王建芳 丁艾琳

（1.西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 西安 710026）（2.西安交通大學(xué)經(jīng)金學(xué)院 西安 710061）

1 引言

鉛酸電池廣泛應(yīng)用于電瓶車、電動(dòng)汽車、清潔車、自行車、老年代步車和自動(dòng)引導(dǎo)車等。電池的使用量變得越來越大，那么，對(duì)于電池的荷電狀態(tài)和供電時(shí)長(zhǎng)研究顯得尤為重要，提出以下問題：

1）建立同一批次電池以不同電流強(qiáng)度放電的放電曲線模型，并給出其平均相對(duì)誤差MRE。分別以30A、40A、50A、60A和70A電流強(qiáng)度放電，測(cè)得電壓都為9.8V時(shí)，根據(jù)獲得的模型求剩余放電時(shí)間；

2）建立20A～100A之間任一恒定電流強(qiáng)度的放電曲線模型，并用MRE評(píng)估模型的精度。用表格和圖形給出55A時(shí)的放電曲線；

3）預(yù)測(cè)電池衰減狀態(tài)3的剩余放電時(shí)間。

（數(shù)據(jù)來源高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽2016C題）

2 問題分析

問題1）中，首先讀取數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖，選擇預(yù)測(cè)分析方法，得到放電曲線t=fi(u)模型；其次，從最低保護(hù)電壓開始以不超過0.005的最大間隔篩選231個(gè)電壓樣本點(diǎn)，計(jì)算平均相對(duì)誤差；最后將電壓9.8V代入30A～70A的模型中，求出剩余時(shí)間。

問題2）中，在問題1）的基礎(chǔ)上，首先找到電流強(qiáng)度與系數(shù)之間的關(guān)系式，得到t=f(u，i)的通用模型；其次通過計(jì)算平均相對(duì)誤差來評(píng)估模型精度；最后利用通用模型求55A時(shí)的放電曲線。

問題3）中，首先讀取數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖，通過回歸分析找到4種狀態(tài)的關(guān)系模型，其次，根據(jù)模型預(yù)測(cè)出衰減狀態(tài)3的缺失數(shù)據(jù)，最后求出剩余時(shí)間。

3 問題1）模型建立與求解

3.1 建立20A～100A各電流強(qiáng)度的放電曲線模型

根據(jù)附件1（見2016C）數(shù)據(jù)，利用Matlab軟件［1～5］畫出散點(diǎn)圖 1，通過分析圖像，發(fā)現(xiàn)它們有共同的曲線變化趨勢(shì)，t∝u之間可能存在冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)關(guān)系，在此采用多項(xiàng)式擬合［6～8］，擬合曲線如圖2、3所示（以20A、30A為例）。

20A～100A各放電曲線模型如下：

3.2 MRE計(jì)算

MRE的定義：由于放電曲線的預(yù)測(cè)精度取決于低電壓段的質(zhì)量，所以采樣點(diǎn)的選擇從最低保護(hù)電壓Um開始，以最大間隔不超過0.005V選取231個(gè)電壓樣本點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的樣本放電時(shí)間與模型放電時(shí)間的平均相對(duì)誤差表示如下。

其中，ti為樣本放電時(shí)間，為模型放電時(shí)間，n為樣本數(shù)，由式（2）計(jì)算可得到20A～100A的MRE值如表1所示。

表1 20A～100A的MRE值

由表1可知，平均相對(duì)誤差的范圍在1.5%～3%之間，誤差很小，所得放電曲線模型精度滿足要求。

3.3 30A～70A剩余放電時(shí)間計(jì)算

將 u=9V，?9.8V 代入模型（1）電流強(qiáng)度 i=30，?40，50，60，70A的函數(shù)關(guān)系式中，計(jì)算得出其對(duì)應(yīng)的剩余放電時(shí)間如表2所示。利用Matlab軟件［6～8］畫出t∝i變化趨勢(shì)如圖4所示。

表2 30A～70A剩余放電時(shí)間表

圖4 30A～70A剩余放電時(shí)間圖（9.8V）

由圖可知，隨著電流強(qiáng)度的增加，剩余放電時(shí)間在逐步減少。

4 問題2）模型建立與求解

4.1 任一電流強(qiáng)度的放電曲線模型

根據(jù)對(duì)問題的分析，需要得到任一電流強(qiáng)度下的放電曲線，需建立電壓U、時(shí)間t、電流I之間的函數(shù)關(guān)系式，由問題1可知，電池的放電曲線滿足二次函數(shù)，并且二次函數(shù)的系數(shù)隨電流的變化而變化，所以建立如下模型：

通過數(shù)據(jù)擬合［9～11］，可得各系數(shù)與電流強(qiáng)度的關(guān)系如下：

將式（3）和（4）合并可得到 u=f(t，i)的二元函數(shù)模型如下：

其中系數(shù)取值可由A(i)，B(i)，C(i)的系數(shù)確定。

4.2 模型精度評(píng)估

通過計(jì)算平均相對(duì)誤差來評(píng)估模型的精度。將電流強(qiáng)度 i=20A～100A 代入式（3）和式（4）中，運(yùn)用Matlab軟件和Excel求得各電流強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的平均相對(duì)誤差如表3所示。

對(duì)9個(gè)平均相對(duì)誤差進(jìn)行綜合分析，求其平均值為2.8%＜3%，在誤差范圍內(nèi)，因此模型建立合理，可以推廣為一般通用模型。

4.3 電流強(qiáng)度為55A時(shí)的放電曲線

將i=55A 代入式（3）和式（4）中，可得到電流強(qiáng)度為55A時(shí)的放電曲線模型為

表4 55A時(shí)間表

對(duì)照2016C附件1數(shù)據(jù)，55A放電時(shí)間均包含在50A～60A之間。

圖5 55A剩余放電時(shí)間與電壓關(guān)系圖

5 問題3）模型建立與求解

要補(bǔ)充狀態(tài)3的缺失數(shù)據(jù)，先對(duì)4種狀態(tài)的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析。根據(jù)4種狀態(tài)：新電池狀態(tài)0、衰減狀態(tài)1、衰減狀態(tài)2所給數(shù)據(jù)，利用Matlab軟件作出散點(diǎn)圖如圖6所示。

由圖6可知，4種狀態(tài)之間逐步衰減，但衰減程度可能不同，在此以相鄰狀態(tài)的數(shù)據(jù)差值Δti，i+1(i=0，1，2)作為衰減因子，采用多元線性回歸法［12～15］，以 Δt2，3為因變量，以 Δt0，1，Δt1，2作為自變量，進(jìn)行多元線性回歸分析，則有

圖6 4種狀態(tài)的的散點(diǎn)圖

衰減狀態(tài)3的預(yù)測(cè)放電時(shí)間為

衰減狀態(tài)3的預(yù)測(cè)剩余放電時(shí)間為

由以上分析得到模型如下：

由模型計(jì)算可知，R2=99.5%?，p＜＜α，說明模型是可信的，利用Matlab做出4種狀態(tài)的放電曲線如圖7所示，由此得到衰減狀態(tài)3剩余放電時(shí)間為219.52min。

6 結(jié)語(yǔ)

通用模型簡(jiǎn)單方便，根據(jù)不同情況，只要將數(shù)據(jù)改變代入模型中，即可求任意電流強(qiáng)度的放電曲線。由于數(shù)據(jù)量大，多次擬合，存在一定誤差，但通過MRE評(píng)估后，模型可靠，可推廣用于生活中的多個(gè)領(lǐng)域。