模型更符合現(xiàn)實市場的實際情況,所以研究更具有實際意義。