謝能實(shí)

（連江黃如論中學(xué)，福建 福州 350500）

有關(guān)簡單多面體的外接球問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)。簡單多面體的外接球問題，能很好地考查學(xué)生應(yīng)用圖形和空間想象思考問題的意識(shí)，考查學(xué)生的直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)。作為高三復(fù)習(xí)的專題內(nèi)容，簡單多面體的外接球問題仍是立體幾何的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

一、補(bǔ)形法求半徑

（一）補(bǔ)成長方體模型法

［例1］在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA=AB=1,BC=，求三棱錐S-ABC的外接球的體積。

策略分析：補(bǔ)形法。

依題意得SA,AB,AC兩兩垂直，因此可以把三棱錐S-ABC補(bǔ)形成長方體ABDC-SB1D1C1，如圖1所示。

圖1

三棱錐S-ABC的外接球即為長方體ABDCSB1D1C1的外接球。

的

常見的可以補(bǔ)成長方體模型其實(shí)就是長方體八個(gè)頂點(diǎn)中選取四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三棱錐。

圖2

圖3

圖4

情形1（如圖2），三棱錐B1-ABD，棱AB,BD,B1B兩兩垂直，可以補(bǔ)形成長方體；

情形2（如圖3），三棱錐C1-ABD，側(cè)面中直角三角形ABC1和直角三角形ADC1有公共斜邊AC1，可以補(bǔ)形成長方體；

情形3（如圖4），三棱錐A1-BDC1，三組對棱分別相等，可以補(bǔ)形成長方體。

特別地，當(dāng)例1和情形1（如圖2）中三條兩兩垂直的棱長相等時(shí)，可以補(bǔ)形成正方體；當(dāng)情形3（如圖4）中的三棱錐為正四面體時(shí)，可以補(bǔ)形成正方體。

（二）補(bǔ)成直棱柱模型法

［例2］在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=2，AC=BC= 3，求三棱錐S-ABC的外接球的半徑。

策略分析：因?yàn)镾A⊥平面ABC，所以可把三棱錐S-ABC（如圖5）補(bǔ)成直棱柱（如圖6），點(diǎn) D,F分別是上下底面的外心，則DF的中點(diǎn)O即為外接球的球心。

圖5

圖6

通過例題可以發(fā)現(xiàn)，直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)，長方體或正方體的外接球的球心是在其體對角線的中點(diǎn)處，所以就轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)直三棱柱和長方體外接球的問題。用補(bǔ)形法解決外接球的問題策略與途徑：正四面體可補(bǔ)形成正方體；三條棱兩兩垂直的四面體可補(bǔ)形成長方體；三組相對的棱都相等的三棱錐可補(bǔ)形成長方體；共斜邊的兩個(gè)直角三角形為面的三棱錐可補(bǔ)形成長方體；一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐可補(bǔ)成直三棱柱。

二、外心定球心法求半徑

［例3］正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，求該球的表面積。

解析：如圖7，設(shè)球半徑為R，底面中心為O′且球心為O，

∵正四棱錐P-ABCD，AB=2,

圖7

∴ AO′= 2，

∵ PO′=4，

∴在 Rt△AOO′中,AO2=AO′2+OO′2，

［例4］已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AD ⊥ AB，AB=2,AC=CD=1，將梯形ABCD沿對角線AC折疊成三棱錐D-ABC，當(dāng)二面角D-AC-B是直二面角時(shí)，求三棱錐D-AB的外接球的體積。

圖8

解析：如圖，由條件知△ABC是以AB為直徑的直角三角形，

所以O(shè)D=1，從而OC=OB=OA=OD=1，即O為三棱錐D-ABC的外接球的球心，R=1，故三棱錐D-ABC的外接球的體積為

一般棱錐的外接球的球心是在經(jīng)過棱錐的面的外接圓的圓心，且垂直于這個(gè)面的直線上。實(shí)施以外心探索球心的方法求解外接球半徑問題的策略，分以下步驟：

（1）找多面體某個(gè)面的外心；

（2）再找這個(gè)面的過這個(gè)外心的垂線（球心在此垂線上）；

（3）利用球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系，d2+r2=R2求外接球半徑。其中，等邊三角形的外心，即中心；直角三角形的外心就是斜邊中點(diǎn)，r為斜邊一半；非特殊三角形，可用正弦定求其外接圓半徑。

解決外接球半徑的問題，主要突破策略是補(bǔ)形和以外心探索球心這兩種方法。補(bǔ)形法是解決三棱錐外接球問題非常重要的數(shù)學(xué)方法，學(xué)生在做題時(shí)如果準(zhǔn)確把握和識(shí)別應(yīng)用補(bǔ)形法的條件，就能將復(fù)雜的問題簡單化，提高解題效率。以外心探索球心的方法，就是選擇最佳角度找出含有多面體特征元素的外接球的球心位置，進(jìn)一步求得球的半徑，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究的一種方法。

三、軌跡法求半徑

解決簡單多面體的外接球問題時(shí)，方法的選擇在依據(jù)試題給出的條件，以上給出了解決簡單多面體外接球問題的常見的方法，遇到較為復(fù)雜的問題，要應(yīng)用化歸思想轉(zhuǎn)化為上述的解題策略來解決的。

圖9

［例5］在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=AB=BC=2，求 三 棱 錐 PABC的外接球的半徑。

解析：如圖，設(shè)點(diǎn)M和點(diǎn)G分別是△PAC和△ABC外心，過M作MO⊥平面PAC，過G作GO⊥平面ABC，MO與GO交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為棱錐P-ABC的外接球的球心。

此題通過兩次應(yīng)用以外心探索球心的方法，找出球心O的位置，然后找到相應(yīng)的等量關(guān)系求出外接球半徑。

［例6］空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，且EF⊥AB，EF⊥CD。若AB=8，CD=EF=4，求該球的半徑。

策略分析：四面體ABCD的四個(gè)面都無法確定，因此無法確定各個(gè)面的外心，無法用補(bǔ)形法或以外心探索球心法解決此題。在無法確定外接球的球心時(shí)，我們盡量想辦法縮小球心的位置區(qū)域。其實(shí)，到C,D兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是過EF且垂直直線CD的平面，到A,B點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是過EF且垂直直線AB的平面，因此，外心應(yīng)在直線EF上，如圖10所示。

圖10

此題是通過球心落在棱的中垂面上來求解。因此，解無定法，只有通過不斷學(xué)習(xí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)解題能力，才能在千變?nèi)f化的條件中找到解題的策略與方法。

總之，多面體的外接球問題是有關(guān)球的問題的基本題型之一，它能全方位、多角度、深層次考查空間想象能力，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)。這類問題由于不易畫圖而變得抽象難解，尋找球心也成為解決此類問題的難點(diǎn)和關(guān)鍵。限于篇幅，以上僅重點(diǎn)介紹補(bǔ)形和以外心探索球心這兩種基本方法，并結(jié)合運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)探究軌跡法求外接球半徑，達(dá)到掌握解決此類問題的策略和途徑。