高考題怎么改編（二）
——函數(shù)與性質(zhì)篇

蘇 玖

真題展示

問題1（2018年全國(guó)Ⅱ卷第11題）已知f（x）是定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞）的奇函?shù)，滿足f（1－x）＝f（1＋x）．若f（1）＝2，則f（1）＋f（2）＋…＋f（50）＝（ ）

A．－50 B．0 C．2 D．50

思維延伸

問題1思維延伸如果已知和式的值求自變量的值，也就是多少個(gè)連續(xù)的函數(shù)值等于已知數(shù)，就有：

（改編1-1）已知f（x）是定義域?yàn)椋ǎ蓿蓿┑钠婧瘮?shù)，滿足f（1－x）＝f（1＋x），f（1）＝2，Sn＝f（1）＋f（2）＋…＋f（n），若Sn＝0，則n的取值集合為________．

如果將“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，再改變相關(guān)條件，于是就有：

（改編1-2）已知f（x）是定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞）的偶函?shù)，滿足f（x－1）＝f（1＋x），在［0，1］上f（x）＝2x2－1，若則a的所有值構(gòu)成的集合為________．

（改編1-3）已知f（x）是定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞）的奇函?shù)，滿足f（1－x）＝f（1＋x），f（x）在［0，1］上單調(diào)遞增，且f（x）在 ［0，2）上有唯一零點(diǎn)．若函數(shù)在區(qū)間［0，n］上有100個(gè)零點(diǎn)，求最小正整數(shù)n的值．

問題2思維延伸本題就是周期函數(shù)、分段函數(shù)與函數(shù)迭代的綜合應(yīng)用，周期函數(shù)與分段函數(shù)是必考的知識(shí)點(diǎn)，畫圖可以看出，一個(gè)周期內(nèi)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)和1，于是從圖象角度可以改編為：

從函數(shù)迭代角度出發(fā)，條件不變，待求改變，于是又可以改編為：

如果將分段函數(shù)改編為待定函數(shù)，可以改編為：

點(diǎn)撥解析

問題1的解析：f（x）是奇函數(shù)，因此f（0）＝0．又因?yàn)閒（1－x）＝f（1＋x），因此f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．又有f（－x）＝f（2＋x），即f（2＋x）＝－f（x），所以f（2）＝0，f（x＋4）＝f（x），故函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，周期為4．因?yàn)閒（1）＝2，f（3）＝f（－1）＝－2，f（4）＝0．因此一個(gè)周期內(nèi)的和為0，所以f（1）＋f（2）＋ … ＋f（50）＝f（1）＋f（2）＝2，故選C．

改編1-1解析：分類討論，因?yàn)橐粋€(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值之和為0，因此當(dāng)n＝4k，k∈N*時(shí)，Sn＝0；當(dāng)n＝4k－1，k∈N*時(shí)，Sn＝f（1）＋f（2）＋f（3）＝0；當(dāng)n＝4k－3，k∈N*時(shí)，Sn＝f（1）＝2；當(dāng)n＝4k－2，k∈N*時(shí)，Sn＝f（1）＋f（2）＝2．所以n的取值集合為｛n|n＝4k－1或n＝4k，k∈N*｝．

推廣：已知f（x）是定義域?yàn)椋ǎ蓿蓿┑钠婧瘮?shù)，滿足f（1－x）＝f（1＋x）．若f（1）＝a，求：（1）Sn＝f（1）＋f（2）＋…＋f（n）；（2）

提示：分類討論得：

改編1-2解析：由f（x－1）＝f（1＋x）知，f（x）是周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)x∈［－1，1］時(shí)，f（x）＝2x2－1，同時(shí)圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，因此對(duì)稱軸是x＝k（k為整數(shù)），當(dāng)a∈［－1，1］時(shí)即．由周期性，所有的a的值為所以a的取值集合為

改編1-3解析：由題意得，函數(shù)f（x）的周期為4，圖象關(guān)于直線x＝k（k∈Z）對(duì)稱．因?yàn)閒（x）在［0，1］上單調(diào)遞增，因此f（x）在［－1，1］上單調(diào)遞增，且f（x）在［－1，1］上有唯一零點(diǎn)0．由于f（0）＝0，因此f（2）＝0，所以f（x）在一個(gè)周期內(nèi)［0，4）上有零點(diǎn)0和2．又因?yàn)楹瘮?shù)是f（x）圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，于是g（x）在一個(gè)周期內(nèi)［0，4）上有零點(diǎn)和．要使g（x）在［0，n］內(nèi)有100個(gè)零點(diǎn)，因此區(qū)間［0，n］內(nèi)必有50個(gè)周期，而這些零點(diǎn)分別為…，構(gòu)成等差數(shù)列，公差為2，第100個(gè)零點(diǎn)為，所以故最小正整數(shù)n為199．

問題2的解析：由題意知，f（x）是周期為4的函數(shù)，，因此所以填

改編2-1解析：畫圖分析，區(qū)間［－4，10］內(nèi)有三個(gè)半周期，要使得有10個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)周期內(nèi)至少要有三個(gè)零點(diǎn)，于是

若本題改為g（x）在區(qū)間［－4，10］內(nèi)有11個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a取值范圍為_________．在x＝－4時(shí)，圖象為一個(gè)點(diǎn)答案為

回顧悟道

通過對(duì)兩道高考題的分析和改編，可以看出，求解函數(shù)與性質(zhì)問題時(shí)，一要會(huì)很快理解題目所給的各類信息；二要學(xué)會(huì)綜合分析信息之間的關(guān)系，進(jìn)行信息加工；三是對(duì)某一個(gè)信息進(jìn)行改編，就可以得到不同的題目，通常是“常量”變“參數(shù)”，“靜態(tài)”變“動(dòng)態(tài)”，“結(jié)論”變“條件”，“單參數(shù)”變“雙參數(shù)”等等．

小試牛刀

A．［－1，0） B．［0，＋∞）

C．［－1，＋∞） D．［1，＋∞）

若改變函數(shù)f（x）中某一段解析式（平移或伸縮），而g（x）中的a為具體數(shù)，試試看．

改編1：______________________________．

原題中的問題是f（x）圖象與斜率為定值的一次函數(shù)交點(diǎn)問題，如果改為研究過定點(diǎn)的一次函數(shù)與f（x）圖象交點(diǎn)問題．

改編2：______________________________．

提示與解析：

原題解析：?jiǎn)栴}等價(jià)轉(zhuǎn)化為y＝f（x）與y＝－x－a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象得，－a≤1，即a≥－1，故選C．

答案：a≥1．

答案：－1≤a＜0或0＜a＜1或a＞1．