孟泰

代數(shù)中經(jīng)常要進(jìn)行“平方”“換元”“去分母”等各種代數(shù)變換，在幾何體中同樣也需要“變換”，常見(jiàn)的變換有：平移、旋轉(zhuǎn)、作截面、側(cè)面展開(kāi)、割補(bǔ)、翻折、壓縮（如果選修了3-3《球面上的幾何》，就會(huì)知道還有進(jìn)行連續(xù)變形的所謂“拓?fù)渥儞Q”）.

在定義幾何體時(shí)，課本中（蘇教版必修2，以下同）采用了如下變換技巧：

（1）平移：將多邊形沿某一方向平移可得棱柱，如圖1.

（2）旋轉(zhuǎn)：將平面曲線繞某一直線旋轉(zhuǎn)可得旋轉(zhuǎn)體，如圖2.

（3）作截面：將錐體作平行于底的一截面可得臺(tái)體，如圖3.推導(dǎo)直棱柱或圓柱體側(cè)面積公式時(shí)課本用到了如下變換技巧：

（4）側(cè)面展開(kāi)：將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，如圖4.運(yùn)用側(cè)面展開(kāi)可解決一類(lèi)圓柱表面上的線繞問(wèn)題，在高考中有時(shí)還會(huì)用到如下變換：

（5）割補(bǔ)：將不規(guī)則或不便處理的幾何體割補(bǔ)成便于處理的幾何體.如：三棱錐A-BCD的三側(cè)棱兩兩垂直且內(nèi)接于球（如圖5），側(cè)棱長(zhǎng)為1，2，3，求球面面積.可補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為球的直徑.所以R=1/2√（1+4+9）=1/214√，所以s=14π，

（6）翻折：要注意不變量.

如圖6，三棱錐S-ABC的底面△ABC的面積為8，側(cè)面△SAB的邊AB上的高為3，求三棱錐S-ABC的體積的最大值.

因?yàn)閂=1/3Sh，其中s=8為窟值，只要h最大，V就最大，

所以只要將側(cè)面SAB繞AB翻折到垂直于底面的位置，即當(dāng)面SAB上面ABC時(shí)h最大，則體積最大為V最大=1/3××8=8.

（7）壓縮：推導(dǎo)簡(jiǎn)單（凸）多面體的歐拉公式（只要了解）時(shí)，可將多面體壓縮到底面所在的平面上，有時(shí)解題也需要運(yùn)用此變換.例如，

已知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b，求a：b的取值范圍.

如圖7，將P點(diǎn)壓縮到0點(diǎn)，反之將0點(diǎn)拉伸就構(gòu)成正四棱錐，

因?yàn)锳B：OA=√2，而PA>OA，所以以：b=AB：PA

同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)中要學(xué)會(huì)歸納小結(jié).如，通過(guò)上述關(guān)于幾何體變換的回顧總結(jié)，我們認(rèn)識(shí)到，運(yùn)用各種幾何體的變換，能讓幾何體“動(dòng)”起來(lái)、“活”起來(lái).根據(jù)問(wèn)題需要，作出適當(dāng)?shù)淖儞Q，同時(shí)注意抓住變換中的不變量（性），就可以駕馭幾何體.