含有滯后期的統(tǒng)計(jì)協(xié)整模型的應(yīng)用分析

孔凡勝

摘 要：眾所周知，股市是宏觀經(jīng)濟(jì)的晴雨表。整個(gè)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的變化會(huì)對(duì)股市造成大幅度的影響，在一些股票的大波動(dòng)下，行業(yè)輪動(dòng)效應(yīng)、板塊輪動(dòng)效應(yīng)、羊群效應(yīng)等一系列的效應(yīng)都會(huì)相應(yīng)出現(xiàn)。但是這種帶動(dòng)效應(yīng)在股票市場(chǎng)中并不是迅速傳遞的，一些股票的變動(dòng)快些，另一些股票變動(dòng)的相對(duì)較慢。準(zhǔn)確的找到這些時(shí)間差距可以對(duì)股市的投資及決策起到更好的指導(dǎo)作用。通過(guò)對(duì)進(jìn)行了時(shí)間滯后的股票數(shù)據(jù)之間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)套利分析，以期尋找到正常統(tǒng)計(jì)套利情況下無(wú)法找到的套利機(jī)會(huì)并與之比較。

關(guān)鍵詞：協(xié)整檢驗(yàn)；單位根檢驗(yàn)；滯后協(xié)整模型；統(tǒng)計(jì)套利

中圖分類號(hào)：TB 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672.3198.2018.32.113

統(tǒng)計(jì)套利與傳統(tǒng)投資不同，是一種基于模型的投資過(guò)程。統(tǒng)計(jì)套利是在不依賴其具體的經(jīng)濟(jì)含義情況下，僅僅是通過(guò)運(yùn)用數(shù)量手段進(jìn)行構(gòu)造投資組合，這種投資是根據(jù)成對(duì)的證券或股票期貨的價(jià)格與其數(shù)量模型所預(yù)測(cè)理論價(jià)值進(jìn)行對(duì)比分析，尋找價(jià)值偏離并構(gòu)建有關(guān)組合的多頭和空頭，進(jìn)而規(guī)避市場(chǎng)的固有風(fēng)險(xiǎn)并獲取一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的套利收益。構(gòu)造統(tǒng)計(jì)套利組合是統(tǒng)計(jì)套利的第一步，通過(guò)尋找相關(guān)性強(qiáng)的股票對(duì)并對(duì)分析股票對(duì)之間是否存在長(zhǎng)期的均衡關(guān)系即協(xié)整關(guān)系，對(duì)于存在這種協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)可以結(jié)合成一種投資組合，由于股票對(duì)長(zhǎng)期均衡因此當(dāng)這兩種股票之間在某一個(gè)短期內(nèi)價(jià)差偏離較大并超過(guò)一定值時(shí)，即可實(shí)施對(duì)沖交易，即進(jìn)行相應(yīng)的建倉(cāng)和平倉(cāng)操作，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間當(dāng)價(jià)差回復(fù)到正常的水平時(shí)，對(duì)交易的股票對(duì)開(kāi)始反向平倉(cāng)和建倉(cāng)的操作，通過(guò)這種平倉(cāng)與建倉(cāng)賺取相對(duì)低風(fēng)險(xiǎn)的收益。統(tǒng)計(jì)套利這種方法也是存在一定風(fēng)險(xiǎn)的，這是由于此方法是利用股票的歷史價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行建模套利的，因此這種基于歷史規(guī)律的投資方法的前提是在未來(lái)的一段時(shí)間內(nèi)規(guī)律繼續(xù)存在。此外在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)套利時(shí)，股票對(duì)價(jià)格偏離一定程度時(shí)要設(shè)定套利開(kāi)始時(shí)的值，即開(kāi)始交易點(diǎn)，還要設(shè)定強(qiáng)制止損點(diǎn)即強(qiáng)制反向操作的值，以避免由于各種影響導(dǎo)致長(zhǎng)期協(xié)整關(guān)系不存在時(shí)進(jìn)一步的虧損。

國(guó)內(nèi)外大多學(xué)者都是基于股票價(jià)格或其他證券價(jià)格直接通過(guò)計(jì)量手段研究投資組合，尋找套利機(jī)會(huì)，即用統(tǒng)計(jì)套利的方法來(lái)進(jìn)行投資組合的選取及對(duì)投資的指導(dǎo)。而基于滯后時(shí)間的投資組合卻很少見(jiàn)。對(duì)于交易信號(hào)的建立目前最常用的是選擇靜態(tài)的價(jià)差標(biāo)準(zhǔn)差作為交易觸發(fā)點(diǎn)，即設(shè)定價(jià)差標(biāo)準(zhǔn)差的幾倍作為觸發(fā)條件和止損條件。方昊（2005）的交易信號(hào)是根據(jù)以下標(biāo)準(zhǔn)建立：假如當(dāng)期價(jià)格比值長(zhǎng)期觸發(fā)均值偏差大于 1 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，選擇交易。并且設(shè)定了10%的止損額來(lái)控制交易中出現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)，即假如價(jià)格超出了長(zhǎng)期均值的 110%時(shí)，進(jìn)行平倉(cāng)操作。常宗琪（2008）采用的交易標(biāo)準(zhǔn)是：當(dāng)價(jià)差低于或者超過(guò)股票價(jià)差的均值偏差大于 1 時(shí)，則開(kāi)始建倉(cāng)進(jìn)行交易。將±2 設(shè)定為平倉(cāng)的上下限，將0.9個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)定為止損點(diǎn)以控制風(fēng)險(xiǎn)，即價(jià)差的波動(dòng)大于0.1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，則進(jìn)行強(qiáng)制平倉(cāng)，認(rèn)賠出局。

1 模型介紹

1.1 協(xié)整模型

在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)套利分析時(shí)其前提是相應(yīng)的股票對(duì)之間存在協(xié)整關(guān)系。具有協(xié)整關(guān)系的序列一般來(lái)說(shuō)相關(guān)性也比較強(qiáng)。因此分析時(shí)先找出相關(guān)性比較強(qiáng)的股票對(duì)，然后再對(duì)股票對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn)看其是否存在長(zhǎng)期的協(xié)整關(guān)系。對(duì)于存在協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)來(lái)說(shuō)，差價(jià)偏離到一定預(yù)設(shè)程度時(shí)開(kāi)始投資建倉(cāng)：此時(shí)買進(jìn)相對(duì)來(lái)說(shuō)被低估的股票，同時(shí)賣出相對(duì)高估的股票，等到價(jià)差回歸均衡時(shí)進(jìn)行相反操作賣出即可。

首先是檢驗(yàn)相關(guān)性比較高的股票對(duì)即變量Yt，Xt 之間是否存在協(xié)整關(guān)系，Engle和Granger于1987年提出兩步檢驗(yàn)法，也稱為EG檢驗(yàn)。具體步驟如下：

1.2 含滯后期的協(xié)整模型

類似于上述協(xié)整模型，本文是檢驗(yàn)滯后i（i=1，2，3…）階后的序列Yt1-i與序列Xt2之間是否是協(xié)整。同樣類似于E-G兩步法具體步驟如下：

第二步：檢驗(yàn)殘差序列μ︿t是否存在單位根，如果序列μ︿t是不存在單位根，則序列μ︿t是平穩(wěn)序列，并認(rèn)為序列Yt-i，Xt存在協(xié)整關(guān)系。

對(duì)于滯后階數(shù)i的選取，對(duì)于每個(gè)股票組合會(huì)對(duì)應(yīng)不同的最優(yōu)滯后階數(shù)i。因此選取最優(yōu)i時(shí)應(yīng)結(jié)合具體的股票組合具體取值。

當(dāng)這兩個(gè)序列存在協(xié)整關(guān)系時(shí)，我們就可以得出后一個(gè)序列與前一個(gè)滯后i期后的序列存在長(zhǎng)期的穩(wěn)定關(guān)系。應(yīng)用在股票市場(chǎng)時(shí)，我們就可以先找到存在這種滯后協(xié)整關(guān)系的股票組合，然后通過(guò)對(duì)應(yīng)于上述Yt的股票來(lái)預(yù)測(cè)上述Xt的股票在未來(lái)的大致走勢(shì)，并根據(jù)預(yù)測(cè)走勢(shì)進(jìn)行股票建倉(cāng)平倉(cāng)操作，賺取低風(fēng)險(xiǎn)下的高額收益。

2 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備與實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

本文的數(shù)據(jù)來(lái)自Wind數(shù)據(jù)庫(kù)，采用的是2014年6月5日到2018年5月31日共1000個(gè)交易日的每日的收盤價(jià)價(jià)格。選取了申萬(wàn)一級(jí)行業(yè)中的4個(gè)行業(yè)，每個(gè)行業(yè)選取少量股票。

2.2 實(shí)證分析

出于實(shí)際經(jīng)濟(jì)考慮，對(duì)數(shù)據(jù)的滯后期最大選取為100個(gè)交易日。在進(jìn)行數(shù)據(jù)間的相關(guān)系數(shù)計(jì)算時(shí)，首先計(jì)算一只股票滯后1個(gè)交易日與另一只股票之間的相關(guān)系數(shù)，然后是計(jì)算滯后2個(gè)交易日與另一只股票之間的相關(guān)系數(shù)，然后是滯后3個(gè)交易日、4個(gè)交易日、100個(gè)交易日。通過(guò)這種計(jì)算可以得到一只股票與另一只股票的100個(gè)相關(guān)系數(shù)的向量。

2.2.1 計(jì)算相關(guān)系數(shù)及滯后期

通過(guò)計(jì)算多組股票之間的這種相關(guān)系數(shù)我們就可以得到一個(gè)由多個(gè)100個(gè)相關(guān)系數(shù)向量組成的矩陣。本文共選取了的多支股票的配對(duì)結(jié)果及配對(duì)后的相關(guān)系數(shù)。利用R軟件編程我們可以得到一個(gè)含有滯后項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)矩陣，我們可以得到部分較優(yōu)的組合及其各滯后期的相關(guān)系數(shù)如圖1。

通過(guò)圖像我們可以看出部分滯后期最優(yōu)在20左右，還有在50左右。具體股票組合及滯后時(shí)間如表1。

2.2.2 滯后模型的單位根檢驗(yàn)

以滯后14個(gè)交易日的河北鋼鐵（e1）與中國(guó)遠(yuǎn)洋（e2）股價(jià)為例，首先對(duì)原股價(jià)進(jìn)行對(duì)數(shù)化處理以后進(jìn)行股價(jià)的單位根檢驗(yàn)。單位根檢驗(yàn)的結(jié)果顯示p值0.5663表明在5%的顯著性水平下，p值都大于0.05，不能拒絕原假設(shè)，因此兩對(duì)數(shù)化后的股票序列都是不平穩(wěn)。經(jīng)過(guò)一階差分后的結(jié)果p=0.01顯示一階差分后的結(jié)果都拒絕不存在單位根的原假設(shè)。此時(shí)兩對(duì)數(shù)化后的股票序列都是平穩(wěn)的。這表明河北鋼鐵與中國(guó)遠(yuǎn)洋的對(duì)數(shù)股票價(jià)格序列都是一階單整的。

2.2.3 滯后模型的協(xié)整檢驗(yàn)

上一節(jié)中我們確定了河北鋼鐵與中國(guó)遠(yuǎn)洋對(duì)數(shù)化后的股票價(jià)格序列都是一階單整的。接下來(lái)我們看看它們是不是協(xié)整的。第一步，我們建立回歸模型：

對(duì)模型進(jìn)行回歸后得到：

回歸系數(shù)p值遠(yuǎn)小于0.05，高度顯著。這說(shuō)明河北鋼鐵與中國(guó)遠(yuǎn)洋對(duì)數(shù)化后的股票價(jià)格序列有線性關(guān)系。

第二步，對(duì)線性回歸的殘差序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，程序結(jié)果顯示p值等于0.01，單位根檢驗(yàn)的結(jié)果表明在5%的顯著性水平下，p值小于0.05，拒絕原假設(shè)，殘差序列是平穩(wěn)序列。即滯后14個(gè)交易日的河北鋼鐵與中國(guó)遠(yuǎn)洋的對(duì)數(shù)化后的股價(jià)序列之間存在協(xié)整關(guān)系。

2.2.4 傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)套利建模

同上述建模相類似，傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)建模首先選取相關(guān)性較好并且相對(duì)穩(wěn)定的股票對(duì)。河北鋼鐵與中國(guó)遠(yuǎn)洋股價(jià)在沒(méi)有對(duì)河北鋼鐵股價(jià)滯后時(shí)相關(guān)系數(shù)為0.9616418，相關(guān)程度比較高，可以用沒(méi)有滯后期的河北鋼鐵與中國(guó)遠(yuǎn)洋股價(jià)進(jìn)行建模，看其是否存在協(xié)整關(guān)系。類似上述建模，首先進(jìn)行的是兩股價(jià)對(duì)數(shù)化處理后的單位根檢驗(yàn)，結(jié)果如下：

Dickey-Fuller = -1.4937，Lag order = 7，p-value = 0.7919

Dickey-Fuller = -2.0272，Lag order = 7，p-value = 0.5663

我們可以看出在這兩個(gè)原股價(jià)對(duì)數(shù)化處理后的序列都是不平穩(wěn)的，經(jīng)過(guò)一階差分后的序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)結(jié)果如下：

Dickey-Fuller = -7.8459，Lag order = 7，p-value = 0.01

Dickey-Fuller = -6.6784，Lag order = 7，p-value = 0.01

經(jīng)過(guò)一階差分后的兩股價(jià)序列都拒絕無(wú)單位跟的原假設(shè)，此時(shí)沒(méi)有滯后期的河北鋼鐵與中國(guó)遠(yuǎn)洋對(duì)數(shù)化后的股價(jià)序列都是一階單整的時(shí)間序列。

我們對(duì)這兩個(gè)時(shí)間序列進(jìn)行回歸建模，結(jié)果如下：

Coefficients：

Estimate Std.Error t value Pr（>|t|）

（Intercept） -0.257645 0.011592 -22.23 <2e-16***

e2 0.785106 0.007322 107.22 <2e-16***

通過(guò)程序結(jié)果我們可以看到對(duì)數(shù)化后的股價(jià)之間存在回歸關(guān)系。最后我們對(duì)線性回歸殘差后的序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，結(jié)果如下：

Dickey-Fuller = -3.5977，Lag order = 7，p-value = 0.03311

P值小于臨界值0.05，拒絕無(wú)單位根的原假設(shè)。這說(shuō)明沒(méi)有滯后期的河北鋼鐵與中國(guó)遠(yuǎn)洋對(duì)數(shù)化后的股價(jià)序列之間是存在協(xié)整關(guān)系的。通過(guò)這種傳統(tǒng)的協(xié)整關(guān)系，我們可以設(shè)定統(tǒng)計(jì)套利建倉(cāng)平倉(cāng)時(shí)機(jī)。

3 制定買賣時(shí)機(jī)

3.1 傳統(tǒng)套利模型的交易時(shí)機(jī)

傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)套利中，一般是將上節(jié)中的沒(méi)有進(jìn)行時(shí)間滯后的殘差序列進(jìn)行正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)化，標(biāo)準(zhǔn)化后的序列記為Z。結(jié)果如上圖所示。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)化后的序列偏離均值一定距離時(shí)，表明兩股價(jià)其中一個(gè)被高估，一個(gè)被低估。此時(shí)也是傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)套利開(kāi)始套利的機(jī)會(huì)。對(duì)于不同的投資者，入場(chǎng)套利的時(shí)機(jī)選擇不同。就本文來(lái)說(shuō)，當(dāng) |Z|>|二倍標(biāo)準(zhǔn)差|>0時(shí)河北鋼鐵的股票價(jià)格相對(duì)高估，中國(guó)遠(yuǎn)洋的股票價(jià)格相對(duì)低估，此時(shí)可以賣空河北鋼鐵的股票，同時(shí)買入相應(yīng)的中國(guó)遠(yuǎn)洋的股票。當(dāng)Z回復(fù)到均值附近時(shí)，說(shuō)明河北鋼鐵股價(jià)與中國(guó)遠(yuǎn)洋股價(jià)價(jià)差回復(fù)均衡水平，此時(shí)平倉(cāng)獲利了結(jié)。當(dāng)股價(jià)偏離均衡狀態(tài)時(shí)并不保證一定能夠回復(fù)到均衡狀態(tài)，因?yàn)橛绊懝蓛r(jià)的因素很多，市場(chǎng)熱點(diǎn)的輪換&企業(yè)重組等因素都可以引起股價(jià)非暫時(shí)性地偏離均衡位置。因此，必須設(shè)定止損點(diǎn)，即當(dāng)|Z|大于某一個(gè)設(shè)定值時(shí)，止損平倉(cāng)，以防止價(jià)差進(jìn)一步擴(kuò)大引起保證金不足導(dǎo)致的強(qiáng)制平倉(cāng)。一般來(lái)說(shuō)，|Z|偏離均值越大，均值回復(fù)的可能性越大，此時(shí)套利空間也就越大，但是能夠進(jìn)行套利的機(jī)會(huì)也就越少。相反|Z|偏離均值越小，能夠進(jìn)行套利的機(jī)會(huì)也就越多。|Z|與均值偏離的程度因投資者而定。本文若以二倍的標(biāo)準(zhǔn)差定為入市套利的時(shí)機(jī)，三倍標(biāo)準(zhǔn)差為止損點(diǎn)。則共有三次套利機(jī)會(huì)，一次觸發(fā)止損點(diǎn)。

3.2 本文的結(jié)論

本文提出了河北鋼鐵滯后14個(gè)交易日后與中國(guó)遠(yuǎn)洋股價(jià)是有著協(xié)整關(guān)系，也就是說(shuō)當(dāng)河北鋼鐵滯后14個(gè)交易日與中國(guó)遠(yuǎn)洋股價(jià)之間的價(jià)差是平穩(wěn)序列，因此當(dāng)價(jià)差變動(dòng)幅度相對(duì)穩(wěn)定并且幅度較小時(shí)，一段時(shí)間內(nèi)的河北鋼鐵股票價(jià)格與14天后這段時(shí)間內(nèi)中國(guó)遠(yuǎn)洋股價(jià)之間變化幅度大致相同。從圖中我們能夠看出在河北鋼鐵股價(jià)上漲后沒(méi)多久，中國(guó)海洋股價(jià)也隨之上漲，隨后的河北鋼鐵的下跌也引起了中國(guó)遠(yuǎn)洋股票的下跌，并且漲跌幅與河北鋼鐵差距不大。此時(shí)，我們就可以通過(guò)河北股價(jià)的上漲預(yù)測(cè)到未來(lái)中國(guó)遠(yuǎn)洋股價(jià)也會(huì)隨之上漲。通過(guò)這種漲跌，我們可以通過(guò)持有相應(yīng)的股票與期權(quán)冒著較小的風(fēng)險(xiǎn)獲得超額收益。

4 結(jié)論及展望

由于宏觀經(jīng)濟(jì)政策的波動(dòng)對(duì)整個(gè)經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)的影響不是同時(shí)發(fā)生的，這就導(dǎo)致每個(gè)企業(yè)間對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)政策的反應(yīng)有一定的時(shí)間差距，這種差距是由多方面原因造成的。這種差距存在于同行業(yè)間，也存在于同一產(chǎn)業(yè)鏈的上下游企業(yè)中。宏觀經(jīng)濟(jì)政策的波動(dòng)的影響比較大，持續(xù)時(shí)間也比較長(zhǎng)。例如2007年的股市大漲一直持續(xù)到2008年，2013年的“一帶一路”政策在2014年開(kāi)始被廣泛炒作，炒作的結(jié)果就是眾多大盤股紛紛漲停，后期很多相關(guān)的股票也都開(kāi)始漲停，通過(guò)有滯后期的協(xié)整模型就可以找出更優(yōu)的投資組合，這對(duì)投資者有很好的指導(dǎo)借鑒作用。同時(shí)，由于得到了某一股票關(guān)于未來(lái)的大致走勢(shì)，不但可以直接做股票投資，同時(shí)還可以進(jìn)行期權(quán)的交易，這對(duì)期權(quán)交易也是有很高的借鑒意義。

本文也存在一些不足與缺陷：對(duì)于滯后期i的選擇偏主觀性，如果i的選擇有偏差則可能會(huì)使協(xié)整的結(jié)果完全相反，這就會(huì)讓投資者失去投資機(jī)會(huì)。本文的數(shù)據(jù)選擇僅僅是選擇了Wind數(shù)據(jù)庫(kù)中幾個(gè)行業(yè)中的少量股票，并沒(méi)有從公司結(jié)構(gòu)或產(chǎn)業(yè)鏈的上下游之中去挑選要建模的股票，因此本文中滯后的效果不是太明顯。而且本文中趨勢(shì)的變化也是由于整個(gè)宏觀市場(chǎng)發(fā)展勢(shì)頭強(qiáng)勁，大量股票都在上揚(yáng)導(dǎo)致的，對(duì)于部分公司和產(chǎn)業(yè)自身的政策調(diào)整無(wú)法在本文中的模型中很好體現(xiàn)出來(lái)。但如果能從產(chǎn)業(yè)鏈的上下游著手選取股票的話，再加上本文提出的滯后協(xié)整檢驗(yàn)方法，公司的政策調(diào)整就能夠很好的體現(xiàn)在模型中。在企業(yè)政策中，高頻股票數(shù)據(jù)會(huì)更有效。通過(guò)模型進(jìn)行投資才是最優(yōu)的投資選擇。

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