河北 陳寶友(特級教師)

圖象在中學物理中應用廣泛，是分析物理問題的有效手段之一。物理圖象蘊含的信息，主要體現(xiàn)在圖象的坐標原點、縱橫坐標軸、截距、斜率、所圍面積、圖象交點等方面的物理意義，其實掌握圖象的上述特點，理解其斜率、截距、面積對應的物理意義，就能順利解決有關問題。一般關于電場中的圖象問題，主要表現(xiàn)在如下幾種情況，我們分別進行討論。

一、電場線圖和等勢面圖

電場線和等勢面有如下特點：等勢線和電場線互相垂直；等勢線密的部分電場強度大；電勢沿著電場線越來越低。當帶電粒子只在電場力作用下運動時，如果給出了粒子運動的速度圖象，則從速度圖象上能確定粒子運動的加速度方向，加速度大小變化情況，進而可將粒子運動中經(jīng)歷的各點的場強方向、場強大小、電勢高低及電勢能的變化等情況判定出來。

【例1】如圖1所示，在平面直角坐標系xOy內(nèi)，固定有A、B、C、D四個帶電荷量均為Q的點電荷，它們關于兩坐標軸對稱，其中A、B帶正電，C、D帶負電，它們產(chǎn)生電場的等勢面如圖1中虛線所示，坐標軸上abcd是圖中正方形的四個頂點，則

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圖1

A.將電子沿路徑a→b→c移動，電場力先做負功，后做正功

B.將電子沿路徑a→O→c移動，電場力做正功

C.b、d兩點場強相同，電勢不相等

D.b、d兩點電勢相等，場強不相等

【解析】將電子沿路徑a→b→c移動，電場力先做正功，后做負功，選項A錯誤；電子沿路徑a→O→c移動，電場力不做功，選項B錯誤；根據(jù)對稱性可知b、d兩點場強大小相等，方向相同，則場強相同，b、d兩點電場線由b指向d，故b點電勢高于d點電勢，選項C正確，選項D錯誤。故本題選C。

【變式】如圖2所示，實線為電視機顯像管聚焦電場中的等勢面。a、b、c、d為圓上的四個點，則下列說法中正確的是

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圖2

A.a、b、c、d四點電勢不等，但電場強度相同

B.一電子從b點運動到c點，電場力做的功為0.8 eV

C.若一電子從左側(cè)沿中心軸線穿越電場區(qū)域，將做加速度先減小后增加的直線運動

D.一束電子從左側(cè)平行于中心軸線進入電場區(qū)域，將會從右側(cè)平行于中心軸線穿出

【解析】根據(jù)題意，a、b兩點電勢相等，c、d兩點電勢相等，由等勢面與電場線垂直的關系及電場強度方向與該點的切線方向一致，則它們的電場強度方向不同，故A錯誤；電子從b點運動到c點，電勢差Ubc=φb-φc=0.1 V-0.9 V=-0.8 V，而電子帶負電，則電場力做功為0.8 eV，故B正確；若電子從左側(cè)沿中心軸線穿越電場區(qū)域，根據(jù)等勢面疏密程度，可知電場線的疏密程度，從而可確定電場力先增大后減小，所以加速度先增大后減小，故C錯誤；當一束電子從左側(cè)平行于中心軸線進入電場區(qū)域，根據(jù)曲線運動條件運動軌跡向合力方向偏，因此只有在中心軸線的電子沿直線運動，從右側(cè)平行于中心軸線穿出，其余做曲線運動并向中心軸線匯聚，故D正確，本題正確答案為BD。

二、電場中粒子運動的v - t圖象

根據(jù)v-t圖象的速度變化、斜率變化(即加速度大小的變化),確定電荷所受電場力的方向與電場力的大小變化情況,進而確定電場的方向、電勢的高低及電勢能的變化。

【例2】一帶正電的試探電荷，僅在電場力作用下沿x軸從x=-∞向x=+∞運動，其速度v隨位置x變化的圖象如圖3所示。在x=x1和x=-x1處，圖象切線的斜率絕對值相等且最大。則在x軸上

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圖3

A.x=x1和x=-x1兩處，電場強度相同

B.x=x1和x=-x1兩處，電場強度最大

C.x=0處電勢最低

D.從x=x1運動到x=+∞過程中，電荷的電勢能逐漸減小

【解析】本題可以根據(jù)速度的變化，判斷電荷所受的電場力方向，確定電場線的方向。同時根據(jù)速度圖象的斜率決定電場強度大小，分析加速度，由牛頓第二定律分析電場強度。最后根據(jù)電場力做功的正負，分析電勢能如何變化。

由題可知，帶正電的試探電荷僅在電場力作用下沿x軸從x=-∞向x=+∞運動，速度先減小后增大，所受的電場力先沿-x軸方向，后沿+x軸方向，電場線方向先沿-x軸方向，后沿+x軸方向，則知x=x1和x=-x1兩處，電場強度的方向相反，電場強度不同，故A錯誤。

由v-t圖象的斜率決定電場強度的大小，x=x1和x=-x1,兩處斜率最大，則電荷的電場強度最大，故B正確。

由以上分析可知，電場線方向先沿-x軸方向，后沿+x軸方向，根據(jù)順著電場線方向電勢降低可知，電勢先升高后降低，則x=0處電勢最大，故C錯誤。

從x=x1運動到x=+∞過程中，電場力沿+x軸方向，則電場力做正功，電荷的電勢能逐漸減小，故D正確。

【變式】如圖4，直線MN表示某電場中一條電場線，a、b是線上的兩點，將一帶負電荷的粒子從a點處由靜止釋放，粒子從a運動到b過程中的v-t圖象如圖5所示，設a、b兩點的電勢分別為φa、φb，場強大小分別為Ea、Eb，粒子在a、b兩點的電勢能分別為Epa、Epb，不計重力，則有

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圖4 圖5

A．φa>φbB．Ea>Eb

C.EaEpb

【解析】由圖5可知，粒子做加速度減小，速度增大的加速運動，故可知從a到b電場強度減小，粒子動能增大，電勢能減小，電場力方向由a指向b，電場線方向由b指向a，b點電勢高于a點電勢，故正確答案為BD。

三、電場中的E - x圖象問題

E-x圖象反映電場強度隨位移變化的規(guī)律：E>0表示場強沿x軸正方向，E<0表示場強沿x軸負方向；圖線與x軸圍成的“面積”表示電勢差，“面積”大小表示電勢差大小，兩點的電勢高低根據(jù)電場方向判定。在與粒子運動相結(jié)合的題目中，可進一步確定粒子的電性、動能變化、電勢能變化等情況。

為了幫助大家能夠定性了解電場中的E-x圖象問題，我們不妨以等量正電荷中垂線上的各點的場強為例來看，顯然兩個點電荷連線的中點場強為0，而無窮遠處場強也為0，但是中垂線上的各點的場強并不都為0，在其中某點場強出現(xiàn)了最大值，因此其電場的E-x圖象即為如圖6所示。從圖象可以看出，x2點的場強最大，x1和-x1處場強等大反向，故O點的電勢最高；由于x1和-x1兩點關于x軸對稱，且電場強度的大小也相等，故從O點到x1和從O點到-x1電勢降落相等，故x1和-x1兩點的電勢相等；x1和x3兩點的電場強度相等，但是x1和x3這段圖線與x軸所圍成的“面積”大于0，故x1點的電勢比x3點要高。

圖6

此類問題的關鍵在于沿著電場強度的方向，電勢一定降低；然后結(jié)合圖象得到電場強度的分布情況，再分析電勢變化情況即可解決。

【例3】靜電場在x軸上的場強E隨x的變化關系如圖7所示，x軸正向為場強正方向，帶正電的點電荷沿x軸運動，則點電荷

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圖7

A.在x2和x4處電勢能相等

B.由x1運動到x3的過程中電勢能增大

C.由x1運動到x4的過程中電場力先增大后減小

D.由x1運動到x4的過程中電場力先減小后增大

【解析】由圖象可知，將正電荷沿x軸正向移動，電場力沿x軸負方向，從x2移動到x4的過程電場力做功不為零，兩點電勢能不相等，A項錯誤；從x1移動到x3的過程電場力沿x軸負方向，電場力做負功，電勢能增大，B項正確；從x1到x4的過程場強先增大后減小，所以電場力先增大后減小，C項正確；D項錯誤。本題正確答案為BC。

【變式】如圖8所示，真空中有一半徑為R、帶電荷量為+Q的均勻帶電球體，以球心為坐標原點，沿半徑方向建立x軸。理論分析表明，x軸上各點的場強隨x變化關系如圖9所示(場強為正值表示方向沿x軸正方向)，則下列說法正確的是

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圖8

B．球內(nèi)部的電場為勻強電場

C．x1、x2兩點處的電勢相同

D．假設將一帶正電的試探電荷沿x軸移動，則從x1移動到x2的過程中，電勢能先減小后增大

圖9

四、電場中的φ - x圖象

【例4】空間某一靜電場的電勢φ在x軸上分布如圖10所示，x軸上兩點B、C的電場強度在x方向上的分量分別是EBx、ECx。下列說法正確的是

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圖10

A．EBx的大小大于ECx的大小

B．EBx的方向沿x軸正方向

C．電荷在O點受到的電場力在x軸方向上的分量最大

D．負電荷沿x軸從B移到C的過程中，電場力先做正功，后做負功

【解析】在φ-x圖象中，圖線斜率表示場強大小。結(jié)合題中圖象特點可知EBx>ECx，EOx=0，故A項正確，C錯誤；根據(jù)電場中沿著電場線的方向電勢逐漸降低可知EBx沿x軸負方向，B項錯誤；負電荷在正x軸上受電場力沿x軸負方向，在負x軸上受電場力沿x軸正方向，故可判斷負電荷從B移到C的過程中，電場力先做正功后做負功，D項正確。本題正確答案為AD。

【例5】兩電荷量分別為q1和q2的點電荷放在x軸上的O、M兩點，兩電荷連線上各點電勢φ隨x變化的關系如圖11所示，其中A、N兩點的電勢為零，ND段中C點電勢最高，則

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圖11

A．C點的電場強度大小為零

B．A點的電場強度大小為零

C．NC間場強方向向x軸正方向

D．將一負點電荷從N點移到D點，電場力先做正功后做負功

【解析】在勻強電場中，場強與電勢存在關系，那么根據(jù)各點的電勢φ隨x變化的關系容易判斷其斜率反映的是場強的大小，而C點斜率為0，顯然C點的電場強度大小為零，即選項A正確，而選項B錯誤。由圖線可以看出，NC間電勢隨x的增加而增加，根據(jù)場強的方向就是電場線的方向，則NC間場強方向應該向x軸負方向，即選項C錯誤。進一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，從N點到D點，電勢先升高后降低，故將一負點電荷從N點移到D點，電場力先做正功后做負功，選項D正確，本題正確答案為AD。

電場中場強與電勢的關系是電場中的重要知識點，學生往往對勻強電場比較熟悉，而對本題中的非勻強電場比較陌生，尤其是有許多學生到現(xiàn)在一直認為場強大，電勢就高，反之亦然，而實際上這是絕對錯誤的！場強反映的是電勢變化的快慢，場強的方向就是電勢降落最快的方向，即沿著電場線方向電勢是降低的，但是本題萬萬不能去看圖象的斜率，那樣極易誤選C選項。

【變式】一靜電場沿x坐標軸方向的電勢分布如圖12所示，則

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圖12

A．在x1～x2之間存在著沿x軸正方向的勻強電場

B．在x1～x2之間存在著沿x軸正方向逐漸增強的電場

C．在x1～x2之間沿x軸方向電場強度為零

D．在x1～x2之間存在著沿x軸負方向的勻強電場

【解析】根據(jù)圖象可知，圖象的斜率表示電場強度的大小，因此在x1～x2之間，斜率不變，所以電場強度大小不變，再根據(jù)沿著電場線的方向，電勢降低，則在x1～x2之間電場強度的方向與x軸負方向相同，故D正確，ABC錯誤；故選D。

(1)固定在A處電荷的電荷量QA；

(2)為了使小物塊能夠到達x=2L處，試討論小物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)μ所滿足的條件；

(4)試畫出μ取值不同的情況下，物塊在AB之間運動大致的速度—時間關系圖象。

圖13 圖14

【解析】(1)由圖14得，x=L點為圖線的最低點，切線斜率為零，即合場強E合=0

解出QA=4Q。

(2)物塊先做加速運動再做減速運動，到達x=2L處速度vt≥0

從x=-2L到x=2L過程中，由動能定理得

(3)小物塊運動速度最大時，電場力與摩擦力的合力為零，設該位置離A點的距離為lA，則

解得lA=3L，即小物塊運動到x=0時速度最大。

(4)物塊在AB之間運動大致的速度—時間關系圖象可能為

【變式】靜電場方向平行于x軸，其電勢φ隨x的分布如圖15所示，圖中φ0和d為已知量。一個帶負電的粒子在電場中以x=0為中心、沿x軸方向做周期性運動。已知該粒子質(zhì)量為m、電荷量為-q，其動能與電勢能之和為-E(0

圖15

(1)粒子所受電場力的大??；

(2)粒子離中心的最大距離；

(3)粒子的運動周期。

五、電場中的Ep - x圖象

由于Ep=qφ，實際上電場中的Ep-x圖象與φ-x圖象類似，只是需要特別注意電荷的正負。此類問題往往以圖象的形式考查靜電場的場強、電勢、電勢能等相關知識；解決問題的關鍵仍然需要分析圖象斜率的物理意義，判斷電勢和場強的變化，再根據(jù)力學基本規(guī)律牛頓第二定律進行分析電荷的運動情況。

【例7】一帶電粒子在電場中僅受靜電力作用，做初速度為零的直線運動。取該直線為x軸，起始點O為坐標原點，其電勢能Ep與位移x的關系如圖16所示，下列圖象中合理的是

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圖16

A.電場強度與位移關系 B.粒子動能與位移關系

C.粒子速度與位移關系 D.粒子加速度與位移關系

【解析】由Ep-x圖象可知，帶電粒子在電場中運動時，其電勢能的變化規(guī)律是非線性的。帶電粒子的電勢能不是均勻變化的，故電場力不能為恒力，故選項A錯誤；帶電粒子僅受靜電力作用，故電勢能和動能相互轉(zhuǎn)化，電勢能的減少量等于動能的增加量，即動能增加得越來越慢，故選項BC錯誤；由于靜電力不是恒力，加速度a應該越來越小，選項D正確。

【例8】一帶負電的粒子只在電場力作用下沿x軸正向運動，其電勢能Ep隨位移x變化的關系如圖17所示，其中O～x2段是對稱的曲線，x2～x3段是直線，則下列說法正確的是

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圖17

A．x1處電場強度為零

B．x2～x3段是勻強電場

C．x1、x2、x3處電勢φ1、φ2、φ3的關系為φ1>φ2>φ3

D．粒子在O～x2段做勻變速運動，x2～x3段做勻速直線運動

【解析】因為從O～x1負電荷電勢能減小，故電勢升高，電場線由x1指向O點，同理在x1到x3區(qū)域電場線由x1指向x3，可知x1處電場強度為零，選項A正確；x2～x3段斜率不變，場強不變，即電場強度大小和方向均不變，是勻強電場，粒子所受的電場力不變，做勻變速直線運動，故B正確，D錯誤；由于在x1到x3區(qū)域電場線由x1指向x3，順著電場線電勢降低，所以有φ1>φ2>φ3，故C正確；因電勢能Ep隨位移x變化的關系圖線的斜率等于場強，可知在O～x1段圖象切線的斜率不斷減小，場強減小，粒子所受的電場力減小，加速度減小，做非勻變速運動。x1～x2段圖象切線的斜率不斷增大，場強增大，粒子所受的電場力增大，做非勻變速運動，故ABC選項正確。

【變式】如圖18所示，A、B為某電場中一條直線上的兩個點，現(xiàn)將正點電荷從A點靜止釋放，僅在電場力作用下運動一段距離到達B點，其電勢能Ep隨位移x的變化關系如圖19。從A到B過程中，下列說法中正確的是

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圖18

圖19

A．電場力對電荷一直做正功

B．電勢一直升高

C．電荷所受電場力先減小后增大

D．電荷所受電場力先增大后減小