例談構(gòu)造法解題*

☉四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 彭玉靈

☉四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

構(gòu)造法是指依據(jù)數(shù)學(xué)中的概念和方法按固定程序經(jīng)有限步解決問題的方法.強化構(gòu)造思想的訓(xùn)練能夠有效提高學(xué)生解題的靈活性、準確性、創(chuàng)造性［1］.構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的解題方法，幾乎在數(shù)學(xué)的每一個分支中都有體現(xiàn)，根據(jù)數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的不同，構(gòu)造法可以分為很多種，如構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造向量、構(gòu)造不等式、構(gòu)造圖形、構(gòu)造斜率、構(gòu)造三角式、構(gòu)造復(fù)數(shù)、構(gòu)造二項式、構(gòu)造反例、構(gòu)造對偶式、構(gòu)造隔板等.

一、構(gòu)造方程

分析：題目中已知方程都有2個立方和33，53，將33和53分別看成方程的解，構(gòu)造方程.

解：將33，53視為關(guān)于t的方程的兩個根

通分得，x（t+63）+y（t+43）=（t+43）（t+63）（t為未知數(shù)，x，y為常數(shù)），

即t2+（63+43-x-y）t+（43×63-63x-43y）=0.

由韋達定理得到63+43-x-y=-（33+53），

即x+y=33+43+53+63=432.

例2（2010年重慶卷理科）已知函數(shù)f（x）滿足：f（1），4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），則f（2010）=______.

解析：試圖尋找f（2010）與f（1）的關(guān)系，可猜想f（x）是周期函數(shù).而按周期函數(shù)的定義f（T+x）=f（x），只出現(xiàn)兩次f，但所給函數(shù)方程中出現(xiàn)了四次且含有乘積形式4f（x）f（y），這就考慮將變量y消去，對y賦值，比如取y=1，則得f（x）=f（x+1）+f（x-1），即f（x+1）=f（x）-f（x-1）.①

那么f（x+2）=f（x+1）-f（x）.②

由①+②，得f（x+2）=-f（x-1），即f（x+3）=-f（x），則f（x+6）=f（x）.

故該函數(shù)的周期為6，則f（2010）=f（6×335+0）=f（0）.

又令x=1，y=0，得4f（1）f（0）=f（1）+f（1），

評注：此題以抽象函數(shù)和函數(shù)方程為背景，其解題思路的探究是本題的重點和難點.直覺告訴我們，f（2010）與f（1）似有聯(lián)系，這自然聯(lián)想到周期函數(shù)，由此猜想：f（x）是周期函數(shù).而所給函數(shù)方程中含有兩個變量x，y，自然的想法是消去一個，比如取y=1，則得f（x）=f（x+1）+f（x-1），這離問題的解決就比較近了.若考生根據(jù)以往經(jīng)驗簡單地猜想f（2010）=f（1）=，則是

錯誤的，這顯然是一個陷阱.本題對解題思路的探究提出了很高要求，思維難度很大，其關(guān)鍵是求出函數(shù)的周期和f（0）的值.

二、構(gòu)造函數(shù)

構(gòu)造函數(shù)是運用函數(shù)思想方法解決數(shù)學(xué)問題的重要手段.

例3設(shè)定義在［1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足xf′（x），則f（x）的最小值為______.

三、構(gòu)造向量

向量是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具.

證明： 構(gòu)造向量m=（1，a），n=（1，b），則m-n=（0，ab），由||m|-|n||≤|m-n|，得到-|≤|a-b|，即|（fa）-（fb）|≤|a-b（|當(dāng)且僅當(dāng)m與n同向共線時，等號成立）.

四、構(gòu)造不等式

例5設(shè)函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（0，1）上的正值函數(shù)，即f（x）＞0對任意x∈（0，1）都成立；不等式≤2對任意x，y∈（0，1）都成立.求證：f（x）必是常數(shù)函數(shù).

分析：欲證明（fx）必是常數(shù)函數(shù)，只需證明（fx）=（fx0）恒成立，其中x0∈（0，1）.又考慮到條件與結(jié)論的對稱性，可以把x∈（0，1）取為中點，即取x=.問題變?yōu)樾枰C00明）恒成立.又由題設(shè)條件可以考慮對x，y賦值并運用二元均值不等式.

因為f（y），f（1-y）均大于0，

因為x，y∈（0，1），所以有故f（x）必是常數(shù)函數(shù).

五、構(gòu)造數(shù)列

六、構(gòu)造圖形

構(gòu)造幾何圖形是把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題的基本解題策略.

分析：該題初看似乎無從下手，但仔細分析兩個根式發(fā)現(xiàn)它們可以表示兩點的距離之和，由此構(gòu)造線段來簡化問題并得到有效解決.

解：由根式聯(lián)想到距離，通過拆、湊發(fā)現(xiàn)f（x）可化為平方和形式，即有則該問題轉(zhuǎn)化為求點P（x，x2）到點A（2，3）與點B（0，1）距離之和的最小值.畫圖并經(jīng)過觀察可知，當(dāng)A，B，P在同一直線上時，|PA|+|PB|最小，其最小值為|AB|.

故（fx）min=|AB|=2.

七、構(gòu)造斜率

一些具有分式結(jié)構(gòu)的問題，通常可以把該分式看成兩點連線的斜率.

設(shè)切線方程為y-2=k（x+3），由圓心到切線的距離等于半徑得

評注：聯(lián)想到直線的斜率公式，將函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為求斜率k的范圍，使問題簡潔獲解，值得借鑒.

八、構(gòu)造三角式

九、構(gòu)造復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)具有點、向量、代數(shù)、三角等多種表示形式，且復(fù)數(shù)的幾何意義又把數(shù)與形結(jié)合起來［2］.運用復(fù)數(shù)能夠?qū)?fù)雜的問題簡單化，將抽象的問題具體化.

例10 設(shè)p，q，m，n∈R+，且m2+n2=1，證明：

證明：設(shè)z1=pm+qni，z2=qm+pni，則

評注：從上面例題可以見得復(fù)數(shù)在解決不等式及極值中的應(yīng)用，可以簡化問題及運算，為解決高考題提供又一策略.

十、構(gòu)造二項式

例11 已知a，b，c∈R+且a+b+c=abc，求證an+bn+cn＞

十一、構(gòu)造反例

反例是數(shù)學(xué)的精良武器.證明一個命題不成立的最好方法是構(gòu)造出一個反例.

例12 （2018年北京卷文科第4題）設(shè)a，b，c，d是非零實數(shù)，則“ad=bc”是“a，b，c成等比數(shù)列”的（ ）.

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：這里設(shè)a=d=2，c=4，d=1，此時a，b，c，d并不能構(gòu)成等比數(shù)列，則可知“ad=bc”是“a，b，c成等比數(shù)列”的必要而不充分條件.

評注：此類問題在高考中均可利用構(gòu)造反例來解決，可以大大減少思考和計算的時間.

十二、構(gòu)造對偶式

例13 求A=sin220°+cos50°+sin20°cos50°的值.

解析：構(gòu)造A的對偶式B=cos220°+sin50°+cos20°sin50°，則易得A+B=2+sin70°，