☉江蘇省華羅庚中學(xué) 王國(guó)俊

圖形的應(yīng)用在各級(jí)各類考試，特別是高考中出現(xiàn)的頻率越來(lái)越高，內(nèi)容可以涉及方方面面的問(wèn)題：集合中的圖形、函數(shù)的圖像、幾何圖形（平面幾何、平面解析幾何、立體幾何）、三角函數(shù)的圖像、算法的程序框圖、統(tǒng)計(jì)圖、概率中的圖形以及線性規(guī)劃的平面區(qū)域等.其主要目的是引導(dǎo)學(xué)生深入生活，在了解社會(huì)實(shí)際問(wèn)題的同時(shí)不斷擴(kuò)大自身的知識(shí)面，才能在實(shí)際解決問(wèn)題時(shí)立于不敗之地.關(guān)鍵是正確理解相關(guān)圖形的變化規(guī)律，通過(guò)圖形特征加以綜合分析.

一、由函數(shù)判斷圖形

此類問(wèn)題往往直接結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)判斷、利用函數(shù)的變化規(guī)律加以排除、結(jié)合函數(shù)的特征加以特殊應(yīng)用、利用實(shí)際問(wèn)題加以一般性轉(zhuǎn)化等，抓住函數(shù)的特點(diǎn)，利用性質(zhì)法、排除法、特殊值法等加以解決.

例1 （原創(chuàng)題）若直線l：y=kx+1被圓C：x2+y2-2x-3=0截得的弦長(zhǎng)為t，則t關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為t=f（k），則該函數(shù)t=f（k）的圖像大致為（）.

分析：直接利用直線與圓的位置關(guān)系來(lái)確定相應(yīng)的函數(shù)解析式難度比較大，通過(guò)特殊情況下對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)的最值情況加以排除，切入點(diǎn)巧妙，簡(jiǎn)單快捷.

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)與圖像問(wèn)題，是高中數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容.函數(shù)可以把圖像精確化、細(xì)微化；反之，圖像能使函數(shù)直觀化、形象化.高中對(duì)函數(shù)圖像的要求有三個(gè)方面：作圖、識(shí)圖、用圖.作圖是基本能力，識(shí)圖是綜合素質(zhì)，用圖是最終目標(biāo).

二、由圖形辨別信息

此類問(wèn)題往往結(jié)合已知圖形的特征，經(jīng)常涉及集合的包含關(guān)系、統(tǒng)計(jì)圖形、概率圖形等，根據(jù)相應(yīng)圖形中的信息得到對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)信息，再結(jié)合對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)來(lái)解決相應(yīng)的問(wèn)題，達(dá)到由圖形正確處理對(duì)應(yīng)的信息問(wèn)題.

例2（改編題）有一個(gè)容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖1所示，根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計(jì)，樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10，12）內(nèi)的頻數(shù)為（ ）.

A.18 B.36 C.54 D.72

對(duì)于高職院校學(xué)生來(lái)講，英語(yǔ)依舊是必修課程，但是非英語(yǔ)專業(yè)的學(xué)生在學(xué)習(xí)英語(yǔ)時(shí)難度相對(duì)較大，而且大多數(shù)學(xué)生會(huì)對(duì)英語(yǔ)產(chǎn)生抵觸情緒。再加上現(xiàn)實(shí)生活中，缺乏完善的語(yǔ)言應(yīng)用環(huán)境，學(xué)生在學(xué)習(xí)英語(yǔ)口語(yǔ)時(shí)，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，即少數(shù)學(xué)生的英語(yǔ)應(yīng)試能力良好，而口語(yǔ)表達(dá)能力明顯不足，無(wú)法用簡(jiǎn)單的英語(yǔ)進(jìn)行交流。語(yǔ)言之所以存在，就是為給人際交往提供便利，如果英語(yǔ)學(xué)習(xí)只是單純應(yīng)對(duì)考試，那么真正價(jià)值就難以得到充分發(fā)揮。所以，英語(yǔ)教師通過(guò)深化改革并創(chuàng)新教學(xué)模式，以此提高學(xué)生的口語(yǔ)表達(dá)能力已經(jīng)成為必然趨勢(shì)。PBL教學(xué)模式以其自身的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，在英語(yǔ)口語(yǔ)教學(xué)中備受青睞，其主要通過(guò)創(chuàng)建語(yǔ)言環(huán)境，設(shè)置開(kāi)放式，具有現(xiàn)實(shí)意義的問(wèn)題。

分析：正確分析統(tǒng)計(jì)中對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖所對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)信息，再結(jié)合這些統(tǒng)計(jì)信息得到對(duì)應(yīng)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的公式加以計(jì)算.

解析：根據(jù)頻率分布直方圖，［10，12）這個(gè)區(qū)間所對(duì)應(yīng)的頻率為：1-（0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.18，其對(duì)應(yīng)的的數(shù)值為0.18÷2=0.09，那么容量為200的樣本的數(shù)量在［10，12）的頻數(shù)為200×0.18=36.故選B.

圖1

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)頻率分布直方圖中的圖形信息來(lái)進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題，達(dá)到運(yùn)用圖表解決實(shí)際問(wèn)題的水平和能力.正確讀懂頻率分布直方圖，根據(jù)相應(yīng)圖中的信息得到對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)信息是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵所在.

三、由圖形轉(zhuǎn)化圖形

此類問(wèn)題往往出現(xiàn)在立體幾何中，把相應(yīng)的三視圖轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的立體幾何的直觀圖、把對(duì)應(yīng)的平面幾何圖形折疊成相應(yīng)的立體幾何圖形等，通過(guò)圖形的轉(zhuǎn)化，建立對(duì)應(yīng)之間的等量關(guān)系與不變量，結(jié)合圖形的性質(zhì)加以分析與處理.

例3（2015年1月湖北省襄陽(yáng)市普通高中調(diào)研統(tǒng)一測(cè)試）若某多面體的三視圖如圖2所示，則此多面體外接球的表面積是（ ）.

分析：關(guān)鍵是結(jié)合三視圖準(zhǔn)確確定對(duì)應(yīng)的幾何體的直觀圖，再結(jié)合直觀圖的性質(zhì)確定其對(duì)應(yīng)的外接球問(wèn)題即可.

解析：結(jié)合三視圖可得其對(duì)應(yīng)的幾何體如圖3所示，其是正方體去掉一個(gè)角后的幾何體，它的外接球就是該正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的對(duì)角線，而其對(duì)角線的長(zhǎng)度為=，其對(duì)應(yīng)的外接球的半徑為那么對(duì)應(yīng)的外接球的表面積為S=4πr2=3π.故選D.

圖2

圖3

點(diǎn)評(píng)：在確定三視圖中的有關(guān)表面積問(wèn)題時(shí)，一般要結(jié)合直觀圖的實(shí)物加以分析，通過(guò)構(gòu)造各長(zhǎng)度之間的相應(yīng)關(guān)系式，并結(jié)合簡(jiǎn)單幾何體的表面積公式加以求解.關(guān)鍵是對(duì)幾何體正確還原，并根據(jù)三視圖的長(zhǎng)度求出幾何體的幾何元素的長(zhǎng)度，再代入對(duì)應(yīng)的公式進(jìn)行求解，考查了空間想象能力.

四、由圖形解決問(wèn)題

此類問(wèn)題往往結(jié)合給定的函數(shù)圖像、幾何圖形及其變化的特殊加以分析，確定函數(shù)的變化規(guī)律以及圖形中特征所在，進(jìn)而用來(lái)解決一些相應(yīng)的問(wèn)題（包括數(shù)學(xué)問(wèn)題、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等），進(jìn)而達(dá)到利用圖形解決問(wèn)題的目的.

A.S圓＞S圓環(huán)B.S圓=S圓環(huán)C.S圓＜S圓環(huán)D.不確定

圖4

分析：設(shè)截面與水平面α的高為h（0≤h≤R），結(jié)合圖形以及比例關(guān)系分別確定截面圓與圓環(huán)對(duì)應(yīng)的面積，進(jìn)而加以分析與比較，得以正確判斷.

解析：設(shè)此時(shí)截面與水平面α的高為h（0≤h≤R），那么S圓=πr2=π（R2-h2），S圓環(huán)=πR2-πr2，而這里有，即r=h，則有S圓環(huán)=πR2-πh2，故有S圓=S圓環(huán).故選B.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)圖形中的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律來(lái)解決靜態(tài)的函數(shù)關(guān)系、不等關(guān)系等是圖形問(wèn)題中比較常見(jiàn)的一類應(yīng)用類型，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是引入對(duì)應(yīng)的參數(shù)，通過(guò)計(jì)算與比較來(lái)加以正確分析與判斷，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

五、由圖形確定函數(shù)

此類問(wèn)題往往結(jié)合圖形（函數(shù)圖像、向量、算法的程序框圖等）特征，建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式來(lái)解決對(duì)應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵是抓住圖形特征，分析圖形中的規(guī)律與關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而建立函數(shù)關(guān)系式來(lái)達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

例5（廣東省廣州市2015屆高三1月模擬考試）某算法的程序框圖如圖5，若輸出的則輸入的x的值可能為（ ）.

A.-1 B.0 C.1 D.5

分析：結(jié)合算法的程序框圖確定分段函數(shù)的解析式，通過(guò)分段函數(shù)的取值情況加以分類討論，結(jié)合各對(duì)應(yīng)的選項(xiàng)加以判斷即可.

圖5

點(diǎn)評(píng)：正確理解相應(yīng)的算法的程序框圖，利用圖形轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的分段函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)值的關(guān)系來(lái)確定函數(shù)值問(wèn)題、利用基本不等式與函數(shù)式的求解來(lái)解決最值問(wèn)題等，達(dá)到利用圖形解決函數(shù)問(wèn)題的目的.

眾所周知，通過(guò)圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)、通過(guò)代數(shù)轉(zhuǎn)化為圖形或通過(guò)圖形轉(zhuǎn)化為圖形等，巧妙通過(guò)數(shù)形結(jié)合，根據(jù)對(duì)應(yīng)的圖形巧妙轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，或結(jié)合題設(shè)特點(diǎn)巧妙的構(gòu)造符合條件的圖形，或借助于已知圖形畫(huà)出另外的圖形，通過(guò)對(duì)代數(shù)的研究、圖形的觀察與分析，借助圖形的直觀性，往往能簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確求解.W