李金聰
高中數學核心素養(yǎng)是衡量數學教育質量的標準,也是數學教育改革的指揮棒,它是指數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六個方面的學科素養(yǎng),數學核心素養(yǎng)包括三個方面、六個關鍵詞:用數學的眼光觀察世界,發(fā)展數學抽象、直觀想象素養(yǎng);用數學的思維分析世界,發(fā)展邏輯推理、數學運算素養(yǎng);用數學的語言表達世界,發(fā)展數學建模、數據分析素養(yǎng),
離心率在橢圓、雙曲線問題中有著重要應用,它的變化會直接導致曲線類型和形狀的變化,有關求解橢圓、雙曲線離心率的試題,在歷年的高考中經常出現,此類試題體現基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性,本文僅以“圓錐曲線離心率的試題命制與評價”為例,談談“怎樣在試題命制過程中滲透數學核心素養(yǎng)的考查”和“怎樣用核心素養(yǎng)的觀點分析評價試題”。
1母題呈現
命題意圖考查雙曲線的定義和離心率的求解,滲透邏輯推理、直觀想象和數學運算等數學核心素養(yǎng)的考查。
小結求解橢圓或雙曲線的離心率問題,主要有三種方法:
試題評價 試題平和,貼近考生,難度中等,區(qū)分度高,符合《課標》和考綱要求,檢測功能強;“教、學、考”結合好,充分體現素養(yǎng)導向性,質量較高。
2變式命制
命題意圖考查橢圓的定義和離心率的求解,滲透邏輯推理、直觀想象和數學運算等數學核心素養(yǎng)的考查。
試題評價 預測難度0.60,適應學科成績中等考生,試題通過類比法命制,體現基礎性和應用性,試題設問及解答過程中涉及類比推理和數學運算等數學核心素養(yǎng)。
命題意圖 考查雙曲線定義和離心率的求解,滲透邏輯推理、直觀想象和數學運算等數學核心素養(yǎng)。
試題評價 預測難度0.65,適應學科成績中等考生或文科考生。試題的解答簡潔,是對于問題的本質認識,突出培養(yǎng)學生的分析和解決問題的能力,體現基礎性和應用性。
命題意圖 考查橢圓的定義、范圍、離心率、平面向量的數量積等基礎知識,考查數形結合、化歸轉化和函數與方程思想,滲透邏輯推理、直觀想象和數學運算等數學核心素養(yǎng)。
小結 求離心率取值范圍的關鍵是尋找不等關系,它涉及到解析幾何、平面幾何、平面向量、不等式等多個知識點,綜合性強,方法靈活,解題關鍵是挖掘題中的隱含條件(如曲線的范圍、平面幾何性質等),構造不等式,引領學生進行數學化的思考,心中有形,以數解形,心中有數,以形助數。
試題評價 預測難度0.55,適應成績中上考生,體現基礎性、綜合性和應用性,考查基本的數學素養(yǎng)。
命題意圖 考查橢圓的定義、離心率、焦點三角形的面積、三角函數或平面向量的數量積等基礎知識,考查考生的轉化與化歸、數形結合和函數與方程的思想以及邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養(yǎng)。
試題評價 預測難度0.45,適應成績優(yōu)秀考生,因為圖形中蘊含著數量關系,以數解形,彰顯數學價值,體現基礎性、綜合性和創(chuàng)新性,法1聯想三角形面積,滲透函數與方程的思想;法2轉化為存在交點問題,滲透轉化與化歸的思想,開拓學生的解題思路,體現較高的數學素養(yǎng)。
命題意圖 考查橢圓的定義、離心率、三角函數、正弦定理等基礎知識,考查考生的轉化與化歸、數形結合思想以及邏輯推理、直觀想象、數學抽象、數學運算等核心素養(yǎng)。
試題評價 預測難度0.50,適應成績優(yōu)秀考生,運用數與形結合的觀點去考慮“形向數”的轉化,借助正弦定理,化繁為簡,體現基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性。
命題意圖 考查雙曲線的定義、離心率、均值不等式等基礎知識,考查考生的轉化與化歸、數形結合思想以及邏輯推理、直觀想象、數學抽象、數學運算等核心素養(yǎng)。
試題評價 預測難度0.40,適應選拔高素質人才的需要,試題命制融合了解析幾何、平面幾何與均值不等式,體現基礎性、綜合性、應用性。
命題意圖 考查雙曲線通徑、離心率的應用和三角函數等基礎知識,考查數形結合思想、函數與方程思想,考查數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模等素養(yǎng),考查數學探究意識。
試題評價預測難度0.45,適應選拔高素質人才的需要,將解析幾何與平面幾何、三角函數交匯,突出考查數形結合思想和函數思想,體現基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性。
4命制與評價小結
北京師范大學林崇德教授說“核心素養(yǎng)具有可教、可學的外顯部分,同時也存在無聲、無形但可感、可知的內隱部分,前者能夠在特定的情境下通過一定的方式表現出來,因此能夠有效地對其進行定量的測評……”基于此,筆者在試題的命制過程中進行了嘗試,編制從分析圓錐曲線定義、圓錐曲線性質、平面幾何性質、三角函數和均值不等式等基礎知識出發(fā),以素養(yǎng)立意命題,通過提煉數學思想方法,選擇合適的素材,經過多稿討論、辨析、修正,形成試題,通過測評后的反思,累積經驗,實現試題的命制目標。
求橢圓、雙曲線離心率的試題,小而活,體現新課程目標的精神,檢驗學生數學核心素養(yǎng)的達成情況,學生通過“考”、“評”、“研”,可以獲得進一步學習及未來發(fā)展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗,能夠提高從數學角度發(fā)現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力,從中不斷學會用數學的眼光觀察世界,學會用數學的思維分析世界,學會用數學的語言表達世界,從而提高學生學習數學的興趣,增強學好數學的信心,逐步養(yǎng)成良好的數學學習習慣。