崔漢哲

摘要：復(fù)變函數(shù)的課程內(nèi)容與實(shí)變函數(shù)微積分有密切的聯(lián)系和重要的區(qū)別。以后者為參照物，在復(fù)變函數(shù)的課程教學(xué)中廣泛而恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用比較法，可使學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容有形象而深刻的理解。對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量和效果有重要作用。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù) 實(shí)變函數(shù) 微積分 比較法

對(duì)于復(fù)變函數(shù)，情況則非常不同。可以證明，復(fù)變函數(shù)的解析、可導(dǎo)以及具有任意階導(dǎo)數(shù)這三個(gè)條件是等價(jià)的。具體而言，即有如下性質(zhì)——復(fù)變函數(shù)w=f（z）在某區(qū)域內(nèi)解析（即可以展開為冪級(jí)數(shù)）←→f（z）在該區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)←→f（z）在該區(qū)域內(nèi)處處具有任意階導(dǎo)數(shù)。因此在復(fù)變函數(shù)的教科書中，定義函數(shù)可導(dǎo)之后便可引進(jìn)解析的概念，而不必將其放到級(jí)數(shù)的內(nèi)容中。這樣做的好處，一是可導(dǎo)的概念學(xué)生相對(duì)比較熟悉，因而用可導(dǎo)定義解析的方式也較易為學(xué)生接受。二是解析是復(fù)變函數(shù)中核心的概念，較早將其引進(jìn)有助于學(xué)生對(duì)整個(gè)課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)和消化。如果在講述級(jí)數(shù)之后再引進(jìn)這個(gè)概念，那時(shí)早已課程過半，有些太遲了。

教師這樣完整交代解析定義的來龍去脈以后，學(xué)生便可打消疑惑，并更深刻體會(huì)到復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)微積分的區(qū)別，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

三、初等函數(shù)的定義

復(fù)變函數(shù)中的常見初等函數(shù)包括指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等。以指數(shù)函數(shù)為例，我國大多數(shù)復(fù)變函數(shù)教科書中是直接給出定義的。即設(shè)z=x+yi，x，y∈R，則將e^z定義為e^x·e^yi=e^x（cos y+isin y）。這里立即出現(xiàn)了一個(gè)最基本的問題，也是筆者在課堂上經(jīng)常會(huì)遇到的提問——為何一定要將復(fù)變指數(shù)函數(shù)定義成這個(gè)形式呢？能否用別的表達(dá)式定義呢？對(duì)此，有的課本中略微交代了理由，例如我國某本通行的復(fù)變函數(shù)教材中是這么寫的——復(fù)變指數(shù)函數(shù)應(yīng)“保持實(shí)變初等函數(shù)的某些基本性質(zhì)，遵照這種思想，復(fù)變指數(shù)函數(shù)應(yīng)定義為在復(fù)平面上滿足如下三個(gè)條件的函數(shù)：

（1）當(dāng)Im（z）=0時(shí)，f（z）=e^x，其中x=Re（z）；

（2）f（z）在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)，因而處處解析；

（3）f‘（z）=，（z）?！?/p>

而函數(shù)f（z）=e^z（cos y+isin y）恰好滿足這三個(gè)條件，于是便可將其定義為復(fù)變指數(shù)函數(shù)。這某種程度上回答了上述問題，但還不是令人非常滿意。例如筆者在課堂上還會(huì)遇到學(xué)生進(jìn)一步提問：滿足上述三個(gè)條件的函數(shù)是否只有現(xiàn)在這一種呢？在滿足上述三個(gè)條件的前提下能否將復(fù)變指數(shù)函數(shù)定義為其它不同的表達(dá)式呢？其實(shí)完整回答這個(gè)問題并不復(fù)雜，教師在課堂上只需花費(fèi)幾分鐘的時(shí)間便可收到良好的效果。事實(shí)上，上述三個(gè)條件中的第三個(gè)在確定復(fù)變指數(shù)函數(shù)表達(dá)式的過程中是多余的，真正需要的是前兩個(gè)條件。具體而言，我們有如下性質(zhì)——若復(fù)變函數(shù)，（z）滿足

（1）當(dāng)Im（z）=0時(shí)，f（z）=e^x，其中x=Re（z）；

（2）f（z）在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)；

則f（z）=e^x（cos y+isin y），這里z=x+yi，x，y∈R。類似的，對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等初等函數(shù)的定義都由相似的性質(zhì)決定。而所有這些性質(zhì)是一條更根本定理的推論——設(shè)復(fù)平面某區(qū)域中的點(diǎn)列（Z_n）收斂到該區(qū)域中的某個(gè)點(diǎn)，w=f（z）在該區(qū)域中處處解析，則f（z）在該區(qū)域中的函數(shù)值由{f（z_n）}所唯一確定。這一性質(zhì)為復(fù)變解析函數(shù)所獨(dú)有，教師在課堂上請(qǐng)學(xué)生略微回憶微積分的內(nèi)容即可知道，實(shí)變函數(shù)是不具備類似的性質(zhì)的。所以這里又體現(xiàn)了復(fù)變函數(shù)與之前初等微積分課程的區(qū)別。這樣清楚的回答了初等函數(shù)何以必須如此定義的基本問題，學(xué)生對(duì)本課程的學(xué)習(xí)興趣得到了提高，課堂教學(xué)也可達(dá)到良好的效果。

綜上，復(fù)變函數(shù)作為理工科院校的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，與實(shí)變函數(shù)的初等微積分有密切的聯(lián)系，也有重要的區(qū)別。如果教師在課堂上能注意運(yùn)用比較的教學(xué)方法，則可使學(xué)生在鞏固實(shí)已有的實(shí)變函數(shù)微積分知識(shí)的基礎(chǔ)上，清楚理解復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的區(qū)別，從而深刻把握復(fù)變函數(shù)課程的精髓。在課堂上也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情，從而提高課堂教學(xué)質(zhì)量，達(dá)到良好的教學(xué)效果。