方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計

荊佩

摘要：隨著新課標(biāo)的不斷發(fā)展和深化，高考對學(xué)生綜合素質(zhì)的考察越來越重視，一些高等數(shù)學(xué)的概念也逐漸融入到高中數(shù)學(xué)課程中，而方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)問題便是其中之一.本文采用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想詳細(xì)闡述了解決函數(shù)零點(diǎn)分布、零點(diǎn)個數(shù)和兩個函數(shù)交點(diǎn)的問題.

關(guān)鍵詞：方程；函數(shù)；教學(xué)設(shè)計

學(xué)科年級：高一數(shù)學(xué)， 教材版本：人教A版

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課將從方程的根與函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，導(dǎo)出函數(shù)零點(diǎn)的概念；以及求函數(shù)零點(diǎn)的兩種方法：代數(shù)法和幾何法。以實(shí)例存在零點(diǎn)的特點(diǎn)，探究在某區(qū)間上圖像連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法；體現(xiàn)了從具體到一般的認(rèn)知過程，培養(yǎng)概括歸納的能力。

教學(xué)過程

一、練習(xí)

練習(xí)1.求下列方程的根

練習(xí)2.畫出相應(yīng)函數(shù)的圖像

問題1.通過觀察分析上面的兩個練習(xí)，你能概括方程的根與函數(shù)圖像與 軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)有何聯(lián)系？教師組織學(xué)生獨(dú)立思考完成練習(xí)，分小組檢查討論所提出的問題。并派出一個代表回答問題。 從方程的角度叫根，從圖像的角度叫橫坐標(biāo)，從函數(shù)的角度它應(yīng)叫什么呢？

二、給出函數(shù)零點(diǎn)的定義

三、你能快速回答練習(xí)2函數(shù)的零點(diǎn)嗎？引出函數(shù)零點(diǎn)需要注意的三點(diǎn)：第一點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)并不是點(diǎn)。第二點(diǎn)，并不是所有的函數(shù)都有零點(diǎn)。第三點(diǎn)，若函數(shù)有零點(diǎn)則零點(diǎn)一定在函數(shù)的定義域內(nèi)。學(xué)生思考，并指定學(xué)生回答。

通過上面的學(xué)習(xí)知道方程的根，圖像與 軸的交點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)三者之間是等價的。

問題2：總結(jié)求函數(shù)零點(diǎn)的方法？學(xué)生思考討論得出結(jié)論：一，代數(shù)法。二，幾何法。

四、練習(xí)3

（1）

（2） 在應(yīng)用的過程中進(jìn)一步理解和掌握求函數(shù)零點(diǎn)的方法， 學(xué)生獨(dú)立思考，并讓學(xué)生簡單說明解答的過程。

五、問題3：已知直線 ，兩點(diǎn)A、B且A、B分別在 的異側(cè)，問A到達(dá)B與 一定相交嗎？接下來我們探究函數(shù)在閉區(qū)間上零點(diǎn)的存在性， 進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生也就是說如果 軸上方和下方分別有一個點(diǎn)A、B，過A和B的連續(xù)函數(shù)圖像與 軸一定相交。

六、給出閉區(qū)間的函數(shù)零點(diǎn)存在定理， 引導(dǎo)學(xué)生探索歸納總結(jié)用數(shù)學(xué)語言描述函數(shù)零點(diǎn)存在定理，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和邏輯思維能力， 回歸練習(xí)2的圖像并且限定 的范圍

分析函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上函數(shù)值的符號情況，與函數(shù)的零點(diǎn)是否存在著一定關(guān)系。

七、結(jié)合練習(xí)2函數(shù)的圖像，回答以下問題

探究1：如果一個連續(xù)函數(shù) 滿足 ，那么函數(shù) 內(nèi)一定存在唯一的零點(diǎn)嗎？

探究2：如果一個連續(xù)函數(shù) 滿足 ，那么函數(shù) 內(nèi)滿足什么條件存在唯一的零點(diǎn)呢？

探究3：如果一個連續(xù)函數(shù) 不滿足 ，那么函數(shù) 內(nèi)一定不存在零點(diǎn)嗎？

探究4：如果一個連續(xù)函數(shù) 存在零點(diǎn)，那么函數(shù) 內(nèi)一定有 嗎？

探究5：如果函數(shù) 上的圖像不是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù) 內(nèi)有零點(diǎn)一定有 嗎？

啟發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，歸納函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的兩個條件。

小結(jié)歸納，知識升華

讓學(xué)生在小結(jié)中明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，強(qiáng)化本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，并為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。所以在這一部分我的設(shè)計意圖是回顧知識，拓展深化。（1）本節(jié)課我們主要學(xué)了什么？（2）用到了那些數(shù)學(xué)思想和解題技巧呢？

參考文獻(xiàn)：

[1]例說巧解方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)問題[J].黃海燕.數(shù)理化解題研究.2017（07）

[2]方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的教學(xué)分層設(shè)計與反思[J].甘綺雯.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究.2016（17）