丁 聰，畢 軍，張 俊

（1.北京交通大學城市交通復(fù)雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點實驗室，北京 100044；2.云南航信空港網(wǎng)絡(luò)有限公司，云南 昆明 650051）

0 引言

機位分配是指機場根據(jù)航班計劃表和停機位的利用狀況，為每個進出港航班分配合適的停機位，是機場運營過程中的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。然而惡劣天氣、機場流量控制以及地面保障工作等隨機因素會造成航班時刻擾動，若計劃分配至同機位的航班因延誤導(dǎo)致機位占用時間沖突，分配方案必須進行實時動態(tài)調(diào)整。對于大型機場而言，有限的機位資源和高密度的航班起降使得停機位調(diào)度工作強度大、作業(yè)成本高，且依賴工作人員的經(jīng)驗，影響機場的運行效率。

既有研究中，吸收延誤的一般方法是通過增加某些約束條件或設(shè)置優(yōu)化目標來控制航班的延誤傳播。國際上，Yan等[1]通過在分配至同一機位的連續(xù)航班之間設(shè)置一個固定的空閑時間來吸收航班的不確定延誤；Bolat等[2-4]以機位空閑時間均衡作為目標函數(shù)建立機位分配模型。國內(nèi)，王巖華等[5]、高菁等[6]所建機位分配模型中也設(shè)置最小時間間隔為安全約束。然而這些方法實質(zhì)上只是為機位設(shè)置了定性的緩沖時間，針對性不強，并不能完全反映兩個航班可能實際面臨的機位沖突情況。Lim等[7]雖然對機位沖突概率進行了量化研究，但缺點在于模型對機位沖突的處理采用假設(shè)方式，沒有基于實際運行數(shù)據(jù)進行深入分析。

本文將基于昆明長水國際機場的實際航班數(shù)據(jù)，分析各航班延誤的規(guī)律，定量研究其對于沖突發(fā)生概率的影響。然后通過設(shè)置合理的間隔時間來吸收延誤，減少后期頻繁變更，以便保證機場的高效運作。

1 航班延誤時長的分布規(guī)律與檢驗

本文數(shù)據(jù)來源于昆明長水國際機場2016年4月1日—2016年12月31日3個季度的實際生產(chǎn)運行數(shù)據(jù)，航班記錄14萬條左右。該機場日均航班量可達1 000架次以上，已基本呈現(xiàn)飽和狀態(tài)。

首先，利用航班的預(yù)計抵達時間、實際抵達時間、預(yù)計起飛時間、實際起飛時間計算出航班的到達與起飛延誤。然后，分別對機場航班到達延誤與起飛延誤時長進行統(tǒng)計，并繪制直方圖，發(fā)現(xiàn)航班到達延誤與起飛延誤的分布存在顯著差異。進港航班到達延誤的直方圖呈正態(tài)分布，中部高，兩端低，且提前到達與延誤到達的航班數(shù)量大致相同；而離港航班起飛延誤直方圖則呈明顯的右偏規(guī)律和厚尾現(xiàn)象，延遲起飛的航班數(shù)量遠大于提前起飛的航班數(shù)量。這主要是由于離港航班的起飛時間依賴前行進港航班，進港航班延遲到達目的機場并造成相應(yīng)離港航班起飛延誤的可能性增加。鑒于到達延誤與起飛延誤時長明顯的分布差異，可以假定航班的到達延誤符合正態(tài)分布規(guī)律，而起飛延誤符合混合正態(tài)分布規(guī)律。

1.1 航班到達延誤規(guī)律檢驗

若航班的到達延誤時長符合正態(tài)分布規(guī)律，則其概率密度函數(shù)為：

式（1）中：x為到達延誤時長（min）；f(x)為到達延誤x的概率；μ和σ分別為航班到達延誤時長的均值（min）和標準差。

在檢驗樣本數(shù)據(jù)分布是否符合正態(tài)分布規(guī)律的眾多方法中，選取JB（Jarque-Bera）檢驗進行驗證。它是利用正態(tài)分布的偏度和峰度，構(gòu)造出一個統(tǒng)計量JB，即：

式（2）中：n為樣本容量；S為樣本的偏度；K為樣本的峰度。

假設(shè)顯著性水平為α，則當JB統(tǒng)計量小于自由度為2的卡方分布的1-α分位數(shù)時，接受原假設(shè)，認為樣本符合正態(tài)分布規(guī)律；否則拒絕原假設(shè)。該方法應(yīng)用于大樣本數(shù)據(jù)時效果較好。如果樣本符合正態(tài)分布，則偏度為0，峰度為3，JB統(tǒng)計量為0。

因此，有關(guān)航班到達延誤時長分布規(guī)律的研究分為以下三步：

（1）對航班延誤樣本數(shù)據(jù)進行JB檢驗，結(jié)果正確，令H=0，轉(zhuǎn)下一步。

（2）使用極大似然估計法，基于航班延誤樣本數(shù)據(jù)對航班到達延誤的總體分布進行參數(shù)估計，計算出到達延誤分布概率密度函數(shù)中各參數(shù)的取值。

（3）采用χ2擬合優(yōu)度檢驗法進行假設(shè)檢驗。當H0=0時，假設(shè)成立；當H0=1時，拒絕原假設(shè)。顯著性水平α=0.05。

1.2 航班起飛延誤規(guī)律檢驗

假定航班起飛延誤時長服從混合正態(tài)分布：

式（3）中：ρ為0～1之間的實數(shù)；?i(x)(i=1,2)為以μi為均值，以σi2為方差的正態(tài)分布概率密度函數(shù)。該式表示x以ρ的概率服從以?1(x)為密度函數(shù)的正態(tài)分布，以1-ρ的概率服從以?2(x)為密度函數(shù)的正態(tài)分布。

估計混合正態(tài)分布中各參數(shù)的方法如下。

設(shè)X1,X2,…,Xn為來自同一分布的隨機樣本，x1,x2…,xn為對應(yīng)的觀測值，則其似然函數(shù)為：

式（4）中：p(xi;θ)為單個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。

或

為求式（5）的極大值，采取一種快捷且易于計算的期望最大化（Expectation Maximization，EM）算法通過迭代循環(huán)進行逼近，每一次迭代由兩步組成：E步（求期望）和M步（極大化）。

E步：在給定t輪參數(shù)的條件下，計算每個xi屬于第j正態(tài)分布的條件概率：

M步：根據(jù)和xi，給出θt+1的極大似然估計：

在上述兩步反復(fù)迭代的過程中，lnL將逐漸收斂，直到達到設(shè)定的收斂標準時，計算停止，此時所得有關(guān)參數(shù)θ即為極大似然估計。

由于一般正態(tài)分布的檢驗方法并不適用于檢驗混合正態(tài)分布，本文采用交叉驗證法對其進行檢驗：

2 同機位航班沖突概率計算方法

現(xiàn)計算分配至同一機位的前后兩航班的沖突概率。如圖1所示，在機位分配計劃中，航班1和航班2為分配至同一機位的航班，假定航班1先進入機位，計劃于ETA1時刻抵達，進行上下客和其他檢查后于ETD1時刻起飛，若用td1表示起飛延誤，則對應(yīng)的概率密度函數(shù)為。機位空閑一段時間后航班2準備進入相同機位，計劃于ETA2時刻抵達，若用表示到達延誤，則對應(yīng)的概率密度函數(shù)為。若航班1延誤后實際起飛時間大于航班2提前抵達后（也可能延誤）實際到達時間，即時，則認為航班1與航班2發(fā)生沖突。

航班1和航班2發(fā)生沖突的概率Pconflict為：

圖1 同機位連續(xù)航班沖突示意圖

又由于航班1和航班2相互獨立，因此航班1的起飛延誤和航班2的到達延誤事件也相互獨立，則式（11）又可表述為：

以前文所得航班到達延誤和起飛延誤分布模型為例，有：

將式（13）及式（14）帶入式（12）得：

根據(jù)定理：對于n個獨立正態(tài)隨機變量，若，且各變量間相互獨立，則差Z=X1-X2-…-Xn仍然服從正態(tài)分布，且有

對式（15）兩邊求導(dǎo)得：

因此：

由式（17）可得，指派至同一機位的兩連續(xù)航班間發(fā)生時間沖突的概率不僅與兩航班間的機位空閑時間有關(guān)，還取決于這兩個航班的延誤分布。前后兩航班發(fā)生機位沖突的概率可用下式計算：

式（18）中：ETD1-ETA2為兩航班間的空閑時間（min）；分別為起飛延誤的混合分布中兩正態(tài)分布的均值與方差；分別為抵達延誤分布的均值與方差。

3 實例分析

利用Matlab平臺對航班到達延誤與起飛延誤分布進行檢驗與參數(shù)估計。以某航班為例，首先對航班到達延誤的樣本數(shù)據(jù)作JB檢驗，得H=0。因此判定航班到達延誤總體服從正態(tài)分布，并采用極大似然估計法進行參數(shù)估計，得到其概率密度函數(shù)為：

式（19）中：x為航班到達延誤時長（min）；f(x)為概率密度函數(shù)；

采用χ2擬合優(yōu)度檢驗法對以上結(jié)論進行檢驗，得到H0=0，證明航班到達延誤時長服從正態(tài)分布。擬合結(jié)果如圖2所示，其中航班到達延誤若為負，表示相對于計劃到港時間提前到達；若為正，則表示相對于計劃到港時間延遲到達。

根據(jù)1.2節(jié)的方法對起飛延誤時長的混合正態(tài)分布進行檢驗和估計，得到其概率密度分布函數(shù)為：

圖2 航班到達延誤時長分布圖

式（20）中：x為航班的到達延誤時長（min）；f(x)為概率密度函數(shù)。

本文取P=90%，以及兩種情況來檢驗?zāi)Ｐ偷姆夯芰ΓY(jié)果如表1所示。

表1 航班起飛延誤時長概率密度模型泛化能力檢驗結(jié)果

二階混合正態(tài)分布的擬合結(jié)果如圖3所示。

圖3 航班起飛延誤時長分布圖

根據(jù)上述擬合所得航班到達延誤和起飛延誤分布規(guī)律，設(shè)置空閑時間間隔從0min增加至50min，帶入式（18）進行計算，得到?jīng)_突概率隨空閑時間間隔的變化趨勢（如圖4所示）。沖突概率和空閑時間間隔的對應(yīng)關(guān)系如表2所示。

圖4 同機位連續(xù)航班空閑時間與機位沖突概率關(guān)系曲線

表2 同機位連續(xù)航班空閑時間與機位沖突概率關(guān)系表

表2（續(xù)）

從表2可以看出，同機位連續(xù)航班的空閑時間間隔從1min增至15min時，沖突概率下降了0.343，變化較為顯著；從15min增至30min時，沖突概率僅下降了0.194，變化幅度變小；隨著空閑時間的繼續(xù)增加，同機位沖突概率變化的顯著程度進一步降低。

4 結(jié)論

通過對大量實際航班數(shù)據(jù)的分析和驗證，本文得出航班的到達延誤符合正態(tài)分布，起飛延誤符合混合正態(tài)分布的規(guī)律；推導(dǎo)出的同機位連續(xù)航班間沖突概率的計算公式能夠定量描述產(chǎn)生沖突的概率隨間隔時間的增大而降低的關(guān)系。不同的航班其延誤規(guī)律不同，在制訂分配方案時可利用航班間的沖突概率大小來定量決定是否將兩者安排至同機位或者為容易擴散延誤的敏感航班合理分配航班時隙。但是，間隔時間過長會影響機位使用效率，所以機位使用效率與沖突概率之間的多目標優(yōu)化問題還有待進一步研究。