張歡 王立武 唐明章

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一種航天器位姿測(cè)量的魯棒正交迭代法

張歡 王立武 唐明章

（北京空間機(jī)電研究所，北京 100094）

航天器位姿測(cè)量是許多空間任務(wù)和地面大型試驗(yàn)必不可少的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，基于合作標(biāo)志點(diǎn)的單目位姿測(cè)量技術(shù)是實(shí)現(xiàn)該測(cè)量的重要手段之一；由于受到外界復(fù)雜環(huán)境的干擾，標(biāo)志點(diǎn)提取可能會(huì)出現(xiàn)野值點(diǎn)或者精度不一致的情況，傳統(tǒng)的正交迭代方法對(duì)于該類問題不能夠達(dá)到最優(yōu)的求解精度，甚至求解錯(cuò)誤。文章提出了一種基于M估計(jì)的魯棒型正交迭代方法，使用M估計(jì)給每個(gè)標(biāo)志點(diǎn)分配不同的權(quán)重，優(yōu)化加權(quán)物方殘差目標(biāo)函數(shù)得到位姿參數(shù)。通過仿真驗(yàn)證和實(shí)物試驗(yàn)，證明了該方法可以較好地消除錯(cuò)誤數(shù)據(jù)對(duì)測(cè)量的影響，提高了正交迭代算法的測(cè)量精度和魯棒性。

位姿測(cè)量 正交迭代法 權(quán)值估計(jì) 魯棒 航天器

0 引言

精確測(cè)量航天器的位姿是航天領(lǐng)域的一項(xiàng)基礎(chǔ)技術(shù)[1-2]，是進(jìn)行空間交會(huì)對(duì)接[3-4]、編隊(duì)飛行[5]、太空機(jī)器臂[6]操作等空間任務(wù)不可缺少的前提，同時(shí)也是探測(cè)器緩沖著陸運(yùn)動(dòng)拋投實(shí)驗(yàn)[7]等地面驗(yàn)證試驗(yàn)的基礎(chǔ)。近年來，由于光學(xué)相機(jī)體積小質(zhì)量輕，基于圖像的測(cè)量方法近距離測(cè)量精度高，因此基于單目相機(jī)圖像的合作目標(biāo)位姿測(cè)量技術(shù)在航天領(lǐng)域得到了深入的研究和應(yīng)用。例如，美國(guó)的軌道快車項(xiàng)目在目標(biāo)星上布置了角反射鏡作為特征點(diǎn)，并在追蹤星上安裝了相機(jī)，相機(jī)對(duì)這些標(biāo)志點(diǎn)進(jìn)行檢測(cè)后，使用合作目標(biāo)位姿測(cè)量技術(shù)測(cè)得航天器之間的相對(duì)位姿[8]。

合作目標(biāo)位姿測(cè)量技術(shù)利用人工布設(shè)在航天器上的特征光點(diǎn)或者是航天器本身具有的結(jié)構(gòu)特征點(diǎn)，通過攝影測(cè)量可以求解得到航天器的位置和姿態(tài)參數(shù)。在攝影測(cè)量學(xué)中，使用個(gè)已知標(biāo)志點(diǎn)的三維世界坐標(biāo)以及二維圖像像素坐標(biāo)，求解世界坐標(biāo)系相對(duì)于相機(jī)坐標(biāo)系的問題，稱為點(diǎn)透視算法（PnP）[9]。近些年，PnP問題研究得到了廣泛的研究：第一個(gè)快速而高精度的算法是EPnP算法[10]，該方法通過最小化一個(gè)代數(shù)誤差，可以快速解算位姿；直接最小二乘（DLS）算法[11]和OPnP方法[12]是可以快速、精確、能夠處理多解情況的算法，它們使用多項(xiàng)式結(jié)式的方法得到殘差的解析解，但往往提供了過多的可能解析解，且其中的絕大多數(shù)都不符合要求；UPnP方法[13]是一種能夠同時(shí)處理中心投影模型和非中心投影模型的、線性復(fù)雜度的、并且是幾何最優(yōu)的算法；正交迭代（Orthogonal Iteration，OI）算法[14]是一種經(jīng)典的廣泛使用的迭代算法，與上述方法不同，該方法專門為了求解位姿估計(jì)問題而設(shè)計(jì)，具有精度高和計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛的應(yīng)用于位姿測(cè)量領(lǐng)域。

近些年的PnP問題的求解著重在于提高求解速度和提高精度，而在航天領(lǐng)域中的位姿參數(shù)測(cè)量中還需要考慮算法的魯棒性。這是由于太空環(huán)境中的強(qiáng)烈太陽光照或者是地面模擬試驗(yàn)環(huán)境中強(qiáng)烈燈光的影響，會(huì)導(dǎo)致圖像出現(xiàn)過曝光現(xiàn)象。過曝光將大大降低標(biāo)志點(diǎn)的提取精度，甚至得到錯(cuò)誤的標(biāo)志點(diǎn)圖像坐標(biāo)，即出現(xiàn)野值點(diǎn)。以上的介紹的EPnP、DLS和OI等PnP方法本質(zhì)上是求解最小二乘問題，并且它們均假設(shè)每個(gè)標(biāo)志點(diǎn)的提取精度一致，這不符合實(shí)際中野值點(diǎn)測(cè)量誤差遠(yuǎn)大于普通標(biāo)志點(diǎn)測(cè)量誤差的事實(shí)。因此在存在野值點(diǎn)的情況下，上述PnP方法均不能夠得到較好的位姿參數(shù)測(cè)量結(jié)果。

為了克服以上的困難，提高PnP算法魯棒性，本文采用了魯棒估計(jì)技術(shù)中的M估計(jì)[15]對(duì)正交迭代方法進(jìn)行改進(jìn)。其關(guān)鍵思想是通過賦予每個(gè)標(biāo)志點(diǎn)不同的權(quán)重來改進(jìn)優(yōu)化經(jīng)典正交迭代方法的目標(biāo)函數(shù)，選擇能使該目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值的位姿參數(shù)作為輸出參數(shù)。權(quán)值的選擇使用了魯棒估計(jì)技術(shù)中的M估計(jì)，該方法可以自動(dòng)地估計(jì)每個(gè)標(biāo)志點(diǎn)的提取精度，精度越高賦予的權(quán)值越大；對(duì)于野值點(diǎn)，則賦予零權(quán)值。最終消除野值點(diǎn)與測(cè)量誤差較大的點(diǎn)對(duì)位姿參數(shù)的影響，使得改進(jìn)后的正交迭代法在保證計(jì)算精度的同時(shí)，也具有了較強(qiáng)的魯棒性。

1 經(jīng)典的正交迭代方法

為了使用正交迭代方法測(cè)量航天器位姿，需要在目標(biāo)航天器上布置標(biāo)志點(diǎn)，并建立一個(gè)與目標(biāo)航天器固連的坐標(biāo)系，稱為世界坐標(biāo)系，此外還需要在追蹤航天器上或者是實(shí)驗(yàn)場(chǎng)中布置一臺(tái)相機(jī)，用于獲得標(biāo)志的圖像，并建立一個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系[16]。

OI方法的基本思想是將求解旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量的流程分開。在旋轉(zhuǎn)矩陣已知的情況下，首先求解平移向量OI()使得目標(biāo)函數(shù)OI(,)最小，

最后，使用求解絕對(duì)定向問題[17]的方法得到旋轉(zhuǎn)矩陣。該流程可以循環(huán)往復(fù)，依次得到一系列的和，當(dāng)位姿參數(shù)變化程度很小的時(shí)候停止迭代，輸出和。

2 魯棒正交迭代方法

從式（3）表示的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中可以看出，該目標(biāo)函數(shù)將所有的觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)都視為“平等”，即權(quán)值均相同。此時(shí)如果觀測(cè)數(shù)據(jù)中存在野值點(diǎn)，該野值點(diǎn)必然會(huì)嚴(yán)重影響位姿參數(shù)測(cè)量。

為了克服野值點(diǎn)帶來的影響，采用基于M估計(jì)的加權(quán)正交迭代算法以提高正交迭代算法的魯棒性。該方法的基本思想是根據(jù)每一個(gè)標(biāo)志點(diǎn)的提取精度，自動(dòng)賦予以不同的權(quán)值。

式中 閾值4.685由M估計(jì)方法給定[15]，該值的選取使得當(dāng)殘差滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)參數(shù)估計(jì)效果最優(yōu)。

雙權(quán)數(shù)函數(shù)的圖像如圖1所示，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，歸一化殘差的絕對(duì)值越大，權(quán)值越小。當(dāng)歸一化殘差絕對(duì)值大于4.685的時(shí)候，認(rèn)為該次的觀測(cè)數(shù)據(jù)為野值點(diǎn)，賦予的權(quán)值為0，因而野值點(diǎn)數(shù)據(jù)不會(huì)影響加權(quán)物方殘差函數(shù)，進(jìn)而達(dá)到了剔除野值點(diǎn)對(duì)于位姿參數(shù)測(cè)量的影響。

圖1 雙權(quán)數(shù)函數(shù)圖像

權(quán)值確定之后，通過最小化加權(quán)物方殘差函數(shù)可以求解得到位姿參數(shù)。首先將式（3）所示的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)，得到目標(biāo)函數(shù)WOI(,)，即

式中WOI(,)為加權(quán)正交迭代算法（Weighted Orthogonal Iteration，WOI）的目標(biāo)函數(shù)；為第個(gè)標(biāo)志點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)重，≥0，權(quán)值的選擇是通過M估計(jì)自動(dòng)計(jì)算得出。當(dāng)旋轉(zhuǎn)矩陣給定的時(shí)候，WOI(,)可寫成

然后按類似于經(jīng)典的正交迭代的流程，將旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量依次使用迭代的方法進(jìn)行求解。具體而言，首先分別計(jì)算()和的中心和，即

然后計(jì)算矩陣

根據(jù)式（7）可以得到平移向量更新值(new)。如此循環(huán)往復(fù)，直到旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量更新值穩(wěn)定為止。

綜合以上所述，魯棒正交迭代算法步驟如下：

1）使用經(jīng)典的正交迭代方法求解得到位姿參數(shù)初始值初始解(k)和(k)，其中表示迭代次數(shù)，初始時(shí)=0；

4）根據(jù)式（9）~（11）得到旋轉(zhuǎn)矩陣更新值(k+1)，根據(jù)式（7）算得平移向量更新值(k+1)。

5）如果旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量的變化量均小于給定閾值，則停止迭代，否則返回步驟2）。

3 仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 仿真試驗(yàn)

為了驗(yàn)證魯棒正交迭代方法的有效性，利用Matlab進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，在計(jì)算精度和魯棒性方面將其與傳統(tǒng)的正交迭代方法進(jìn)行對(duì)比。

為了與實(shí)驗(yàn)室實(shí)際使用的相機(jī)的內(nèi)參數(shù)矩陣保持一致，仿真中采用的相機(jī)內(nèi)參數(shù)矩陣為

由于實(shí)驗(yàn)室采用的中心投影相機(jī)，因此矩陣中方向和方向的等效焦距數(shù)值相同，光心圖像坐標(biāo)兩個(gè)分量也相同。

每一次仿真中，隨機(jī)生成旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量。由于只有三個(gè)自由度，表示剛體繞三個(gè)軸的轉(zhuǎn)角，可使用三維的羅德里格斯向量來等價(jià)表示。平移向量的、方向的分量t、t在[–100 mm，100 mm]內(nèi)獨(dú)立均勻分布，最后一個(gè)分量t選擇為1 500 mm加一個(gè)[–250 mm，250 mm]間的均勻分布。仿真使用的標(biāo)志點(diǎn)個(gè)數(shù)為12個(gè)，均勻分布在世界坐標(biāo)系[–100 mm，100 mm]×[–100 mm，100 mm]× [–100 mm，100 mm]的立方體內(nèi)。設(shè)置圖像點(diǎn)的點(diǎn)位提取誤差均值為0，方差為0.4個(gè)像素。為了測(cè)試魯棒性，隨機(jī)選擇2個(gè)標(biāo)志點(diǎn)的圖像坐標(biāo)，加入[0,50]像素的均勻分布噪聲。根據(jù)仿真得到的羅德里格斯向量cal、平移向量cal，定義姿態(tài)的計(jì)算誤差為D=cal–，平移向量的計(jì)算誤差為D=cal–。仿真次數(shù)為15次。

為了方便顯示，繪圖時(shí)對(duì)姿態(tài)誤差和位置誤差進(jìn)行了對(duì)數(shù)運(yùn)算，圖2分別給出了仿真的平移向量以及旋轉(zhuǎn)矩陣的計(jì)算誤差，表1為15次仿真試驗(yàn)的平移向量測(cè)量誤差結(jié)果。從圖2（a）以及表1可以看出，相比于經(jīng)典的OI方法，本文提出的魯棒正交迭代方法可以大幅度的提高平移向量的測(cè)量精度，有效克服了野值點(diǎn)帶來的影響；由圖2（b）以及表2可以看出，魯棒正交迭代結(jié)果優(yōu)于經(jīng)典的正交迭代結(jié)果，可以有效地減少野值點(diǎn)的影響，提高測(cè)量精度，具有較好的魯棒性。

在計(jì)算時(shí)間方面，由于需要額外進(jìn)行權(quán)值的計(jì)算，魯棒正交迭代法的運(yùn)行時(shí)間要多于經(jīng)典的正交迭代方法，魯棒正交迭代方法需要的時(shí)間為0.04s左右，能夠滿足正常的航天器位姿測(cè)量的時(shí)間需求。

圖2 經(jīng)典正交迭代方法與本文方法的位置和姿態(tài)參數(shù)測(cè)量結(jié)果比較

表1 仿真試驗(yàn)中平移向量測(cè)量誤差數(shù)據(jù)

Tab.1 Translation vector measurement error data in simulation experiment

表2 仿真試驗(yàn)中姿態(tài)測(cè)量誤差數(shù)據(jù)

Tab.2 Attitude measurement error data in simulation experiment

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證魯棒正交迭代方法的有效性，進(jìn)行一組實(shí)物實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)裝置由高精度控制平臺(tái)和一臺(tái)事先標(biāo)定好內(nèi)參數(shù)的相機(jī)組成，其中相機(jī)內(nèi)參數(shù)使用張正友標(biāo)定方法得到[18]?？刂破脚_(tái)上固定了一塊布置有若干標(biāo)志點(diǎn)的鋁板，世界坐標(biāo)系固連在鋁板上。標(biāo)志點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可以通過激光跟蹤儀測(cè)量得到。由于世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量難以直接測(cè)量，因此本文借助高精度控制平臺(tái)移動(dòng)世界坐標(biāo)系，通過相機(jī)對(duì)標(biāo)志點(diǎn)進(jìn)行拍照，然后通過圖像計(jì)算出前后兩個(gè)世界坐標(biāo)系相對(duì)于相機(jī)坐標(biāo)系的位姿，進(jìn)而計(jì)算出移動(dòng)前后兩個(gè)世界坐標(biāo)系之間的位姿，將該位姿與高精度控制平臺(tái)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以此驗(yàn)證本文算法的魯棒性。

在實(shí)驗(yàn)過程中，通過操作高精度控制平臺(tái)，對(duì)鋁板進(jìn)行若干次平移，每次平移后，通過相機(jī)圖像提取得到標(biāo)志點(diǎn)的像素坐標(biāo)。為了測(cè)試本文算法的魯棒性，每次隨機(jī)選擇4個(gè)標(biāo)志點(diǎn)的圖像坐標(biāo)，加入[0,50]的均勻分布噪聲。將含有野值點(diǎn)的圖像坐標(biāo)代入本文魯棒正交迭代方法，得到世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系之間的位姿參數(shù)，進(jìn)而可以換算出兩次平移之間的距離。將通過圖像測(cè)量得到的平移量和控制平臺(tái)輸入的平移量進(jìn)行對(duì)比即可驗(yàn)證本算法的魯棒性。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖3所示，其中圖3（a）展示了實(shí)驗(yàn)中平移向量的測(cè)量誤差結(jié)果；圖3（b）展示了姿態(tài)參數(shù)的測(cè)量誤差結(jié)果?？梢钥闯觯褂敏敯粽坏椒?，能夠有效克服野值點(diǎn)帶來的影響，正確地進(jìn)行位姿參數(shù)的求解。因此，本文提出的魯棒正交迭代方法具有較好的魯棒性。

圖3 實(shí)驗(yàn)誤差

4 結(jié)論

采用單目視覺系統(tǒng)對(duì)航天器位置姿態(tài)測(cè)量具有非接觸、精度高、可靠性好、實(shí)施操作簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，尤其在近距離范圍內(nèi)優(yōu)勢(shì)更為明顯。為了提高經(jīng)典的正交迭代算法的魯棒性，本文基于攝影測(cè)量理論和魯棒估計(jì)理論，提出了一種基于M估計(jì)的改進(jìn)的魯棒正交迭代算法。仿真與實(shí)驗(yàn)表明，相比于經(jīng)典的正交迭代方法，該方法可以有效地克服野值點(diǎn)帶來的影響，提高位姿解算的魯棒性和計(jì)算精度。該方法可以應(yīng)用于太空環(huán)境下的航天器位姿參數(shù)測(cè)量，也適用于地面的復(fù)雜光環(huán)境下的位姿參數(shù)測(cè)量，能夠輔助完成空間交會(huì)對(duì)接、探測(cè)器緩沖著陸運(yùn)動(dòng)拋投實(shí)驗(yàn)等重大任務(wù)。

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A Robust Orthogonal Iteration Method for Measuring the Pose of Spacecraft

ZHANG Huan WANG Liwu TANG Mingzhang

（Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China）

Pose estimation of spacecraft is a key link indispensable for many space missions and large-scale ground tests. Monoclinic pose estimation based on cooperation points is one of the important means to realize this measurement. Due to the interference from complex environment, the sign point extraction may have outliers or inconsistencies in accuracy. The traditional orthogonal iteration method can’t achieve optimal solution accuracy and even obtain false solution for such problems. In this paper, a robust orthogonal iterative method based on M estimation is proposed, in which M markers are used to assign different weights to each marker point, and the residual objective function of weighted object is optimized to get the pose parameters. The results of simulation and experiment show that this method can eliminate the misdata influence on the measurement and improve the measurement accuracy and robustness of orthogonal iterative algorithm.

pose estimation; orthogonal iteration; weighted estimation; robustness; spacecrafts

O436；V19

A

1009-8518(2018)05-0066-08

10.3969/j.issn.1009-8518.2018.05.009

張歡，男，1987年生，2012年獲南京理工大學(xué)軍事化學(xué)與煙火技術(shù)專業(yè)碩士學(xué)位，工程師。目前主要從事航天器系統(tǒng)試驗(yàn)光學(xué)測(cè)量方面的工作。E-mail：491933842@qq.com。

2018-01-29

（編輯：夏淑密）