嚴(yán)酷的魔王

星期五的晚上，李明和張亮相約明早一起去逛動物園。但他們因?yàn)榱牡锰吲d，忘記約定具體的碰面時(shí)間，只說大概八九點(diǎn)，并且先到的人只等對方10分鐘，對方未出現(xiàn)便先進(jìn)園。

問題來了，如果他們到達(dá)動物園的時(shí)間是隨機(jī)的，那么他們能碰上嗎？

________________________________________

就不能多等一會兒嗎？一個(gè)人逛動物園多無聊??！

這就要看他們的默契了。當(dāng)然，如果他們都思考一下，并且數(shù)學(xué)足夠好，那么他們應(yīng)該能碰上。

碰面概率可以算出來

站在李明的角度來說，張亮可能會在任意一個(gè)時(shí)間出現(xiàn)，因此我們可以用劃分時(shí)間的方法來計(jì)算碰面概率。不妨將8點(diǎn)到9點(diǎn)這1小時(shí)分成8：00～8：10、8：10～8：50和8：50～9：00三段。對于第一個(gè)時(shí)間段，因?yàn)閺埩恋牡竭_(dá)時(shí)間是隨意的，平均到達(dá)時(shí)間是8：05，所以只要李明在8：00～8：15這15分鐘內(nèi)出現(xiàn)就能碰上，概率是15/60=1/4。

類似的，如果張亮在第三個(gè)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)，其平均到達(dá)時(shí)間就是8：55，那么只要李明在8：45～9：00這15分鐘內(nèi)出現(xiàn)就能碰上，概率也是15/60=1/4。

最后，我們來分析中間那段時(shí)間。對于這段時(shí)間，張亮的平均到達(dá)時(shí)間是8：30，那么只要李明在8：20～8：40這20分鐘內(nèi)出現(xiàn)就能碰上，概率是20/60=1/3。

因?yàn)榈谝?、三個(gè)時(shí)間段都占總時(shí)長的1/6，第二個(gè)時(shí)間段占總時(shí)長的2/3，于是我們可以得到碰面概率是1/4×1/6+1/3×2/3+1/4×1/6=11/36。

呼——算了這么老半天，消耗了我不少腦細(xì)胞，終于把概率算出來了。不行，我得去吃點(diǎn)東西補(bǔ)補(bǔ)。

你啊，為什么不畫圖呢？圖一出來，概率就出來了！

畫圖算概率更簡單

如果把李明的到達(dá)時(shí)間記在x軸上，把張亮的到達(dá)時(shí)間記在y軸上，那么他們的到達(dá)時(shí)間便可以用坐標(biāo)系中的點(diǎn)（x，y）來表示，根據(jù)設(shè)定可知這個(gè)點(diǎn)一定會落在圖中的正方形區(qū)域。而如果兩人能碰上，那么他們先后到達(dá)的時(shí)間間隔一定小于或等于10分鐘，即有x-y≤10或y-x≤10。畫出x-y=10和y-x=10（確定兩點(diǎn)便可畫出），也就是說，如果兩人能碰上，那么他們的到達(dá)時(shí)間（x，y）必須要落在圖中的陰影區(qū)域。

所以，碰面概率就是陰影區(qū)域面積與正方形面積之比。正方形面積=60×60=3600，陰影區(qū)域面積=3600-50×50÷2×2=1100，所以碰面概率是1100÷3600=11/36。

100%碰面法

如果李明略加考慮，那么他不會選擇距離8：00或9：00很近的時(shí)間到達(dá)。因?yàn)槿绻霈F(xiàn)在8：00，就意味著張亮必須在接下來的10分鐘內(nèi)到達(dá)他們才能碰上。相比之下，選擇8：01會更好，這樣張亮的到達(dá)時(shí)間可以在8：00～8：11這11分鐘內(nèi)選擇。按照這個(gè)邏輯，8：02又比8：01更合適……這樣的擇優(yōu)選擇能一直類推到8：10。

同樣的，對于9點(diǎn)而言，我們也可以運(yùn)用上面的擇優(yōu)法選出8：50。這樣一來，李明就將自己的到達(dá)時(shí)間范圍從8：00～9：00縮小到8：10～8：50。而如果張亮足夠理性，他也會這樣想。

因?yàn)樗麄兊牡竭_(dá)時(shí)間范圍變短了，而等待時(shí)間不變（依然是10分鐘），所以碰面概率一定會有所提高。事實(shí)上，根據(jù)之前的計(jì)算方法，兩人的碰面概率提高到了7/16。

概率雖有所提高，但李明和張亮并不滿足，畢竟他們想要的是100%遇見。人們在選擇策略時(shí)的邏輯一般是這樣的：

所以，去掉一次非最優(yōu)策略后，李明和張亮不會停下思考的步伐，除非他們已經(jīng)確定篩選不出更優(yōu)的策略。

前面兩人通過各自的推理，確定出了一個(gè)新的到達(dá)時(shí)間范圍8：10～8：50。在新時(shí)間范圍里，再次應(yīng)用之前的邏輯，我們會發(fā)現(xiàn)選擇在8：10到達(dá)也是不明智的。因?yàn)閮扇丝隙ú粫谶@個(gè)時(shí)間之前出現(xiàn)，這樣的選擇就等于只留給對方10分鐘，所以8：11會更好，相似的邏輯再次出現(xiàn)。與上一輪的思考相似，時(shí)間范圍會被縮減到8：20～8：40。

分析到這，想必大家都明白了。沒錯，這個(gè)時(shí)間范圍仍然有繼續(xù)縮減的余地，只要它還是個(gè)范圍、不是某個(gè)時(shí)間，它就能繼續(xù)被縮減。

按照上面的思路，最后李明和張亮都會將到達(dá)時(shí)間鎖定在8：30，所以即使忘記約定具體時(shí)間，兩人還是會默契地在8：30出現(xiàn)，然后成功遇見。

通常情況是，等待時(shí)間不是10分鐘，而且到達(dá)時(shí)間范圍可以隨意設(shè)置，根據(jù)上面的分析，兩人最終還是會選擇時(shí)間范圍的中間時(shí)間到達(dá)。實(shí)際上，這是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的博弈，而選擇8：30就是最優(yōu)策略：如果雙方都選擇在這個(gè)時(shí)間出現(xiàn)，那么等待時(shí)間為0分鐘，碰面概率就是100%。

親愛的小讀者，只要我們足夠理性，還懂點(diǎn)博弈邏輯，不靠運(yùn)氣，無需約定具體時(shí)間，我們照樣可以100%遇見。這么不可思議的數(shù)學(xué)，你服不服？你也試著用數(shù)學(xué)知識分析一些生活中的現(xiàn)象吧，保你會有意外驚喜。記得掃二維碼關(guān)注“廣西期刊傳媒集團(tuán)”，和我們一起分享喲！