☉天津市寶坻區(qū)第一中學(xué) 胡文一

笛卡兒在《幾何學(xué)》中以其敏銳的眼光和令人敬佩的智慧提出了用方程表示曲線，用曲線描述方程的思想，為幾何問(wèn)題的研究提供了一條機(jī)械化的道路，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.

但是，我國(guó)現(xiàn)行的教材和教輔上，卻又過(guò)分強(qiáng)調(diào)代數(shù)運(yùn)算的應(yīng)試化思路，通過(guò)直截了當(dāng)?shù)乃季S過(guò)程，進(jìn)行大量的重復(fù)計(jì)算來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，卻淡化了對(duì)坐標(biāo)系進(jìn)一步的思考，不利于培養(yǎng)從已知中發(fā)現(xiàn)未知的能力.本文將敘述直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的改變對(duì)曲線的影響，并據(jù)此發(fā)現(xiàn)曲線的更多變化規(guī)律.

一、伸縮變換

伸縮變換在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中已有提及，在此不作過(guò)多闡述，只介紹伸縮變換在化歸數(shù)學(xué)模型上的作用.

現(xiàn)行的標(biāo)準(zhǔn)解法如下：

圖1

整理得mn=1.

但如果能利用伸縮變形將橢圓變形為圓，就有了全新的幾何關(guān)系：∠AQB為弧AB所對(duì)圓心角，且為定值.在直角坐標(biāo)系中，k值即代表直線傾斜角的正切值，故可定量得到這個(gè)幾何關(guān)系，①它為定值.

為計(jì)算這個(gè)定值只需令BQ過(guò)圓心即得到

將②③④代入①，得mn=1.

由于我們只對(duì)x軸作了變換，y軸上的m，n無(wú)變化，故mn確定為1.

二、單軸旋轉(zhuǎn)

坐標(biāo)軸可以繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)來(lái)導(dǎo)致坐標(biāo)有變動(dòng).我們先考慮一條坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)，此時(shí)被旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)讀取的方法是作另一軸的平行線，讀取和該軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

圖2

圖3

圖5

圖4

三、坐標(biāo)軸更換

不是只有x軸、y軸才可以稱為坐標(biāo)軸，任意一條過(guò)原點(diǎn)的直線都可以被換成坐標(biāo)軸.

我們來(lái)審視坐標(biāo)軸，x軸有一個(gè)特性，凡是垂直于x軸的直線，其方程都滿足x=a的形式.我們可以用這個(gè)特性來(lái)重新定義坐標(biāo)軸，如果和一條過(guò)原點(diǎn)的直線相交而平行于另一坐標(biāo)軸的直線都有f（x.y）=a的形式，就稱這條直線為f（x，y）軸.

例2 直線x-y=0可以稱為x+y軸，因?yàn)榇怪庇趚-y=0的直線均是x+y=C的形式.利用這個(gè)方法可證明的圖像為高中課本上定義的雙曲線.

取一條最簡(jiǎn)單的雙曲線x2-y2=1，其漸近線為y=±x，將x2-y2=2化為（x+y）（x-y）=2，利用之前提到的更換坐標(biāo)軸的方法，立即得到這是關(guān)于x-y、x+y兩條坐標(biāo)軸的一個(gè)反比例函數(shù)圖像.雖然我們的方程中兩變量乘積為2，但方程中變量的值不等于在坐標(biāo)軸方向位置向量的模.通過(guò)運(yùn)算，得到bx+ay軸和bx-ay軸組成的坐標(biāo)系下橫縱坐標(biāo)對(duì)舊坐標(biāo)系下長(zhǎng)度的“匯率”為.我們可以用此方法解決一些特殊問(wèn)題.比如，M為雙曲線上一點(diǎn)，過(guò)M作雙曲線兩漸近線平行線交兩漸近線于A，B兩點(diǎn)，如圖6.證明：平行四邊形MAOB面積為定值.

常用方法證明如下：

證明：雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0.

設(shè)M（m，n）是雙曲線上任一點(diǎn)，過(guò)M平行于OB：bx+ay=0的直線的方程是bx+ay-bm-an=0.

圖6

可得平行四邊形MAOB的面積為

由M在雙曲線上，可得b2m2-a2n2=a2b2，

而在我們新?lián)Q的坐標(biāo)系中，按照之前談到的方法整理原式為（bx+ay）（bx-ay）=（ab）2，分別記bx+ay和bx-ay為m和n，得到了一個(gè)新坐標(biāo)系下的雙曲線方程，新的橫縱坐標(biāo)相乘是定值a2b2.使用轉(zhuǎn)化為原坐標(biāo)系下兩邊長(zhǎng)，再乘以兩線夾角的正弦值可計(jì)算出原坐標(biāo)系下面積為定值

四、微積分計(jì)算

我們需要用換元法或者隱函數(shù)微分的方法來(lái)處理本文前面談到的新坐標(biāo)系下的微積分問(wèn)題.盡管這種方法一下子難以理解和接受，但一旦用于處理某些比較特殊的問(wèn)題卻很有優(yōu)勢(shì).比如求一個(gè)雙曲線和兩條漸近線和一條與漸近線平行的直線圍成的曲邊梯形的面積（圖7），就可以在新坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)化為求函數(shù)反常積分的問(wèn)題，免去了將雙曲線方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式再積分一個(gè)根式的麻煩.

圖7

有了以上四點(diǎn)討論，我們就可以在直角坐標(biāo)系中選取任意的坐標(biāo)系，通過(guò)一些數(shù)學(xué)關(guān)系式上的計(jì)算，將各種數(shù)學(xué)圖形聯(lián)系起來(lái)，使坐標(biāo)系從舞臺(tái)幕布后面華麗亮相.

結(jié)語(yǔ)：無(wú)可否認(rèn)，機(jī)械化的證明是數(shù)學(xué)發(fā)展的推進(jìn)器，但是如果數(shù)學(xué)的思想跟不上數(shù)學(xué)理論的進(jìn)程，就難有顛覆性的發(fā)現(xiàn)和歷史性的變革.其實(shí)數(shù)學(xué)充滿了構(gòu)造、變形和轉(zhuǎn)化，等待后世的人們?nèi)プ穼て溘?，而本文只是這些蹤跡中的滄海一粟.

參考資料：

1.〔美〕C·亞當(dāng)斯J·哈斯A·湯普森，著.微積分之屠龍寶刀［M］.長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2004（5）.

2.〔美〕C·亞當(dāng)斯J·哈斯A·湯普森，著.微積分之倚天寶劍［M］.長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2005（5）.

3.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2007（4）.W