矩形內(nèi)接正三角形問題的探究

☉江蘇省南京市金陵中學(xué)仙林分校中學(xué)部 毛亞玲

江蘇省南京市2017年中考第27題以學(xué)生熟悉的折紙為背景，結(jié)合“軸對稱、旋轉(zhuǎn)與位似”及勾股定理、特殊三角形，綜合運用操作探究、猜想證明、語言呈現(xiàn)、線段求值解決矩形內(nèi)部最大正三角形問題，尤其第（3）問關(guān)于矩形內(nèi)部最大正三角形的操作、計算、作圖難度系數(shù)只有2，而此類問題與教學(xué)緊密相連，學(xué)生非常感興趣，如何突破難點顯得尤為重要.筆者對此類問題進行了梳理、總結(jié).

一、試題呈現(xiàn)

題目：（2017年江蘇·南京卷第27題第（3）問）（3）已知矩形一邊長為3cm，另一邊長為a cm.對于每一個確定的a的值，在矩形中都能畫出最大的等邊三角形.請畫出不同情形的示意圖，并寫出對應(yīng)的a的取值范圍.

二、問題解決

探究1：任意矩形都有一個最大的內(nèi)接正三角形.

對于問題（3），我們不妨假設(shè)矩形的一邊長為a，另一邊長為b，由此我們可以探討對于任意一個矩形而言，其內(nèi)部是否存在面積最大的正三角形，以及最大面積是多少的問題.

分析：在圖1所示的矩形ABCD中，設(shè)AB=a，BC=b.不妨設(shè)b＞a，考慮到面積最大，應(yīng)盡量使正三角形的頂點在矩形的邊上，分如下四種情況討論.

情形1：如圖1所示，正三角形的三個頂點中的一個頂點與矩形頂點重合，另外兩個分別在矩形較長的一組對邊上.

情形2：如圖2、圖3所示，正三角形的三個頂點中的一個頂點在較短邊上，另外兩個分別在矩形較長的一組對邊上.

在圖2中，過F2作BC的垂線交AD于點H，設(shè)∠E2F2H=α，由題意知α＜30°，則cosα＞cos30°.

在Rt△E2F2H中，，此種情況舍去.

同理，圖3這種情況也可以得出上述結(jié)論.

情形3：如圖4所示，正三角形的三個頂點中的一個頂點與矩形頂點重合，另外一個在矩形較長的邊上，第三個在矩形內(nèi)部.

在圖4中，設(shè)∠ABE4=β.由題意知，β＜30°，則cosβ＞cos30°.

在Rt△ABE4中，，此種情況舍去.

情形4：如圖5所示，正三角形的三個頂點中的兩個頂點與矩形較短邊頂點重合，第三個在矩形內(nèi)部.

結(jié)論1得證.

下面我們可以考慮幾種特殊情況：

（2）當(dāng)任意矩形為正方形，由結(jié)論2我們得到正方形內(nèi)接最大正三角形面積為正方形邊長平方的

由結(jié)論2我們可以考慮正五邊形、正六邊形……正n邊形的內(nèi)接最大正三角形問題，以正五邊形和正六邊形為例，當(dāng)正三角形一邊與正多邊形一邊重合時，此時面積最小，固定正三角形的一個頂點，拉著邊往上移動，正三角形的面積逐漸增大，直到正三角形的第三個頂點落在正多邊形邊上時，面積最大并且唯一，此時的圖形是軸對圖形.我們設(shè)正五邊形的邊長為a，可以得到此時正五邊形內(nèi)接最大正三角形面積為同理，正六邊形邊長為a的話，它的內(nèi)接最大正三角形面積為，并且我們發(fā)現(xiàn)此時正三角形的頂點正好在正六邊形的間隔開的三個頂點上.以此類推，若是正九邊形的話，其最大的內(nèi)接正三角形的頂點也是在間隔開的三個頂點上.那么，凡是邊數(shù)是3的倍數(shù)的多邊形，其內(nèi)接最大的正三角形的頂點一定在其等距間隔開的三個頂點上.而在兩個倍數(shù)之間的正多邊形，可采取分割多邊形成三角形的思想和正弦定理，求出正三角形的邊長，面積即可得.

三、實踐操作

探究2：任意矩形內(nèi)接正三角形的尺規(guī)作法.

下面我們可以嘗試用尺規(guī)作圖的方式將這三種情況通過作圖作出來.定理1和定理2的作圖比較容易，這里不再贅述.定理3在確定了a與b的情況下，tanα的值已知，在銳角范圍內(nèi)α的值也就唯一確定，從而矩形內(nèi)部的正三角形也唯一確定.

舉例：如圖7，設(shè)單位長度為1，一邊長a=2.4，另一邊長為b=2.5（a與b可測），可利用如下方法尺規(guī)作圖作出α的大小.

第一步：利用相似三角形的性質(zhì)：如圖7，AD=a，AE=1，AB=b，可得到，同時利用等邊三角形作出

四、相關(guān)拓展

探究3：邊長為a的正三角形的外接矩形面積的最小值.

要使得正三角形的外接矩形最小，應(yīng)使得正三角形的邊或頂點在外接矩形的邊上，所以我們得到如下兩種情況：

情況1：在圖8中，正三角形MBC的一邊BC與矩形的一邊重合，此時外接矩形的另一條邊AB即為正三角形MBC的高，則BC=a，，所以S=AB·ABCD

情況2：在圖9中，設(shè)∠RBC=θ，則∠ABN=30°-θ.

在Rt△RBC中，BC=a·cosθ.

同理，在Rt△ABN中，AC=a·co（s30°-θ）.

要使得矩形ABCD的面積最小，就要使cos（30°-2θ）最小.根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，可知當(dāng)30°-2θ最大，即θ=0°時滿足題意.此時與情況1完全一致.于是我們得到如下結(jié)論：