李 娜，高雷阜，王 磊

1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 葫蘆島 125105

2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 阜新 123000

1 引言

多準(zhǔn)則決策主要研究在多個(gè)準(zhǔn)則下選擇最優(yōu)方案或?qū)τ邢薜姆桨高M(jìn)行排序和評價(jià)，是決策分析理論的重要內(nèi)容之一，其理論與方法在經(jīng)濟(jì)、管理、工程和軍事等諸多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[1-4]。由于客觀事物的復(fù)雜性和不確定性，現(xiàn)代大型決策往往不僅需要多個(gè)決策者參與，而且需要多次反復(fù)、不斷地對決策意見進(jìn)行協(xié)調(diào)和修正，因此，交互式?jīng)Q策過程顯得十分重要。徐澤水[5]充分利用已知客觀信息的同時(shí)又可最大限度地考慮決策者的交互要求下，提出一種交互式多準(zhǔn)則決策方法，從而使決策更具合理性。徐澤水[6]提出了一種基于殘缺互補(bǔ)判斷矩陣的交互式群決策方法。陳建中等[7]基于TOPSIS的方法，提出一套可以綜合序數(shù)性偏好表示，多輪交互逐步逼近的群決策綜合方法。王玉寶[8]提出一種基于方案集縮減策略的交互式多屬性決策方法。周宏安[9]提出了基于方案貼近度和滿意度的交互式多屬性決策方法。

由于客觀事物的復(fù)雜性、不確定性以及人類思維的模糊性，當(dāng)決策者受一些主、客觀因素制約時(shí)，他們往往以不確定語言方式描述評價(jià)信息。Xu等[10]研究了準(zhǔn)則權(quán)重信息部分已知，評價(jià)信息由三角模糊數(shù)刻畫的交互式?jīng)Q策問題。文獻(xiàn)[11]基于概率權(quán)重具有穩(wěn)定性和結(jié)果價(jià)值具有模糊性兩項(xiàng)條件，提出了兩層交互式有限理性決策方法。在部分權(quán)重信息下的不確定語言環(huán)境下，文獻(xiàn)[12]建立了一些決策者與分析者之間不斷交互的線性規(guī)劃模型，然后在此基礎(chǔ)上提出了一種實(shí)用的交互式選擇最佳方案的方法。在直覺模糊環(huán)境下，肖建彪[13]在部分權(quán)重信息下，基于方案的期望水平、達(dá)成度、滿意度等概念，提出了一種交互式多屬性決策方法。Xu[14]將文獻(xiàn)[10]的模糊環(huán)境下的研究結(jié)果推廣到直覺模糊環(huán)境下。胡浩等[15]通過計(jì)算各個(gè)專家對方案的偏好矢量與理想方案偏好矢量間的相似度，提出了直覺模糊動(dòng)態(tài)信息下的交互式?jīng)Q策方法。

在實(shí)際決策過程中，由于環(huán)境的復(fù)雜性和人的認(rèn)知，決策者可能給出一個(gè)方案滿足和不滿足一個(gè)準(zhǔn)則的程度之和大于1的情況。例如：評價(jià)軟件開發(fā)項(xiàng)目，對于技術(shù)可行性這個(gè)準(zhǔn)則，決策者給出具有這個(gè)準(zhǔn)則的程度為0.5，而不具有這個(gè)準(zhǔn)則的程度可能為0.6，由于0.5+0.6＞1，直覺模糊數(shù)無法描述，但0.52+0.62=0.61＜1。為此，Yager等[16-17]于2014年提出了Pythagorean模糊集，其特點(diǎn)是隸屬度與非隸屬度之和可以大于1，但隸屬度與非隸屬度的平方和小于等于1，可見Pythagorean模糊集是對直覺模糊集的一種擴(kuò)展，因此在處理模糊性和不確定性信息方面具有更強(qiáng)的表現(xiàn)能力。目前在Pythagorean模糊環(huán)境下，多準(zhǔn)則決策已有一些研究[18-21]，但交互式多準(zhǔn)則決策問題還未見報(bào)道。為此，本文在準(zhǔn)則權(quán)重信息部分已知的情況下，研究準(zhǔn)則值為區(qū)間Pythagorean模糊數(shù)的交互式多準(zhǔn)則決策問題。

2 基本概念

定義1[16]設(shè)X為一個(gè)給定論域，稱P={＜x,μP(x),vP(x)＞|x∈X}為 X上的Pythagorean模糊集，其中，μP(x)∈[0,1],vP(x)∈[0,1],且表示x對p的隸屬程度，vP(x)表示x對 p的非隸屬程度，為x對 p的猶豫度。

為了表示方便，稱 α=(μα,vα)為 Pythagorean 模糊數(shù)[14]，其中，記X上的Pythagorean模糊數(shù)為PFN(X)。

定義2[16]設(shè) X 為一個(gè)給定論域，稱為 X 上的區(qū)間Pythagorean模糊集，其中且,猶豫度區(qū)間為：

定義3[17]令，稱為區(qū)間Pythagorean模糊數(shù)?的得分值，其中s為得分函數(shù)。顯然越大，越大。

3 區(qū)間Pythagorean模糊信息下的交互式多準(zhǔn)則決策

3.1 問題描述

定義4 設(shè)為第 i個(gè)方案，ω =(ω1,ω2,…,ωn)T為準(zhǔn)則權(quán)向量，稱

為方案Yi的加權(quán)得分向量，且稱

為 s(Yi(ω))的模。

方案Yi,i=1,2,…,m的模s(Yi(ω))越大，表明方案Yi,i=1,2,…,m 越好，若準(zhǔn)則權(quán)向量 ω=(ω1,ω2,…,ωn)T已知，則通過式（2）得到每個(gè)方案的模，進(jìn)而通過模的大小進(jìn)行排序。實(shí)際決策過程中，往往對準(zhǔn)則權(quán)向量信息的了解只是部分的，接下來研究準(zhǔn)則權(quán)重不完全確定情形下的決策。

3.2 準(zhǔn)則權(quán)重的確定

定義5分別稱

為區(qū)間Pythagorean模糊正理想方案和區(qū)間Pythagorean模糊負(fù)理想方案，其中：

定義6 設(shè)為區(qū)間 Pythagorean 模糊正理想方案為準(zhǔn)則權(quán)向量，稱

為區(qū)間Pythagorean模糊正理想方案Y+的加權(quán)得分向量，且稱

為 s(Y+(ω))的模。

類似定義6有定義7。

定義7 設(shè)為區(qū)間 Pythagorean 模糊負(fù)理想方案，為準(zhǔn)則權(quán)向量，稱

為區(qū)間Pythagorean模糊負(fù)理想方案Y-的加權(quán)得分向量，且稱

為 s(Y-(ω))的模。

定義8設(shè)

分別為方案Yi和區(qū)間Pythagorean模糊正理想方案Y+的加權(quán)得分向量，稱

為s(Yi(ω))和s(Y+(ω))的相關(guān)系數(shù)，即夾角余弦。并稱

為 s(Yi(ω))在 s(Y+(ω))的投影。的值越大，說明 s(Yi(ω))越接近 s(Y+(ω))，即方案Yi越好。關(guān)于相關(guān)系數(shù)顯然有如下結(jié)論。

定理1設(shè)

分別為方案Yi和區(qū)間Pythagorean模糊正理想方案Y+的加權(quán)得分向量，則：

類似定義8，有定義9。

定義9設(shè)

分別為方案Yi和區(qū)間Pythagorean模糊負(fù)理想方案Y-的加權(quán)得分向量，稱

為s(Yi(ω))和s(Y-(ω))的相關(guān)系數(shù)，即夾角余弦。并稱

為 s(Yi(ω))在 s(Y-(ω))的投影。

定理2設(shè)

分別為方案Yi和區(qū)間Pythagorean模糊負(fù)理想方案Y-的加權(quán)得分向量，則：

決策過程中，僅僅單獨(dú)利用式（10）或（12）評價(jià)方案并不全面，為此將式（10）和（12）綜合起來，得到定義10。

定義10稱

為方案Yi的滿意度。

滿意度μ(Yi(ω))反映了方案Yi總屬性值的大小，μ(Yi(ω))的值越大，說明方案 Yi越好，且 μ(Yi(ω))∈[0,1]。

為了確定權(quán)重，建立如下多目標(biāo)優(yōu)化模型：

其中，H為屬性權(quán)重信息不完全的數(shù)學(xué)表達(dá)式集合。

根據(jù)多目標(biāo)優(yōu)化理論中的線性加權(quán)和法，考慮到各個(gè)方案之間的公平競爭，模型（14）可轉(zhuǎn)化為如下的單目標(biāo)優(yōu)化模型：

定理3單目標(biāo)優(yōu)化模型（15）的最優(yōu)解為多目標(biāo)優(yōu)化模型（14）的有效解。

證明方法同文獻(xiàn)[13]。

3.3 交互式?jīng)Q策步驟

考慮到?jīng)Q策者的偏好，實(shí)際決策過程中由模型（14）和模型（15）解出的某些方案的滿意度過大，相比而言另一些方案的滿意度過小，決策者可能要對方案的滿意度進(jìn)行調(diào)整，為此建立如下交互式優(yōu)化模型：

定理4單目標(biāo)優(yōu)化模型（17）的最優(yōu)解是多目標(biāo)優(yōu)化模型（14）的有效解。

證明方法同文獻(xiàn)[13]。

基于以上分析，下面給出Pythagorean模糊信息下權(quán)重信息不完全確定的區(qū)間多準(zhǔn)則決策問題的交互式?jīng)Q策方法。

步驟1利用模型（16）求出初始最優(yōu)權(quán)重向量ω(0)=計(jì)算每個(gè)方案的初始滿意度i=1,2,…,m，決策者據(jù)此給出每個(gè)方案滿意度的下限值λ(0)i,i=1,2,…,m。令c=1。

步驟2利用模型（17）求出最優(yōu)權(quán)重向量計(jì)算每個(gè)方案的滿意度2,…,m。

步驟3若決策者對步驟2的所得結(jié)果滿意，則利用式（2）計(jì)算出的每個(gè)方案的模 s(Yi(ω)),i=1,2,…,m,對方案進(jìn)行排序，并轉(zhuǎn)步驟4。若模型（17）無解或者決策者對結(jié)果不滿意，則決策者根據(jù)需要適當(dāng)提高一些方案的最低滿意度，同時(shí)降低另一些方案的最低滿意度，令c=c+1，然后轉(zhuǎn)步驟2。

步驟4結(jié)束。

4 算例分析

步驟1利用模型（16）建立優(yōu)化模型（18）。

步驟2利用模型（17）建立優(yōu)化模型（19）。

利用軟件Matlab7.0求解該模型，無解。表明決策者給出某些方案滿意度的下限值相比初始權(quán)向量確定出的滿意度過大，如方案

下面決策者對方案滿意度的下限值進(jìn)行調(diào)整，如下：

表1 區(qū)間Pythagorean模糊決策矩陣R

表2 兩種方法結(jié)果對比

于是重新求解模型（19）得最優(yōu)準(zhǔn)則權(quán)重向量為：

由該準(zhǔn)則權(quán)向量計(jì)算每個(gè)方案的滿意度為：

步驟3決策者對此結(jié)果感到滿意，利用式（2）算得每個(gè)方案的模為：

于是得到排序結(jié)果為：

表明高新技術(shù)企業(yè)Y2在風(fēng)險(xiǎn)評估方面評價(jià)結(jié)果最好。

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，計(jì)算得權(quán)重ω=(0.15,0.20,0.20,0.30,0.05,0.10)，利用文獻(xiàn)[22]中的區(qū)間Pythagorean模糊加權(quán)平均（IVPF-WAA）算子，對各個(gè)方案的信息進(jìn)行集結(jié)，并通過各個(gè)方案的得分獲得排序結(jié)果，與本文方法比較如表2所示。

由表2，兩種方法得到的排序結(jié)果完全一致，表明了本文方法的有效性。但本文的決策方法體現(xiàn)了反復(fù)、不斷地對決策意見進(jìn)行協(xié)調(diào)和修正的一種動(dòng)態(tài)過程，優(yōu)于IVPF-WAA集結(jié)算子。雖然文獻(xiàn)[13]提出了一種交互式?jīng)Q策方法，但該方法只適用于評價(jià)值由直覺模糊數(shù)刻畫，即要求隸屬度與非隸屬度之和小于等于1，而對于本文中的評價(jià)值由區(qū)間Pythagorean模糊數(shù)刻畫的決策問題，文獻(xiàn)[13]的方法無法解決。由此表明，本文方法具有一定的優(yōu)越性，更適合于復(fù)雜環(huán)境下的決策。

5 結(jié)束語

交互式?jīng)Q策是多準(zhǔn)則決策的一個(gè)重要研究內(nèi)容，在實(shí)際決策過程中，由于環(huán)境的復(fù)雜性和人的認(rèn)知評價(jià)信息往往帶有不確定性，本文在準(zhǔn)則權(quán)重信息部分已知情況下，利用區(qū)間Pythagorean模糊數(shù)的得分函數(shù)確定每個(gè)方案的加權(quán)得分向量、區(qū)間Pythagorean模糊正理想方案的加權(quán)得分向量以及區(qū)間Pythagorean模糊負(fù)理想方案的加權(quán)得分向量，進(jìn)而給出方案滿意度的概念，并且建立關(guān)于準(zhǔn)則權(quán)重的最優(yōu)化模型，通過模型求解得到最優(yōu)準(zhǔn)則權(quán)向量?？紤]到?jīng)Q策者對方案滿意度的主觀要求，依據(jù)方案滿意度和決策者給出的滿意度的下限值建立了交互式?jīng)Q策優(yōu)化模型，通過對方案滿意度的給定和修正來實(shí)現(xiàn)人機(jī)交互決策，使決策方案滿足決策者的要求，并使各方案盡可能達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)，豐富了Pythagorean模糊多準(zhǔn)則決策的研究內(nèi)容。本文的決策是在屬性權(quán)重?cái)?shù)學(xué)表達(dá)式集合已知的情形下進(jìn)行的，后續(xù)的研究將結(jié)合實(shí)際問題背景進(jìn)一步分析確定權(quán)重約束。