潘梅耘

三角函數(shù)范圍問題是高考中的熱點(diǎn)問題，也是困擾同學(xué)們學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)問題．本文就三角函數(shù)中典型的范圍易錯(cuò)題加以評(píng)析，并給出相應(yīng)的解題對(duì)策，以期達(dá)到窺一斑而知全豹的功能．

一、三角函數(shù)值對(duì)角范圍的隱限制

角終邊的唯一性決定了角的某一三角函數(shù)值是唯一的，但角的某一三角函數(shù)值對(duì)應(yīng)角大小因有終邊相同形式或終邊的對(duì)稱性，從而具有多解性．在一定范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)角受到限制，需要取舍．如果角的范圍僅僅考慮明示條件，不注意隱含條件的挖掘，處理不到位，就會(huì)引起增解，掉入陷阱．

案例1已知，且α，β∈（0，π），求2α－β的值．

錯(cuò)解由題tan（2α－β）＝tan［2（αβ）＋β］，因?yàn)?，所?/p>

剖析以上解法過程中，僅考慮α，β的明示范圍，未注意條件以及推論與明示范圍相結(jié)合，推知角α，β的值應(yīng)是唯一的．事實(shí)上由，知β角是唯一確定的鈍角（查表可得具體值），如求出同理推知α角也是唯一確定的，從而2α－β的值應(yīng)是唯一的，只要適當(dāng)限制α，β的范圍，就能達(dá)到預(yù)期的效果．

正解得到（*）后：由知．由，知．所以所以

反思在利用三角函數(shù)值求角的問題時(shí)，角的范圍會(huì)對(duì)角的取舍有決定性的影響．一般地，求角時(shí)先求該角的某一個(gè)三角函數(shù)值，然后確定該角的范圍．如果在題目給出的明示條件下，求出的該角的范圍內(nèi)，所求角是唯一的，往往不會(huì)出現(xiàn)增解，但如果所求角不唯一，就要進(jìn)一步考慮影響角范圍的一些隱含信息了，直至確信解的個(gè)數(shù)為止．

解答此類問題盡管不太容易，但還是有一些對(duì)策的，舉例如下：

對(duì)策一：恰當(dāng)選擇三角函數(shù)名稱，避免增根的出現(xiàn)

評(píng)析本題采用了求余弦值的方法，因?yàn)樵讦?，β為銳角的情況下，0＜α＋β＜π，此時(shí)余弦值在第一和第二象限異號(hào)，和角是一一對(duì)應(yīng)的．本題若改用正弦求，則有：，由α，β為銳角得0＜α＋β＜π，此時(shí)或，還需要對(duì)角的范圍作進(jìn)一步的限制才行．由，結(jié)合α，β為銳角得所以所以

對(duì)策二：利用三角函數(shù)值的正負(fù)性、單調(diào)性，限制相關(guān)角的范圍和確定值的取舍

例2已知，求sinx．

二、三角形中量的聯(lián)系對(duì)角范圍的隱限制

三角形成立的前提、多變量之間的約束，以及實(shí)際生活等背景，給角的范圍蒙上了一層紗，使同學(xué)們防不勝防，但只要不斷積累和總結(jié)、歸納和反思就能起到加深理解、熟能生巧的效果．

案例2在銳角△ABC中，若C＝2B，則的范圍是________．

錯(cuò)解由題所以的范圍是（0，2）．

剖析主要是求B的范圍時(shí)，未充分用好銳角三角形這一條件，根據(jù)條件中的銳角三角形，得知三角形的三個(gè)角都是銳角，應(yīng)列出三個(gè)角都為銳角的三個(gè)不等式．

正解因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以且且，所以，所以，所以的范圍是

反思在解三角形中的三角函數(shù)問題時(shí)，能注意到用正、余弦定理將邊角單一化，但三角形這個(gè)背景所暗示的前提條件常常被忽視，從而帶來(lái)角范圍的擴(kuò)大．如果本題條件去掉“銳角”兩個(gè)字，同學(xué)們是否仍能注意到0＜A＝π－B－2B＝π－3B＜π，且0＜B＜π，0＜C＝2B＜π，從而這一范圍條件？如改為“鈍角三角形”，又如何求角的范圍呢？對(duì)，需要對(duì)角A與角C哪個(gè)是鈍角進(jìn)行討論．

解答此類問題常見對(duì)策有：

對(duì)策一：優(yōu)先考慮三角、三邊所有的限制條件，逐一轉(zhuǎn)化為目標(biāo)量的范圍

例3已知三角形三邊成等比數(shù)列，求公比的范圍．

評(píng)析三角形存在的前提：任兩邊之和大于第三邊要優(yōu)先考慮，可避免范圍出錯(cuò)，但可考慮優(yōu)化．

三邊定序時(shí)，只要較小兩邊之和大于第三邊就行；三邊不定序時(shí)，可改為：任意一邊介于另兩邊的差的絕對(duì)值與另兩邊的和之間．如三邊為2，x，，求x范圍，可列出不等式求解．

例4已知在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∠C＝60°，當(dāng)c＝1時(shí)，求a＋b的取值范圍．

評(píng)析本題多數(shù)同學(xué)首先會(huì)想到利用余弦定理，得到邊的關(guān)系a2＋b2－ab＝1，但不易將目標(biāo)減元，更不便求邊的范圍．因角的范圍便于求解，故考慮利用正弦定理將邊化角求解．在三角形中，有關(guān)求范圍問題，一般都是化邊為角，再根據(jù)內(nèi)角和定理，三個(gè)角的范圍相互約束，當(dāng)它們都用目標(biāo)角表示時(shí)，這種隱含的約束范圍才能揭示出來(lái)，否則就會(huì)出錯(cuò)．

對(duì)策二：不定三角形解情多，數(shù)形結(jié)合思范圍

解三角形中有一類不定三角形，即已知兩邊及一邊對(duì)角，其解的情形可由下表得知：

例5在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有兩解，求x的取值范圍．

解析由圖知（圖略）asinB＜b＜a，xsin45°＜2＜x，解得x的取值范圍是

評(píng)析本題也可用余弦定理求解：在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即由題意，關(guān)于c的一元二次方程有兩個(gè)正根，故Δ＞0且x2－4＞0且，解得x的取值范圍是

應(yīng)用余弦定理將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的實(shí)根分布，思路清晰．事實(shí)上可以證明：若已知a，b，A的值，由a2＝b2＋c2－2bccosA，化為c2－（2bcosA）c＋b2－a2＝0（*），Δ＝4（a＋bsinA）（a－bsinA），在a＜b的前提下，當(dāng)Δ＞0時(shí)，三角形有兩解；當(dāng)Δ＝0時(shí)，三角形有一解；當(dāng)Δ＜0時(shí)，三角形無(wú)解．當(dāng)a＜b時(shí)，以上結(jié)論與上表中第三大行的結(jié)論一致，當(dāng)a≥b時(shí)，由方程（*）知c1c2＝b2－a2≤0，說明方程（*）如有兩解，其中必有一負(fù)一正或一零一正，實(shí)為一個(gè)有效解，也與上表中前兩行結(jié)論一致．所以在對(duì)邊小于鄰邊的前提下，用余弦定理求解，不必?fù)?dān)心增解．

綜上，我們可以看出三角函數(shù)值本身的正負(fù)性、絕對(duì)值大小就隱含著角的范圍限制；多變量之間的約束、三角形成立的前提，以及實(shí)際生活的背景等也是產(chǎn)生范圍限制的原因，但萬(wàn)事萬(wàn)物都有一個(gè)源頭，只要抓住起因，堅(jiān)持等價(jià)變形，充分挖掘隱含信息，揭示本質(zhì)規(guī)律，就能駕馭“范圍”這匹倔強(qiáng)的野馬，越過重重陷阱，奔赴成功的樂園．

鞏固練習(xí)

1．在△ABC中，已知a＝1，A＝30°，則S△ABC＝________．

2．在△ABC中，邊上的高則BC＝________．

3．在銳角三角形ABC中，tanA＝t＋1，tanB＝t－1，則t的取值范圍是________．

4．已知△ABC中，，求cosC的值．

5．已知△ABC中，，求cosC的值．

參考答案